Conjetura sobre combinaciones lineales de enteros y números primos
Sebastián me manda por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com una conjetura sobre números primos que se le ha ocurrido a él mismo. No sabe si es cierta o falsa. Os la propongo como problema para ver qué sacamos en claro:
Sea
un número par. Para todo
tal que
existen una o más combinaciones lineales de enteros de la forma:
con
,
y
todos los números primos menores o iguales que
.
Ejemplo:
Pregunta 1: ¿Esta conjetura es cierta o es falsa?
Pregunta 2: ¿Podemos obtener la conjetura de Goldbach como caso particular de esta conjetura?
Vamos a ver si le sacamos jugo al asunto.
6 comentarios
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Antonio R - 6 de Mayo de 2008 12:30
De hecho es equivalente a la conjetura de Goldbach: Si la conjetura es cierta, tomando el caso particular $k=2$ obtenemos la conjetura de Goldbach.
Recíprocamente, suponiendo la conjetura de Goldbach, se prueba fácilmente la de arriba por inducción: si $k=2$, es Goldbach, y si $k>2$, por inducción podemos escribir $n-2$ como suma de $k-1$ primos (posiblemente repetidos), y entonces $n$ se escribe como suma de $2$ y todos esos primos.
JuanPablo - 6 de Mayo de 2008 20:48
de hecho, esta conjetura ya está demostrada con k = 6 (Olivier Ramare, 1995)
Toro Sentado - 7 de Mayo de 2008 1:23
No acabo de entender la segunda parte del argumento de inducción, ¿por favor Antonio lo podrías detallar un poco más?
^DiAmOnD^ - 7 de Mayo de 2008 1:48
Antonio para que aparezcan los símbolos de
tienes que escribir la palabra latex después del primer símbolo $ y luego un espacio. Mira el texto que hay justo encima de la caja donde escribes los comentarios.
JuanPablo y supongo que la conjetura es falsa, ¿no?
JuanPablo - 8 de Mayo de 2008 3:09
no, ¿por qué falsa? de hecho, está demostrada con k=6 (que está entre 2 y n/2, para los menores a 12 se puede verificar a mano). Tal como lo propone, para los más grandes vale poniendo ceros, y para los más chicos… nos acercamos demasiado a Goldbach
^DiAmOnD^ - 8 de Mayo de 2008 12:28
Vaya, pues que interesante el asunto entonces, ¿no?