Conjunto simpático

Os dejo hoy el problema de esta semana. En este caso es un problema enviado por nuestro lector Pablo. Ahí va su enunciado:

Llamamos simpático a un conjunto de n puntos del espacio tal que, si tomamos cuatro de ellos cualesquiera, es posible trazar una circunferencia que los contenga.

Llamemos $A_n$ a la cantidad de rectas que contienen a tres puntos de un conjunto simpático de n elementos, y $B_n$ a la cantidad de circunferencias que quedan definidas por los puntos de un conjunto simpático de n elementos. Demostrar que $A_n + B_n$ tiene siempre el mismo valor, cualquiera sea el número de elementos del conjunto, y calcular dicho valor.

A por él, que no es difícil.

9 comentarios

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josejuan | 1 de February de 2011 | 09:59

Ugh!?

Sean $p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}$ los cuatro primeros puntos y $e_{1}$ la circunferencia que los contiene.

De haber un nuevo punto $p_{5}$ éste formará parte de otras 3 circunferencias definidas por los puntos

$p_{5}p_{1}p_{2}p_{3}$
$p_{5}p_{2}p_{3}p_{4}$
$p_{5}p_{4}p_{3}p_{1}$

¡pero todas ellas son $e_{1}$ !

Así, cabe preguntar por múltiples ambigüedades en el enunciado o bien cruzar los dedos y decir

$A_{n}=0,B_{n}=1$
orlin | 1 de February de 2011 | 11:30

Estoy de acuerdo con Jose Juan.
Si suponemos que existe al menos 1 recta que pasa por tres puntos del conjunto simpático. Se ve que no puede existir un cuarto punto tal que con esos tres estén contenidos en una circunferencia. Si se parte de una ecuación genérica de la recta y = mx + C (1) y la circunferencia $x^2 + y^2 = R^2$ (2), y se sustituye (1) en (2) entonces queda una ecuación de 2 grado, esto quiere decir que como máximo habrán 2 puntos de intersección. Luego no puede haber en el conjunto simpático rectas q contengan a 3 puntos.

osea que $A_{n}$ = 0. Lo de que $B_{n} = 1$ . La demostración es algo parecida. Dos circunferencias se intersecan como máximo en 2 puntos, así que no se pueden tener más de dos puntos que pertenezcan a varias circunferencias, por lo tanto todos pertenecen a la misma => $B_{n} = 1$

espero no haber metido la pata .

saludos!
Yrekthelas | 1 de February de 2011 | 11:34

No sabria como atacar $B_n$ , pero está claro que $A_n=0$ .

Tres puntos cualesquiera nunca formarán una recta, pues ellos tres, junto a otro cualquiera, forman una circumferencia. Por lo tanto, no pueden estar alineados.

Por otro lado, estoy de acuerdo con josejuan, así que me uno a la opción $A_n=0, B_n=1$ .
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Bitacoras.com
Dani | 2 de February de 2011 | 06:11

jejejej, estais asumiendo mas de lo indicado…
josejuan | 2 de February de 2011 | 10:05

O no viéndolo Dani, pero a mí no se me ocurre otra, de hecho, con el primer párrafo del enunciado creo que no hay otra salida que todos los puntos pertenezcan a una única circunferencia.

“Llamamos simpático a un conjunto de n puntos del espacio tal que, si tomamos cuatro de ellos CUALESQUIERA, es posible trazar una circunferencia que los contenga.”

Creo que una demostración más formal podría ser (de estar bien, claro):

Si tenemos $n$ puntos, obtenemos $C_{n}^{4}$ circunferencias definidas por todos los cuartetos posibles de puntos.

Partiendo de un cuarteto, es posible enumerarlos todos tal que, al pasar de un cuarteto $c_{i}$ al siguiente $c_{j}$ , éstos siempre tengan en común 3 y sólo 3 puntos.

En tal caso, sean $c_{i-1}$ , $c_{i}$ y $c_{i+1}$ tres cuartetos consecutivos en la enumeración.

Como $c_{i-1}$ y $c_{i+1}$ comparten 3 puntos con $c_{i}$ (no los mismos 3 puntos en cada caso, pero sí 3) el punto adicional que posee $c_{i-1}$ y el punto adicional que posee $c_{i+1}$ , forzosamente tendrá que pertenecer a la misma circunferencia que la de $c_{i}$ .

Por tanto, todos los cuartetos definen la misma circunferencia.

O, dicho de otro modo, los conjuntos simpáticos son conjuntos de puntos que pertenecen todos a una circunferencia.

Si como parece, no es la solución, algo está mal, pero yo no soy capaz de verla.

Como no sea $42-x$ …
Antonio QD | 2 de February de 2011 | 14:07

Buenos Días

Voy a resumir todo lo dicho por otros.

La definición dice que un conjunto simpatico es aquel en el cual tomado cuatro puntos cualesquiera, es posible trazar una circunferencia que los contenga.

Supongamos que tenemos $n$ puntos y que tomamos tres puntos $p_1$ , $p_2$ y $p_3$ ; estos tres puntos determinan de manera unívoca un plano en el espacio, y dentro de este plano a una circunferencia $C$ . Como cualquier subconjunto de 4 puntos del conjunto simpático en el que estén contenidos $p_1$ , $p_2$ y $p_3$ nos permite trazar una circunferencia que los contenga y esta ha de ser siempre $C$ , hemos de deducir que todos los puntos pertenecen a la mima circunferencia $C$ , o lo que es lo mismo $B_n=1$ .

Ya otro compañero ha dejado bien claro que si tomo tres puntos cualesquiera de una circunferencia es imposible que por estos tres puntos pase una recta, por lo que no hay rectas que pasen por tres puntos del conjunto simpático, $A_n=0$ .

Evidentemente, $A_n + B_n = 1$

Saludos
ferran | 2 de February de 2011 | 19:20

A ver que os parece esto, suponiendo que ese conjunto existe en el espacio , podria ser una esfera con n puntos alineados, vamos en un meridiano por ejemplo, entonces Bn = (n sobre 4) y An= (n sobre 3), con lo que tenemos un resultado invariante como es An+Bn= Bn+1= (n+1 sobre 4).