Conjetura sobre combinaciones lineales de enteros y números primos

Sebastián me manda por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com una conjetura sobre números primos que se le ha ocurrido a él mismo. No sabe si es cierta o falsa. Os la propongo como problema para ver qué sacamos en claro:

Sea n un número par. Para todo k\in\mathbb{N} tal que 2 \le k \le \textstyle{\frac{n}{2}} existen una o más combinaciones lineales de enteros de la forma:

a_1 \cdot p_1+a_2 \cdot p_2+ \ldots +a_m \cdot p_m=n

con a_i \ge 0, a_1+a_2+ \ldots +a_m=k y p_1,p_2, \dots ,p_m todos los números primos menores o iguales que n.

Ejemplo:

n=10, \cfrac{n}{2}=5 p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7 2 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=0,a_3=2,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=2} 1 \cdot 3+1 \cdot 7=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=1,a_3=0,a_4=1, \displaystyle{\sum a_i=2} 1 \cdot 2+1 \cdot 3+1 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=1,a_ 2=1,a_3=1,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=3} 2 \cdot 2+2 \cdot 3=10 \Rightarrow a_1=2,a_2=2,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=4} 5 \cdot 2=10 \Rightarrow a_1=5,a_2=0,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=5}

Pregunta 1: ¿Esta conjetura es cierta o es falsa?
Pregunta 2: ¿Podemos obtener la conjetura de Goldbach como caso particular de esta conjetura?

Vamos a ver si le sacamos jugo al asunto.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. De hecho es equivalente a la conjetura de Goldbach: Si la conjetura es cierta, tomando el caso particular $k=2$ obtenemos la conjetura de Goldbach.

    Recíprocamente, suponiendo la conjetura de Goldbach, se prueba fácilmente la de arriba por inducción: si $k=2$, es Goldbach, y si $k>2$, por inducción podemos escribir $n-2$ como suma de $k-1$ primos (posiblemente repetidos), y entonces $n$ se escribe como suma de $2$ y todos esos primos.

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  2. No acabo de entender la segunda parte del argumento de inducción, ¿por favor Antonio lo podrías detallar un poco más?

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  3. Antonio para que aparezcan los símbolos de \LaTeX tienes que escribir la palabra latex después del primer símbolo $ y luego un espacio. Mira el texto que hay justo encima de la caja donde escribes los comentarios.

    JuanPablo y supongo que la conjetura es falsa, ¿no?

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  4. no, ¿por qué falsa? de hecho, está demostrada con k=6 (que está entre 2 y n/2, para los menores a 12 se puede verificar a mano). Tal como lo propone, para los más grandes vale poniendo ceros, y para los más chicos… nos acercamos demasiado a Goldbach

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  5. hola, por favor me pueden ayudar a ejecutar lo siguiente:
    El ejercicio es que alguien tiene 23 rosas y 17 tulipanes, quire saber cuantas combinaciones puede hacer de ellos…Gracias por la ayuda.
    El método es a través de los números primos o la criba de Eratostenes?
    Esto es Matemáticas de quinto grado.
    Gracias.

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  6. Jorge, supongo que por combinación de rosas y tulipanes entiendes cualquier conjunto de r rosas y t tulipanes sin importar el orden en el que se colocan.
    Como en una combinación puede haber entre 0 y 23 rosas obtenemos 24 tipos de combinaciones según su contenido en rosas.
    Como también en una combinación puede haber entre 0 y 17 tulipanes tendremos también 18 tipos de combinaciones según su contenido en tulipanes.

    Por lo tanto el número total de combinaciones será 18 x 24 = 432.

    Si no aceptamos como combinación válida la compuesta por 0 rosas y 0 tulipanes tendríamos 431 combinaciones posibles.

    Si imponemos la condición de que en cualquier combinación deban estar presentes ambos tipos de flores las posibles serían 17 x 23 = 391.

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  7. Esta conjetura y la de Goldbach son equivalentes, ya que la de Goldbach es el caso de k=2 , y para k >2 una posible solución sería
    a_{1} = k-2 y por la conjetura de Goldbach n-2 (k-2) debe poder expresarse como suma de dos primos impares p_{i} y p_{j} y por lo tanto a_{1} + p_{i} +p_{j} = k y a_{1}p_{1} + p_i + p_j = n .

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  8. Perdón, a_1 +a_i + a_j = k . Además i y j no son necesariamente distintos.

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  9. Dado que la conjetura debil de Goldbach está demostrada, podemos demostrar los casos de esta conjetura para k> 3 y n>7 :
    a_1 = k-4 , a_2 = 1 y por la conjetura debil de Goldbach existen tres primos no necesariamente distintos p_i, p_j y p_k tales que p_i + p_j +p_k = n - 3-2(k-4) y por lo tanto a_{1}p_1 + a_{2}p_2 + p_i + p_j + p_k = n

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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