Consigue el 100

Vamos con uno de esos juegos en los que participáis tanto. Es un juego del estilo al problema 123456789=100, pero con reglas distintas. La cuestión es la siguiente:

El objetivo es conseguir 100 utilizando los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Las reglas son las siguiente:

1.- Deben usarse todos los dígitos y cada uno de ellos sólo puede ser usado una vez.
2.- La única operación permitida es la suma.
3.- Pueden concatenarse cifras.
4.- Se pueden formar fracciones con dos cifras. Por ejemplo, con 3 y 7 podremos formar $\frac{3}{7}$ y $\frac{7}{3}$ . Por tanto no valdrán fracciones con más de un dígito en numerador o denominador ni con una operación entre ellas. Por ejemplo, $\frac{13}{67}$ no es válido, como tampoco lo es $\frac{1+2}{3}$ .

A ver cuántas veces conseguís el deseado 100.

Posts aleatorios

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de August de 2007
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Sin comentarios

Leander | 21 de August de 2007 | 05:41

¡encontré una!

$7+29+58+ \frac{6}{3}+\frac{4}{1}$
Leander | 21 de August de 2007 | 06:07

para la solución anterior, es posible intercambiar los números 7, 8 y 9 y encontramos nuevas soluciones
Leander | 21 de August de 2007 | 06:14

¡otras!

$79+15+2+{6 \over 3}+{8 \over 4}$
$79+12+5+{6 \over 3}+{8 \over 4}$
$75+19+2+{6 \over 3}+{8 \over 4}$
$75+12+9+{6 \over 3}+{8 \over 4}$
$72+15+9+{6 \over 3}+{8 \over 4}$
$72+19+5+{6 \over 3}+{8 \over 4}$

Son las seis una sola
Leander | 21 de August de 2007 | 06:36

parece imposible con solo enteros
Leander | 21 de August de 2007 | 06:50

Es imposible sin utilizar expresiones fraccionarias
merfat | 21 de August de 2007 | 07:08

Dos más…

12+5+6/3+79+8/4
2/1+6/3+5+74+8+9

Saludos,
merfat
Sychospy | 21 de August de 2007 | 07:09

A mi parecer, la consigna deja lugar a utilizarlos todos o algunos.
Equilicua | 21 de August de 2007 | 12:46

(72/8)+64+13+9+5=100
Guille | 21 de August de 2007 | 13:57

uhm, he encontrado esta, no se si se podra tomar como valida…

100 = 97 + (8/6) + (2/3) + ((4+1)/5)
Tailor Sastre | 21 de August de 2007 | 17:18

Por favor: que DiAmOnD aclare si es OBLIGATORIA la utilización de todos los 9 dígitos, o la regla sólo se refiere a que no pueden repetirse, pudiendo evitarse alguno.

Por otro lado: cuando se dice “Se pueden formar fracciones con dos cifras”, se hace referencia a fracciones con una cifra en el numerador y otra en el denominador… eso significa que no se permite la fracción: 12/45??

Gracias y saludos.
^DiAmOnD^ | 21 de August de 2007 | 20:51

Aclaro:

- Cada puede utilizarse sólo una vez

- Las fracciones que se pueden formar sólo pueden contener un dígito en el numerador y otro en el denominador. Por tanto $\frac{12}{45}$ no es válido, ni tampoco $\frac{4+1}{5}$

Ahora mismo actualizo el juego para que quien llegue lo vea claro.
Leander | 21 de August de 2007 | 22:38

está muy claro de un principio
Daniel M | 22 de August de 2007 | 01:27

Ahí va una más:
75 + (2/1) + (6/3) + 8 + 9 + 4 = 100
Leander | 22 de August de 2007 | 02:28

Hasta ahora se han encontrado sólo 3 soluciones radicalmente distintas:

De la primera $7+29+58+{6 \over 3}+{4 \over 1}$ , se pueden encontrar 23 más con solo intercambiar las posiciones de los números 7, 9, 8 y 4.

por ejemplo

$4+29+58+{6 \over 3}+{7 \over 1}$ intercambié el 7 por el cuatro.

$7+28+59+{6 \over 3}+{4 \over 1}$ intercambié el 9 por el 8.

De la segunda $79+15+2+{6 \over 3}+{8 \over 4}$ se pueden intercambiar las posiciones de los números 9,5 y 2 obteniendo en total 6 soluciones.

De la tercera $74+9+8+5+{2 \over 1}+{6 \over 3}$ (aportada por merfat), que es la mejor, se pueden obtener en total 120 soluciones distintas intercambiando las posiciones de los dígitos 4, 9, 8, 5 y 2.

Completamos en total 150 soluciones.

*/Propongo demostrar que es imposible sin usar expresiones fraccionarias/*
Dídac | 22 de August de 2007 | 05:02

Una posible demostración de que es imposible formar el 100 sin usar fracciones…

Dado que:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 < 100

es obligatorio formar sumas con combinaciones de números de una y dos cifras (nunca de tres cifras ya que nos pasamos).

Si se unen dos cifras cualesquiera (‘a’ y ‘b’) tenemos que el resultado será:

ab + c + d + … + i = 45 – a + a·10 = 45 + 9a      (‘a’ entero, 0<a<10)

Siendo el resultado independiente de la cifra usada ‘b’ (unidades).

Podriamos usar otras combinaciones formando más números de dos cifras:

ab + cd + … + i = 45 – a + a·10 – c + 10·c = 45 + 9a + 9c = 45 + 9(a+c)       (‘a’+'c’ entero, 2<a+c<18)

Por lo que se llega a la conclusión que formando combinaciones de números de una y dos cifras el resultado siempre va a ser:

45 + 9n      (‘n’ natural)

Con lo que no se puede obtener el valor deseado 100 ya que:

45 + 9·6 = 99 < 100       y       45 + 9·7 = 106 > 100
Javier | 22 de August de 2007 | 10:21

Un contraejemplo

$69 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = ?$

Era broma… pero casi.
Tailor Sastre | 22 de August de 2007 | 22:09

El razonamiento de Didac es impecable, pero encontré un insignificante error de cálculo (que no afecta en absoluto al razonamiento) en la última cuenta:

45+9*7=45+63=108

Saludos.
Leander | 23 de August de 2007 | 00:55

lo de las 150 soluciones está incorrecto, son 50

pero encontré otra

$87+5+4+1+{9 \over 6}+{3 \over 2}$

Podría escribirse también de las siguientes maneras

$7+85+4+1+{9 \over 6}+{3 \over 2}$
$7+5+84+1+{9 \over 6}+{3 \over 2}$
$7+5+4+81+{9 \over 6}+{3 \over 2}$

Último cómputo: 54 soluciones

¿Quizás me equivoco?

PD: La demostración de Dídac me pareció muy wena
Leander | 23 de August de 2007 | 01:02

otras más:

$79+14+5+{8 \over 6}+{2 \over 3}$
$79+15+4+{8 \over 6}+{2 \over 3}$
$74+19+5+{8 \over 6}+{2 \over 3}$
$74+15+9+{8 \over 6}+{2 \over 3}$
$75+14+9+{8 \over 6}+{2 \over 3}$
$75+19+4+{8 \over 6}+{2 \over 3}$
Leander | 23 de August de 2007 | 01:08

otras :

$89+5+2+1+{7 \over 3}+{4 \over 6}$
…estas son 4
Mithril | 25 de August de 2007 | 22:19

Propongo otra demostración que no se puede llegar a 100 solo con enteros:

Si sumamos todos los numeros, nos da 45, que es de la forma 3n.

Cuando unimos dos cifras, estamos multiplicando la de las decenas por 10. La cifra de la decena puede ser de la forma 3n, 3n+1 o 3n+2. Al multiplicarlo por 10,

3n..3*(10n)
3n+1..3(10n+3)+1
3n+2..3(10n+6)+2

Luego, aunque lo multipliquemos por 10, van a seguir siendo de la misma forma, y la suma sera de la forma 3n: nunca puede ser 100, que es 3n+1.

Saludos.
merfat | 25 de August de 2007 | 22:22

Forzando a que aparezcan tres fracciones, encontré ésta: 91+2/8+7/4+5+6/3, y con una pequeña modificación, esta otra: 91+2/8+7+5/4+3/6.

Este hallazgo me permite presentar esta “notable” igualdad:

7/1+2/8+5/4+3/6 = 9 = 5/1+2/8+7/4+6/3

Saludos,
merfat
Omar-P | 25 de August de 2007 | 23:15

Merfat, he notado que se produce algo muy interesante si escribes la primera igualdad del siguiente modo: 2/8 + 3/6 + 5/4 + 7/1 = 9
Los numeradores son los primeros 4 números primos; 2, 3, 5, 7 y los denominadores son los primeros 4 números no-primos ordenados en forma decreciente; 8, 6, 4, 1.
merfat | 26 de August de 2007 | 01:35

¡Buenísimo!, gracias Omar.
Y ya, para seguir buscando otras “propiedades” interesantes (si Diamond lo permite, sino pido las excusas por adelantado), se me ocurrió cambiar las divisiones por multiplicaciones: 2×8+3×6+5×4+7×1=61, ¡número primo!
Ahora, 6+1=7 (primo) y 61=7+17+37 (primos terminados en 7).
Usando 7 sietes, algunas de las operaciones básicas y los paréntesis, se puede obetener 61.
Los sietes se pueden concatenar.
Saludos,
merfat
Mithril | 26 de August de 2007 | 02:51

En cuanto al problema de los sietes,
7*7+77/7+7/7=61
Saludos
Omar-P | 26 de August de 2007 | 03:45

Mithril: Tú nombre tiene 7 letras y el número 61 es el mayor de los integrantes de la séptima pareja de primos gemelos.