Construcciones con regla y compás (I): Introducción y primeras construcciones

Con este post comienza una serie de tres artículos relacionados con las construcciones ideales con regla y compás.

Introducción

Podemos decir que la construcción con regla y compás consiste en la determinación de puntos, rectas (o segmentos de ellas) y circunferencia (o arcos de las mismas) a partir de una regla y un compás ideales. ¿Qué queremos decir con ideales? Muy sencillo:

La regla tiene longitud infinita, no tiene marcas que permitan medir o trasladar distancias y tiene sólo un borde. Puede usarse solamente para trazar un segmento de recta entre dos puntos ya dados o para prolongar un segmento dado todo lo que queramos.
El compás se cierra cuando lo levantamos del papel. Es decir, después de utilizarlo olvida la distancia que tenía entre sus puntas. Puede usarse solamente para trazar circunferencias (o arcos de ellas) tomando como centro un punto ya dado y como radio la distancia entre ese punto y otro también dado de antemano.

En principio puede parecer que las normas que hemos impuesto para nuestras herramientas de trabajo son demasiado restrictivas, que podremos hacer poco con ellas, pero en realidad no es así. Estos instrumentos con estas características dan muchísimo juego, como podremos comprobar de aquí en adelante.

Definición de punto construible

Partimos de un conjunto de puntos $S=\left \{p_0,p_1, \ldots,p_n \right \}$ del plano. Vamos a definir las figuras que son trazables:

Una recta es trazable a partir de $S$ si pasa por (al menos) dos puntos de $S$ .
Una circunferencia es trazable a partir de $S$ si tiene por centro un punto de $S$ y por radio la distancia entre dos puntos cualesquiera de $S$ .

Ahora vamos a definir punto construible:

Un punto es construible con regla y compás a partir de $S$ si es un punto del conjunto $S$ , si es un punto intersección de dos rectas trazables a partir de $S$ , si es un punto intersección de una recta y una circunferencia trazables a partir de $S$ o si es un punto intersección de dos circunferencias trazables a partir de $S$

A partir de un cierto conjunto $S$ obtengo por construcción con regla y compás el conjunto $S^\prime$ formado por todos los puntos construibles a partir de $S$ . Reiterando este procedimiento generamos una sucesión de conjuntos $S_n, n \ge 1$ :

$\left \{ \begin{matrix} S_1=S \\ S_{n+1}=S^\prime_n\end{matrix} \right .$

Definimos el conjunto $\overline{S}$ como la unión de tods estos conjuntos, es decir:

$\displaystyle{\overline{S}=\bigcup_n S_n}$ .

Siguiendo esto un punto del plano será construible si y sólo si ese punto pertenece a $\overline{S}$ . Por tanto $\overline{S}$ reúne a todos los puntos del planos construibles con regla y compás.

¿Cuántos puntos nos harían falta para poder hacer cosas interesantes? Podríamos pensar que muchos, pero no es así. Es evidente que si partimos de un punto solamente, $S=\left \{p_0 \right \}$ , entonces $\overline{S}=\left \{p_0 \right \}$ , es decir, nos quedamos con el punto del que partimos y no obtenemos nada. Con dos puntos, $S=\left \{p_0,p_1 \right \}$ , es suficiente para tener juego suficiente. Vamos a ello.

Primeras construcciones con regla y compás

Vamos a ver algunas construcciones que podemos hacer con regla y compás. Para algunas de ellas partiremos de dos puntos. Para otras añadiremos de partida alguno más que será construible a partir de los dos primeros:

Mediatriz de un segmento

A partir de dos puntos $\left \{p_0,p_1 \right \}$ podemos construir el segmento que los une. Pinchamos ahora con el compás en $p_0$ y trazamos una circunferencia tomando como radio la distancia entre $p_0$ y $p_1$ . Después pinchamos en $p_1$ y trazamos otra circunferencia cuyo radio es la misma distancia anterior. De esta forma hemos construido dos nuevos puntos: los dos puntos donde se cortan las dos circunferencias. Uniendo esos dos puntos obtenemos la mediatriz del segmento inicial

Bisectriz de un ángulo

Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados $\left \{p_0,p_1,p_2 \right \}$ :

Trazamos las rectas por las que pasan $p_0$ y $p_1$ (recta $r$ ) y $p_0$ y $p_2$ (recta $s$ ). Con centro en $p_0$ y radio la distancia entre $p_0$ y $p_1$ trazamos un arco de circunferencia que corte a la recta $s$ , obteniendo el punto $q$ . Ahora trazamos un arco de circunferencia con centro $q$ y radio la distancia entre $q$ y $p_1$ y otro arco con centro en $p_1$ y radio la misma distancia. Esos dos arcos se cortan en un punto. Trazamos la recta que une ese punto con $p_0$ y obtenemos la bisectriz del ángulo formado por $p_0$ , $p_1$ y $p_2$ .

Simétrico de un punto respecto del otro

A partir de dos puntos $\left \{p_0,p_1 \right \}$ trazamos la recta que pasa por ellos. Después pinchamos con el compás en $p_0$ y con radio la distancia entre $p_0$ y $p_1$ trazamos una circunferencia. Esa circunferencia corta a la recta antres trazada en otro punto que es precisamente el simétrico de $p_1$ respecto de $p_0$ .

Paralela a una recta dada

Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados $\left \{p_0,p_1,p_2 \right \}$ :

Trazamos la recta que pasa por $p_0$ y $p_1$ . Después trazamos un arco de la circunferencia de centro $p_2$ y radio la distancia entre $p_0$ y $p_1$ y otro arco de circunferencia de centro $p_1$ y radio la distancia entre $p_0$ y $p_2$ . Acabamos de construir otro punto: el punto de corte de los dos arcos de circunferencia. Trazando ahora la recta que pasa por ese punto y por $p_2$ obtenemos la paralela buscada.

División de un segmento en n partes iguales

Partiendo de $p_0$ y $p_1$ trazamos el segmento que los une, que será el que vamos a dividir en n partes iguales. Trazamos arcos de circunferencia con centro en cada uno de esos puntos y radio la distancia entre ellos. Obtenemos dos puntos de corte de esos arcos. Tomamos uno de ellos, digamos $p_2$ , y trazamos la semirrecta que parte de $p_0$ y pasa por $p_2$ . Llamemos a esta semirrecta $r$ . Con centro en $p_2$ y radio la distancia entre $p_0$ y $p_2$ trazamos una circunferencia que cortará a $r$ en otro punto, digamos $p_3$ . Con centro en $p_3$ y radio la distancia entre $p_0$ y $p_2$ trazamos una circunferencia que cortará a $r$ en otro punto, digamos $p_4$ . Continuamos con el proceso hasta que hayamos dividido la semirrecta $r$ en n partes iguale. Según nuestra notación pararíamos en el punto $p_{n+1}$ . Ahora trazamos el segmento que une $p_{n+1}$ con $p_1$ y vamos trazando semirrectas paralelas a éste que pasen por cada uno de los puntos obtenidos en la semirrecta $r$ y que corten al segmento inicial. Así conseguimos dividirlo en n partes iguales.

Perpendicular a una recta dada

Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados $\left \{p_0,p_1,p_2 \right \}$ :

Trazamos la recta que pasa por $p_0$ y $p_1$ . Queremos trazar la recta perpendicular a esa que pasa por $p_2$ . Trazamos la mediatriz del segmento que une $p_0$ y $p_1$ . Si $p_2$ pertenece a esa mediatriz ya hemos acabado. Y si no pertenece trazamos la paralela a la mediatriz que pasa por $p_2$ como hemos explicado justo antes.

Construcción de unos ejes coordenados

Partiendo de $\left \{p_0,p_1 \right \}$ trazamos la recta que pasa por ellos y la denominados eje X. Después trazamos la mediatriz del segmento que los une y después una paralela a esa mediatriz que pase por $p_0$ a la que llamamos eje Y. Obtenemos entonces unos ejes coordenados cuyo origen de coordenadas es $p_0$ y cuya unidad es la distancia entre $p_0$ y $p_1$ . Podemos asociar entonces el punto $p_0$ con el $(0,0)$ y el punto $p_1$ con el $(1,0)$ .

Construcción de los números enteros

En los ejes coordenados que acabamos de construir ya tenemos el ${0}$ y el $1$ . Trazando una circunferencia con centro en $1$ y radio 1 (distancia entre $p_o$ y $p_1$ ) obtenemos otro punto al cortar la circunferencia con el eje X. Ese punto sería el $(2.0)$ . Hemos construido por tanto el número entero $2$ . Siguiendo con el proceso podemos obtener todos los enteros positivos trazando circunferencias hacia la derecha del $2$ y los enteros negativos trazando circunferencias a la izquierda del ${0}$ .

Proyecciones de un punto sobre los ejes

Partimos de un punto construible $P=(x,y)$ que no esté sobre ninguno de los ejes (si lo está no hay nada que hacer). Trazando la paralela al eje Y que pasa por $P$ obtenemos la proyección sobre el eje X de $P$ , $(x,0)$ ; y trazando la paralela al eje X que pasa por $P$ obtenemos la proyección sobre el eje Y de $P$ , $(0,y)$ .
Si tengo las proyecciones de un punto puedo construir el punto en cuestión de forma análoga.

Opuesto de un punto

Partimos de unos ejes coordenados y un punto construible $P=(x.y)$ que no esté en ninguno de los ejes. Construimos sus proyecciones sobre los ejes: $(x,0)$ y $(0,y)$ . A partir de ellas obtenemos sus simétricos respecto del origen: $-x,0)$ y $(0,-y)$ . Y a partir de éstos construimos el opuesto de $P$ : $(-x,-y)$ .

Suma de coordenadas

Partimos de dos puntos construibles $P=(x,y)$ y $Q=(x^\prime,y^\prime)$ . Trazamos el segmento $\overline{0P}$ y una paralela a este segmento que pase por $Q$ . Después trazamos el segmento $\overline{0Q}$ y una paralela a este segmento que pase por $P$ . Esas dos paralelas se cortan en un punto cuyas coordenadas son $(x+x^\prime,y+y^\prime)$ .

Producto de construibles

Partimos de unos ejes coordenados y dos puntos construibles sobre el eje X, digamos $(a,0)$ y $(b,0)$ . Construimos el punto $(0,a)$ trazando la circunferencia de centro ${0}$ y radio $a$ . Trazamos la recta que pasa por $(0,a)$ y $(1,0)$ (tenemos este punto al tener los ejes). Trazamos la paralela a esta recta que pasa por $(b,0)$ cortando entonces al eje Y en un punto, digamos $(0,x)$ . Aplicamos ahora el teorema de Thales:

$\cfrac{x}{a}=\cfrac{b}{1} \longrightarrow x=ab$

Cociente de construibles

Partimos de unos ejes coordenados y dos puntos construibles sobre el eje X, digamos $(a,0)$ y $(b,0)$ . Construimos el punto $(0,1)$ trazando la circunferencia de centro ${0}$ y radio $1$ . Trazamos la recta que pasa por $(0,1)$ y $(a,0)$ . Trazamos la paralela a esta recta que pasa por $(b,0)$ cortando entonces al eje Y en un punto, digamos $(0,x)$ . Aplicamos ahora el teorema de Thales:

$\cfrac{x}{1}=\cfrac{b}{a} \longrightarrow x=\cfrac{b}{a}$

Si $b=1$ entonces $x=\cfrac{1}{a}$ y por tanto hemos construido el inverso de un número construible $a$ .

Con esto además obtenemos que todos los números racionales son construibles.

Construcción de un cuadrado de área construible

Partimos de unos ejes coordenados y un punto situado en el eje X, digamos $(a,0)$ . Por tanto la distancia entre el origen de coordenadas y este punto es $a$ . Construimos el punto $a+1$ tomando la distancia 1 y trazando circunferencia de centro $a$ y radio 1. Después construimos el punto $\frac{a+1}{2}$ (punto medio del segmento $\overline{0(a+1)}$ ). Trazamos ahora la semicircunferencia de centro $\frac{a+1}{2}$ y radio $a+1$ que está por encima del eje X. Trazamos paralela al eje Y que pasa por el punto $1$ . Esa paralela corta a la semicircunferencia en un punto que llamamos $b$ (cuya distancia al punto $1$ llamamos $x$ ). Construyendo ahora los segmentos $\overline{0b}$ (cuya medida llamamos $y$ ) y $\overline{b(a+1)}$ (cuya medida llamamos $z$ ) obtenemos tres triángulos:

$(1)=\widehat{0b(a+1)}$
$(2)=\widehat{0b1}$
$(3)=\widehat{1b(a+1)}$

Aplicamos el teorema de Pitágoras a los tres triángulos (por ser el segmento $\overline{0(a+1)}$ un diámetro de la semicircunferencia el ángulo $\left \langle 0b(a+1) \right .$ es un ángulo recto):

$(1) \rightarrow (a+1)^2=y^2+z^2$
$(2) \rightarrow y^2=x^2+1$
$(3) \rightarrow z^2=x^2+a^2$

Trasladando la información de $(2)$ y $(3)$ a $(1)$ obtenemos:

$a^2+2a+1=x^2+1+x^2+a^2 \rightarrow a=x^2 \rightarrow x=\sqrt{a}$

Por tanto hemos obtenido un segmento, el $\overline{1b}$ , de longitud $\sqrt{a}$ . Dibujamos ahora una circunferencia de centro ${0}$ y radio $\sqrt{a}$ y el punto de corte con el eje X será el punto $(\sqrt{a},0)$ . Trazamos ahora una perpendicular al eje X que pase por este punto y luego una circunferencia con centro $(\sqrt{a},0) y radio$ latex \sqrt{a}$. Obtenemos así el punto $(\sqrt{a},\sqrt{a})$ . Trazando una paralela al eje X que pase por ese punto obtenemos un cuadrado de lado $\sqrt{a}$ que efectivamente tiene area $a$ .

Relación con los números complejos

Los puntos construibles y los números complejos están muy relacionados (ya se puede intuir alguna relación sabiendo que cada punto del plano puede representarse como un número complejo y viceversa). De hecho la relación es muy interesante, ya que si consideramos la aplicación $\Phi: \mathbb{P} \rightarrow \mathbb{C}$ entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de los números complejos que lleva a cada punto del plano en su número complejo asociado y partimos de $S=\left \{0,1 \right \}$ tenemos que $\Phi(\overline{S})$ es un subcuerpo de $\mathbb{C}$ , es decir, el conjunto de número complejos asociados a todos los puntos construibles es un cuerpo (recordemos que $\overline{S}$ era el conjunto de puntos construibles a partir de un conjunto de puntos $S$ dado) contenido (estrictamente) en $\mathbb{C}$ . Ésto matemáticamente es muy interesante ya que nos permite utilizar todas las propiedades de un cuerpo con los puntos construibles.

Además este cuerpo es cerrado para conjugación, ya que si consideramos el número complejo asociado a un punto construible se tiene que el punto asociado al conjugado de ese número complejo también es construible; y cerrado para raíces cuadradas, ya que si consideramos el número complejo asociado a un punto construible se tiene que el punto asociado a la raíz cuadrada (para evitar problemas tomamos la raíz cuadrada cuyo argumento sea menor que $\pi$ ) de ese número complejo también es construible. De hecho es el menor subcuerpo de $\mathbb{C}$ con estas características.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de Octubre de 2007
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Categorías: Geometría | Imprime este post

38 comentarios

Lyserg Reginleif.- | 1 de Octubre de 2007 | 15:25

Hay que hacer todo esto con calma, o de pequeñas fallas salen grandes errores.

Recuerdo que en clases en mi excolegio, el profe ocupaba un compas con chupon…
el tema es que estuvo cerca de una hora reloj haciendo una construccion, ocupo hasta parte de la muralla y le fallo el ejercicio, le quedo muy largo un trazo xD
Isaac G | 2 de Octubre de 2007 | 0:46

!¿Quién pensaría que se pueden hacer tantas cosas con sólo la regla y el compás?! Sería muy interesante ver qué construcciones no se pueden hacer (y el porqué). Diamond, a ver si en tu próximo post nos puedes hablar un poco de por qué son imposibles de construir ciertos polígonos o por qué no se puede trisectar un ángulo.

Cambiando un poco de tema, necesito un poco de AYUDA, o más bien unas recomendaciones. Necesito hacer un trabajo sobre grupos de permutaciones y sus aplicaciones. Les agredacería MUCHO si me pudieran recomendar un tema en particular (una aplicación interesante y de la cual se pueda encontrar material suficiente)… ahh, pero que no sea sobre el cubo de rubik, o sobre códigos, porque al parecer ya todos están trabajando en esos temas y se me exige que sea un tema original.
^DiAmOnD^ | 2 de Octubre de 2007 | 2:37

Isaac los próximos posts sobre el tema van precisamente de eso. Paciencia

Respecto a tu trabajo: a ver si tengo algo de tiempo estos días y miro algo, aunque no te lo aseguro porque ya se me han acabado las vacaciones y el tiempo vuelve a ser muy escaso :(. De todas formas a ver si alguien te recomienda algo. De todas formas lo mejor sería que te lo recomendaran por mail en vez de en los comentarios de este artículo. Si quieres deja tu mail por aquí y espera que te comenten cosas.
Palomo | 2 de Octubre de 2007 | 5:01

No entendí una cosa: si el compás no guarda la distancia, es decir, se cierra al levantarlo… cómo hago para trazar una circunferencia de centro p(0) y radio igual a la distancia de p(1)p(2)?

O sea: como puedo tomar una distancia y utilizarla como radio de una circunferencia si el compás se cierra??
fede | 2 de Octubre de 2007 | 10:10

Euclides demuestra en las proposiciones (problemas) 1, 2 y 3 del libro primero de los Elementos que es posible transportar segmentos con el compás colapsable (y por tanto que el uso de éste es equivalente al del compás no colapsable).

http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm#Libro%20I

Euclides utiliza la regla en sus construcciones, pero hoy se sabe que no es necesaria.
Tito Eliatron | 2 de Octubre de 2007 | 17:10

Palomo, el compás se cierra en cuanto lo levantas del centro. Mientras no lo levantes del centro de giro, puedes abrirlo lo que quieras.
Omar-P | 2 de Octubre de 2007 | 19:40

DiAmOnD:
Creo que sería bueno agregar la “Construcción de los números primos” en la lista de las “Primeras construcciones con regla y compás” que nos mostraste arriba. Esta nueva posibilidad podría ubicarse luego de la construcción de los números enteros. ¿Qué te parece esta idea?
Palomo | 3 de Octubre de 2007 | 19:46

Claro, pero si el segmento tomado como radio es p(1)p(2) y el centro de la circunferencia es p(0), entonces no hay manera de trazar esa circunferencia sin levantar el compás… o sea: tomo con el compás la medida p(1)p(2)… a partir de allí puedo trazar una circunferencia de radio p(1)p(2), y centro en p(1) o en p(2), pero si quiero que el centro sea un tercer punto p(0), entonces debo si o si levantar el compás, y la medida se perderá.
fede | 3 de Octubre de 2007 | 22:17

Palomo, como señalas, la operación:
“Dados 3 puntos A, B y C trazar un círculo con centro A y radio BC”
no puede realizarse directamente con el compás definido.

Pero Euclides demuestra en la segunda proposición de los Elementos que sí se puede realizar con dos rectas y cuatro aplicaciones del compás definido, es decir operaciones del tipo: “Dados 2 puntos A y B, trazar un círculo con centro A y radio AB”.

La demostración se puede ver en el enlace que puse antes. O también (en inglés) aquí.
Tito Eliatron | 4 de Octubre de 2007 | 10:18

Palomo
Dados 3 puntos O,P,Q trazar la circunferencia de centro O y radio $\overline{PQ}$ :

1.- Trazamos la recta OP (llamémosla r)
2.- Trazo la paralela a r que pasa por Q (llamemosla s)
3.- trazamos la recta PQ
4.- trazamos la paralela a PQ por O.
Hemos construido un paralelogramo de lados OP y PQ, así que ya he trasladado la distancia PQ a una recta y con orifen O.

PS: trazar paralelas a una recta dada, ya se vio en el post que era “construible”
Domingo H.A. | 4 de Octubre de 2007 | 12:35

A propósito de este tema tan interesante, se me ha ocurrido plantear (con el permiso de ^DiAmOnD^) el siguiente problema:

“Demostrar (rigurosamente) que $\displaystyle{\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\Phi}{2}}$ , siendo $\Phi=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ el número áureo.”

A ver cuántas demostraciones distintas se nos ocurren para esta identidad trigonométrica.

Esta cuestión bien merece ser tratada de modo independiente, pero me ha parecido oportuno ponerla aquí ya que dicha identidad asegura que el pentágono regular es constructible con regla y compás, ya que podemos expresar las razones trigonométricas del ángulo central en términos de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces cuadradas de números naturales.

El gran Gauss asombró a la comunidad matemática indicando un modo de construir el heptadecágono regular (17 lados). ¿Alguien se atreve a dar (y justificar) a la expresión del $\displaystyle{\cos\left(\frac{\pi}{17}\right)}$ en términos de las operaciones básicas y la extracción de raíces cuadradas de naturales?
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Blog para la formación didáctico-matemática de estudiantes para maestro » Blog Archive » Regla y Compás
Domingo H.A. | 7 de Octubre de 2007 | 13:34

¿¿¿nadie se anima a hincarle el diente a la igualdad que puse arriba???

$\displaystyle{\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\Phi}{2}},$

siendo $\Phi=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ el número áureo.
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Gaussianos » Construcciones con regla y compás (II): Los problemas délicos
Domingo H.A. | 9 de Octubre de 2007 | 23:03

Doy una pista para probar que $\displaystyle{\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\Phi}{2}}$ …a ver si alguien tiene tiempo y se anima…

Hay varios modos de probarlos, pero de los que conozco el más natural creo que consiste en considerar un pentágono regular, trazar las diagonales y explotar la semejanza en los triángulos que aparecen en la figura.

A ver si alguien…
Tito Eliatron | 10 de Octubre de 2007 | 13:39

Venga, una forma analítica:

Es fácil probar que $\cos(5\alpha)=\cos^5\alpha-10\cos^3\alpha\sin^2\alpha+5\cos\alpha\sin^4\alpha$

Si llamamos $x=\cos(\pi/5)$ y aplicamos la fórmulña anterior para $\alpha=\pi/5$ , resulta que $-1=x^5-10x^3(1-x^2)+5x(1-x^2)^2$ es decir, $16x^5-20x^3+5x+1=0$ cuyas soluciones son $x=-1,\ \Phi/2\ \text{y }\frac{1-\sqrt{5}}{4}$ (estas dos últimas, dobles).

Pero está claro que de todas ellas, la única posible, dado que $\pi/5$ está en el Primer Cuadrante, es que $x=\cos(\pi/5)=\Phi/2$ .
Domingo H.A. | 10 de Octubre de 2007 | 16:08

jejeje, vale. La forma analítica, sin embargo, suena a truco de magia y es algo artificial, no? ¿Podríamos probar con el pentágono regular y así lo relacionamos con el post? Recordemos que la razón entre la diagonal y el lado del pentágono regular es precisamente el número áureo. A ver si con esa pista…
Tito Eliatron | 10 de Octubre de 2007 | 16:51

ya, pero poner aquí un dibujito, es algo complicado.
De ahí el intento analítico.

Por cierto, de forma análoga podría intentar obtenerse la forma “constructible” de $\cos(\pi/17)$
Domingo H.A. | 10 de Octubre de 2007 | 18:34

Bueno, partiendo del pentagono regular

http://img413.imageshack.us/my.php?image=pentagonomb7.jpg

vemos que los triángulos $V_1V_2V_3$ y $V_1V_5V_2$ son semejantes, y en particular: $\displaystyle{\frac{L_1}{L_2}=\frac{D}{L_1}}$

así como también lo son los triángulos $V_5V_2V_6$ y $V_2V_4V_3$ : $\displaystyle{\frac{D}{L_2}=\frac{L_1}{L_3}}$

Además se tiene que $L_1=L_2+L_3$ y así la diagonal verifica $D=2\cdot L_2+L_3=L_1+L_2$ . Por lo tanto,

$\displaystyle{\frac{L_1}{L_2}=\frac{D}{L_1}}= \displaystyle{\frac{D}{L_2}\cdot\frac{L_2}{L_1}} =\displaystyle{\frac{L_1}{L_3} \cdot \frac{L_2}{L_1}= \frac{L_2}{L_3}}$ .

Así obtenemos la famosa relación $\displaystyle{\frac{D}{L_1}=\frac{L_1}{L_2}=\frac{L_2}{L_3}}$

Como $L_1=L_2+L_3$ , sigue que $\displaystyle{\frac{L_1}{L_2}=1+\frac{L_3}{L_2} =1+\left(\frac{L_1}{L_2}\right)^{-1}}$ , y por lo tanto se deduce que $\displaystyle{\frac{L_1}{L_2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi}$ ya que esta razón de longitudes es mayor que la unidad.

Finalmente, usando el teorema del seno en el triángulo $V_2V_4V_3$ obtenemos que

$\displaystyle{\frac{sen(\frac{2\pi}{5})}{D}}=\frac{sen(\frac{\pi}{5})}{L_1}$ ,

que nos conduce a la relación pedida $\displaystyle{2cos\left(\frac{\pi}{5}\right)}=\displaystyle{\frac{D}{L_1}}=\Phi$

Precioso, ¿verdad?
Domingo H.A. | 10 de Octubre de 2007 | 18:54

Otra forma analítica de probar la igualdad anterior es considerando la suma cuadrática gaussiana para n=5 (ver http://gaussianos.com/suma-de-potencias-complejas/ )

$S=1+z+z^4+z^9+z^{16}$ , con $z=e^{\frac{2\pi i}{5}}$ .

Operando un poco: $S=1+2(z+z^{-1})=1+4cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ que es positivo.

Elevando al cuadrado:

$S^2=1+4(z+z^{-1})+4(2+z^2+z^{-2})=1+4(z+z^2+z^3+z^4)+8=1+4(-1)+8=5$

Por lo tanto $S=\sqrt{5}$

Finalmente, la igualdad $1+4cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\sqrt{5}$ nos conduce, usando la fórmula del coseno del ángulo doble, a la igualdad que se pedía.
^DiAmOnD^ | 11 de Octubre de 2007 | 1:37

Muy buena pregunta y muy buenas respuestas. De todas formas recordad que dije que la serie sobre construcciones con regla y compás era de 3 artículos, o sea que todavía queda uno…
Asier | 16 de Octubre de 2007 | 0:30

Se me ha ocurrido esta demostración geométrica para la igualdad que ha planteado Domingo.

Sin ecuaciones ni complicadas relaciones trigonométricas.

Lo dejo sin explicaciones para que le deis un par de vueltas.

$\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{5} \right) = \frac{\Phi}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$

http://docs.google.com/Doc?id=dgh7fkb7_34fhh43q
Asier | 20 de Octubre de 2007 | 22:52

Me he dado cuenta de que el dibujo de mi post anterior es además una ‘demostración con regla y compás’:

construimos el pentágono regular tal y como se explica en el tercer post sobre estas construcciones, alargamos uno de los lados (la base) hasta el punto donde se cruza con la gran circunferencia que define la recta que va hasta el vértice opuesto del pentágono, aplicamos la división del segmento en 4 partes iguales, dibujamos una paralela al segmento y trazamos perpendiculares de los 4 puntos (líneas verdes en el dibujo), construimos fácilmente el rectángulo 2×1 y con el compás dibujamos una circunferencia tomando como radio los vértices opuestos del rectángulo 2×1. En el punto que se corta con la línea horizontal que habíamos dibujado, trazamos una perpendicular y vemos que efectivamente pasa por el vértice del pentágono.
Trackback | 22 Oct, 2007

Gaussianos » Construcciones con regla y compás (III): Los polígonos regulares
Trackback | 24 Oct, 2007

Construcciones con regra e compás « A mochila do profe de mates
erendira!! | 25 de Octubre de 2007 | 3:18

Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados :

Trazamos la recta que pasa por y . Después trazamos un arco de la circunferencia de centro y radio la distancia entre y y otro arco de circunferencia de centro y radio la distancia entre y . Acabamos de construir otro punto: el punto de corte de los dos arcos de circunferencia. Trazando ahora la recta que pasa por ese punto y por obtenemos la paralela buscada.

(coloque un ejemplo porfavor)!
Trackback | 23 Ago, 2008

Gaussianos » El teorema de Morley
Rodolfo Nieves | 2 de Octubre de 2008 | 1:01

ESTIMADOS AMIGOS CON ESTE TEOREMA QUEDA DEFINITIVAMENTE CONFIRMADO QUE PI ES CONSTRUIBLE CON REGLA Y COMPAS.

TEOREMA: SI EL ARCO COMPRENDIDO ENTRE LOS DOS LADOS IGUALES
DE UN TRIANGULO ISOCELES ACUTANGULO PASA POR EL
ORTOCENTRO DE DICHO TRIANGULO Y ADEMAS PASA POR
LOS PUNTOS MEDIOS DE DICHOS LADOS IGUALES ENTONCES
LA SUMA DE LAS DOS TANGENTES DE LOS ANGULOS
OPUESTOS A LOS DOS LADOS ADYACENTES A LA BASE ES
IGUAL A Pí (π)

SALUDOS Y ESPERO SU OPINION

RODOLFO NIEVES
^DiAmOnD^ | 2 de Octubre de 2008 | 3:05

Vamos a ver si consigo explicarme con la suficiente claridad:

$\pi$ NO ES CONSTRUIBLE CON REGLA Y COMPÁS

Por si no ha quedado claro lo repito: $\pi$ NO es construible con regla y compás.

Ah, se me olvidaba decir algo:

$\pi$ NO es construbile con regla y compás

Espero que haya quedado claro.
RODOLFO NIEVES | 2 de Octubre de 2008 | 23:46

Amigo Diamond, comprendo tu posición perfectamente y además estoy consciente de que el problema es conceptual, todo depende de la posición que tú asumas. Te pongo esta duda en tus manos…tu trabajo esta basado en la geometría absoluta o geometría relativa?. Solo estoy compartiendo este Teorema con ustedes y por su puesto TODO TEOREMA TIENE QUE SER DEMOSTRADO…VERDADERO o FALSO? ESPERO POR SU OPINION
Omar-P | 3 de Octubre de 2008 | 0:19

Rodolfo, ¿Puedes presentar un dibujo geométrico que ilustre lo que quieres decir?
Rodolfo Nieves | 4 de Octubre de 2008 | 0:00

Omar-P envíame tu correo para enviarte un dibujo con la demostración geométrica y algebráica. Este es mi correo fesol7luzley@yahoo.com. Y cualquiera que lo desee sienta la libertad de escribirme.

Saludos

Rodolfo

DEMOSTRACION

SEAN: PH ; RD ; OB = ( ALTURAS ) DEL TRIANGULO PBD

DONDE: RD = OB (DOS ALTURAS IGUALES)

Y: RD OB PH (SE INTERCEPTAN EN EL ORTOCENTRO) (PUNTO I)
Y SI: GJ I (EL ARCO GJ INTERCEPTA AL PUNTO I)
DONDE: PJ = JD = PG = GB (J y G SON LOS PUNTOS MEDIOS DE PD y PB)

Y: Tang < PDB = Tang < PBD (ANGULOS CON VERTICES EN D y B)

DONDE: (DB = BASE)

ENTONCES: Tang < PDB + Tang < PBD = π
Rodolfo Nieves | 4 de Octubre de 2008 | 0:04

Los que estén interesados envienme correos para enviarle la demostración completa. Yo traté pero no pude.

Rodolfo
mi correo es:
fesol7luzley@yahoo.com
Rodolfo Nieves | 4 de Octubre de 2008 | 0:49

Amigos el que desee el gráfico sobre la Construcción de Pi con Regla sin marcas y compás puede revisarlo en MONOGRAFIAS.COM en la categoria de MATEMATICAS.

Gracias y saludos

Rodolfo Nieves
javier | 27 de Junio de 2009 | 2:03

¿como divido un segmento en 3 partes iguales utilizando solamente compás y regla? favor de enviar método a mi correo también. gracias, javier
Trackback | 29 Jun, 2009

Falacias geométricas (I) | Gaussianos
Trackback | 29 Jun, 2009

Falacias geométricas (I) | Gaussianos « El camello, el León y el niño. O la evolución del perro al lobo.
krilin | 13 de Noviembre de 2009 | 4:34

Muchas felicidades por este gran proyecto, me gustaria aprender más sobre probabilidad y sus aplicaciones. Ojala y puedan mandarme algun link o algo para empezar con esta materia.