Conjunto simpático

Os dejo hoy el problema de esta semana. En este caso es un problema enviado por nuestro lector Pablo. Ahí va su enunciado:

Llamamos simpático a un conjunto de n puntos del espacio tal que, si tomamos cuatro de ellos cualesquiera, es posible trazar una circunferencia que los contenga.

Llamemos A_n a la cantidad de rectas que contienen a tres puntos de un conjunto simpático de n elementos, y B_n a la cantidad de circunferencias que quedan definidas por los puntos de un conjunto simpático de n elementos. Demostrar que A_n + B_n tiene siempre el mismo valor, cualquiera sea el número de elementos del conjunto, y calcular dicho valor.

A por él, que no es difícil.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. Ugh!?

    Sean p_{1}p_{2}p_{3}p_{4} los cuatro primeros puntos y e_{1} la circunferencia que los contiene.

    De haber un nuevo punto p_{5} éste formará parte de otras 3 circunferencias definidas por los puntos

    p_{5}p_{1}p_{2}p_{3}
    p_{5}p_{2}p_{3}p_{4}
    p_{5}p_{4}p_{3}p_{1}

    ¡pero todas ellas son e_{1}!

    Así, cabe preguntar por múltiples ambigüedades en el enunciado o bien cruzar los dedos y decir

    A_{n}=0,B_{n}=1

    Publica una respuesta
  2. Estoy de acuerdo con Jose Juan.
    Si suponemos que existe al menos 1 recta que pasa por tres puntos del conjunto simpático. Se ve que no puede existir un cuarto punto tal que con esos tres estén contenidos en una circunferencia. Si se parte de una ecuación genérica de la recta y = mx + C (1) y la circunferencia x^2 + y^2 = R^2 (2), y se sustituye (1) en (2) entonces queda una ecuación de 2 grado, esto quiere decir que como máximo habrán 2 puntos de intersección. Luego no puede haber en el conjunto simpático rectas q contengan a 3 puntos.

    osea que A_{n} = 0. Lo de que B_{n} = 1. La demostración es algo parecida. Dos circunferencias se intersecan como máximo en 2 puntos, así que no se pueden tener más de dos puntos que pertenezcan a varias circunferencias, por lo tanto todos pertenecen a la misma => B_{n} = 1

    espero no haber metido la pata :D.

    saludos!

    Publica una respuesta
  3. No sabria como atacar B_n, pero está claro que A_n=0.

    Tres puntos cualesquiera nunca formarán una recta, pues ellos tres, junto a otro cualquiera, forman una circumferencia. Por lo tanto, no pueden estar alineados.

    Por otro lado, estoy de acuerdo con josejuan, así que me uno a la opción A_n=0, B_n=1.

    Publica una respuesta
  4. O no viéndolo Dani, pero a mí no se me ocurre otra, de hecho, con el primer párrafo del enunciado creo que no hay otra salida que todos los puntos pertenezcan a una única circunferencia.

    “Llamamos simpático a un conjunto de n puntos del espacio tal que, si tomamos cuatro de ellos CUALESQUIERA, es posible trazar una circunferencia que los contenga.”

    Creo que una demostración más formal podría ser (de estar bien, claro):

    Si tenemos n puntos, obtenemos C_{n}^{4} circunferencias definidas por todos los cuartetos posibles de puntos.

    Partiendo de un cuarteto, es posible enumerarlos todos tal que, al pasar de un cuarteto c_{i} al siguiente c_{j}, éstos siempre tengan en común 3 y sólo 3 puntos.

    En tal caso, sean c_{i-1}, c_{i} y c_{i+1} tres cuartetos consecutivos en la enumeración.

    Como c_{i-1} y c_{i+1} comparten 3 puntos con c_{i} (no los mismos 3 puntos en cada caso, pero sí 3) el punto adicional que posee c_{i-1} y el punto adicional que posee c_{i+1}, forzosamente tendrá que pertenecer a la misma circunferencia que la de c_{i}.

    Por tanto, todos los cuartetos definen la misma circunferencia.

    O, dicho de otro modo, los conjuntos simpáticos son conjuntos de puntos que pertenecen todos a una circunferencia.

    Si como parece, no es la solución, algo está mal, pero yo no soy capaz de verla.

    Como no sea 42-x

    Publica una respuesta
  5. Buenos Días

    Voy a resumir todo lo dicho por otros.

    La definición dice que un conjunto simpatico es aquel en el cual tomado cuatro puntos cualesquiera, es posible trazar una circunferencia que los contenga.

    Supongamos que tenemos n puntos y que tomamos tres puntos p_1, p_2 y p_3; estos tres puntos determinan de manera unívoca un plano en el espacio, y dentro de este plano a una circunferencia C. Como cualquier subconjunto de 4 puntos del conjunto simpático en el que estén contenidos p_1, p_2 y p_3 nos permite trazar una circunferencia que los contenga y esta ha de ser siempre C, hemos de deducir que todos los puntos pertenecen a la mima circunferencia C, o lo que es lo mismo B_n=1.

    Ya otro compañero ha dejado bien claro que si tomo tres puntos cualesquiera de una circunferencia es imposible que por estos tres puntos pase una recta, por lo que no hay rectas que pasen por tres puntos del conjunto simpático, A_n=0.

    Evidentemente, A_n + B_n = 1

    Saludos

    Publica una respuesta
  6. A ver que os parece esto, suponiendo que ese conjunto existe en el espacio , podria ser una esfera con n puntos alineados, vamos en un meridiano por ejemplo, entonces Bn = (n sobre 4) y An= (n sobre 3), con lo que tenemos un resultado invariante como es An+Bn= Bn+1= (n+1 sobre 4).

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Tweets that mention Conjunto simpático | Gaussianos -- Topsy.com - [...] This post was mentioned on Twitter by gaussianos and Raymundo S., jhonattangaona. jhonattangaona said: Conjunto simpático: Os dejo hoy…
  2. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Os dejo hoy el problema de esta semana. En este caso es un problema…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *