Consigue el 100

Vamos con uno de esos juegos en los que participáis tanto. Es un juego del estilo al problema 123456789=100, pero con reglas distintas. La cuestión es la siguiente:

El objetivo es conseguir 100 utilizando los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Las reglas son las siguiente:

1.- Deben usarse todos los dígitos y cada uno de ellos sólo puede ser usado una vez.
2.- La única operación permitida es la suma.
3.- Pueden concatenarse cifras.
4.- Se pueden formar fracciones con dos cifras. Por ejemplo, con 3 y 7 podremos formar \frac{3}{7} y \frac{7}{3}. Por tanto no valdrán fracciones con más de un dígito en numerador o denominador ni con una operación entre ellas. Por ejemplo, \frac{13}{67} no es válido, como tampoco lo es \frac{1+2}{3}.

A ver cuántas veces conseguís el deseado 100.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

26 Comentarios

  1. para la solución anterior, es posible intercambiar los números 7, 8 y 9 y encontramos nuevas soluciones

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  2. A mi parecer, la consigna deja lugar a utilizarlos todos o algunos.

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  3. uhm, he encontrado esta, no se si se podra tomar como valida…

    100 = 97 + (8/6) + (2/3) + ((4+1)/5)

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  4. Por favor: que DiAmOnD aclare si es OBLIGATORIA la utilización de todos los 9 dígitos, o la regla sólo se refiere a que no pueden repetirse, pudiendo evitarse alguno.

    Por otro lado: cuando se dice “Se pueden formar fracciones con dos cifras”, se hace referencia a fracciones con una cifra en el numerador y otra en el denominador… eso significa que no se permite la fracción: 12/45??

    Gracias y saludos.

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  5. Aclaro:

    – Cada puede utilizarse sólo una vez

    – Las fracciones que se pueden formar sólo pueden contener un dígito en el numerador y otro en el denominador. Por tanto \frac{12}{45} no es válido, ni tampoco \frac{4+1}{5}

    Ahora mismo actualizo el juego para que quien llegue lo vea claro.

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  6. Hasta ahora se han encontrado sólo 3 soluciones radicalmente distintas:

    De la primera 7+29+58+{6 \over 3}+{4 \over 1} , se pueden encontrar 23 más con solo intercambiar las posiciones de los números 7, 9, 8 y 4.

    por ejemplo

    4+29+58+{6 \over 3}+{7 \over 1} intercambié el 7 por el cuatro.

    7+28+59+{6 \over 3}+{4 \over 1} intercambié el 9 por el 8.

    De la segunda 79+15+2+{6 \over 3}+{8 \over 4} se pueden intercambiar las posiciones de los números 9,5 y 2 obteniendo en total 6 soluciones.

    De la tercera 74+9+8+5+{2 \over 1}+{6 \over 3} (aportada por merfat), que es la mejor, se pueden obtener en total 120 soluciones distintas intercambiando las posiciones de los dígitos 4, 9, 8, 5 y 2.

    Completamos en total 150 soluciones.

    */Propongo demostrar que es imposible sin usar expresiones fraccionarias/*

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  7. Una posible demostración de que es imposible formar el 100 sin usar fracciones…

    Dado que:

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 < 100

    es obligatorio formar sumas con combinaciones de números de una y dos cifras (nunca de tres cifras ya que nos pasamos).

    Si se unen dos cifras cualesquiera (‘a’ y ‘b’) tenemos que el resultado será:

    ab + c + d + … + i = 45 – a + a·10 = 45 + 9a      (‘a’ entero, 0<a<10)

    Siendo el resultado independiente de la cifra usada ‘b’ (unidades).

    Podriamos usar otras combinaciones formando más números de dos cifras:

    ab + cd + … + i = 45 – a + a·10 – c + 10·c = 45 + 9a + 9c = 45 + 9(a+c)       (‘a’+’c’ entero, 2<a+c<18)

    Por lo que se llega a la conclusión que formando combinaciones de números de una y dos cifras el resultado siempre va a ser:

    45 + 9n      (‘n’ natural)

    Con lo que no se puede obtener el valor deseado 100 ya que:

    45 + 9·6 = 99 < 100       y       45 + 9·7 = 106 > 100

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  8. El razonamiento de Didac es impecable, pero encontré un insignificante error de cálculo (que no afecta en absoluto al razonamiento) en la última cuenta:

    45+9*7=45+63=108

    Saludos.

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  9. lo de las 150 soluciones está incorrecto, son 50

    pero encontré otra

    87+5+4+1+{9 \over 6}+{3 \over 2}

    Podría escribirse también de las siguientes maneras

    7+85+4+1+{9 \over 6}+{3 \over 2}
    7+5+84+1+{9 \over 6}+{3 \over 2}
    7+5+4+81+{9 \over 6}+{3 \over 2}

    Último cómputo: 54 soluciones

    ¿Quizás me equivoco?

    PD: La demostración de Dídac me pareció muy wena

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  10. Propongo otra demostración que no se puede llegar a 100 solo con enteros:

    Si sumamos todos los numeros, nos da 45, que es de la forma 3n.

    Cuando unimos dos cifras, estamos multiplicando la de las decenas por 10. La cifra de la decena puede ser de la forma 3n, 3n+1 o 3n+2. Al multiplicarlo por 10,

    3n..3*(10n)
    3n+1..3(10n+3)+1
    3n+2..3(10n+6)+2

    Luego, aunque lo multipliquemos por 10, van a seguir siendo de la misma forma, y la suma sera de la forma 3n: nunca puede ser 100, que es 3n+1.

    Saludos.

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  11. Forzando a que aparezcan tres fracciones, encontré ésta: 91+2/8+7/4+5+6/3, y con una pequeña modificación, esta otra: 91+2/8+7+5/4+3/6.

    Este hallazgo me permite presentar esta “notable” igualdad:

    7/1+2/8+5/4+3/6 = 9 = 5/1+2/8+7/4+6/3

    Saludos,
    merfat

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  12. Merfat, he notado que se produce algo muy interesante si escribes la primera igualdad del siguiente modo: 2/8 + 3/6 + 5/4 + 7/1 = 9
    Los numeradores son los primeros 4 números primos; 2, 3, 5, 7 y los denominadores son los primeros 4 números no-primos ordenados en forma decreciente; 8, 6, 4, 1.

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  13. ¡Buenísimo!, gracias Omar.
    Y ya, para seguir buscando otras “propiedades” interesantes (si Diamond lo permite, sino pido las excusas por adelantado), se me ocurrió cambiar las divisiones por multiplicaciones: 2×8+3×6+5×4+7×1=61, ¡número primo!
    Ahora, 6+1=7 (primo) y 61=7+17+37 (primos terminados en 7).
    Usando 7 sietes, algunas de las operaciones básicas y los paréntesis, se puede obetener 61.
    Los sietes se pueden concatenar.
    Saludos,
    merfat

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  14. Mithril: Tú nombre tiene 7 letras y el número 61 es el mayor de los integrantes de la séptima pareja de primos gemelos.

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