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Conjetura sobre combinaciones lineales de enteros y números primos

Sebastián me manda por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com una conjetura sobre números primos que se le ha ocurrido a él mismo. No sabe si es cierta o falsa. Os la propongo como problema para ver qué sacamos en claro:

Sea $n$ un número par. Para todo $k\in\mathbb{N}$ tal que $2 \le k \le \textstyle{\frac{n}{2}}$ existen una o más combinaciones lineales de enteros de la forma:

$a_1 \cdot p_1+a_2 \cdot p_2+ \ldots +a_m \cdot p_m=n$

con $a_i \ge 0$ , $a_1+a_2+ \ldots +a_m=k$ y $p_1,p_2, \dots ,p_m$ todos los números primos menores o iguales que $n$ .

Ejemplo:

$n=10, \cfrac{n}{2}=5$

$p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7$

$2 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=0,a_3=2,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=2}$

$1 \cdot 3+1 \cdot 7=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=1,a_3=0,a_4=1, \displaystyle{\sum a_i=2}$

$1 \cdot 2+1 \cdot 3+1 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=1,a_ 2=1,a_3=1,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=3}$

$2 \cdot 2+2 \cdot 3=10 \Rightarrow a_1=2,a_2=2,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=4}$

$5 \cdot 2=10 \Rightarrow a_1=5,a_2=0,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=5}$

Pregunta 1: ¿Esta conjetura es cierta o es falsa?
Pregunta 2: ¿Podemos obtener la conjetura de Goldbach como caso particular de esta conjetura?

Vamos a ver si le sacamos jugo al asunto.

Escrito por ^DiAmOnD^, 6 de Mayo de 2008 en Juegos

6 comentarios

Trackback para este post

Antonio R - 6 de Mayo de 2008 12:30

De hecho es equivalente a la conjetura de Goldbach: Si la conjetura es cierta, tomando el caso particular $k=2$ obtenemos la conjetura de Goldbach.

Recíprocamente, suponiendo la conjetura de Goldbach, se prueba fácilmente la de arriba por inducción: si $k=2$, es Goldbach, y si $k>2$, por inducción podemos escribir $n-2$ como suma de $k-1$ primos (posiblemente repetidos), y entonces $n$ se escribe como suma de $2$ y todos esos primos.
JuanPablo - 6 de Mayo de 2008 20:48

de hecho, esta conjetura ya está demostrada con k = 6 (Olivier Ramare, 1995)
Toro Sentado - 7 de Mayo de 2008 1:23

No acabo de entender la segunda parte del argumento de inducción, ¿por favor Antonio lo podrías detallar un poco más?
^DiAmOnD^ - 7 de Mayo de 2008 1:48

Antonio para que aparezcan los símbolos de $\LaTeX$ tienes que escribir la palabra latex después del primer símbolo $ y luego un espacio. Mira el texto que hay justo encima de la caja donde escribes los comentarios.

JuanPablo y supongo que la conjetura es falsa, ¿no?
JuanPablo - 8 de Mayo de 2008 3:09

no, ¿por qué falsa? de hecho, está demostrada con k=6 (que está entre 2 y n/2, para los menores a 12 se puede verificar a mano). Tal como lo propone, para los más grandes vale poniendo ceros, y para los más chicos… nos acercamos demasiado a Goldbach
^DiAmOnD^ - 8 de Mayo de 2008 12:28

Vaya, pues que interesante el asunto entonces, ¿no?

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