Construcciones con regla y compás (III): Los polígonos regulares

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Terminamos esta serie dedicada a las construcciones con regla y compás con un artículo sobre la relación de éstas con los polígonos regulares.

La pregunta es sencilla: ¿se pueden construir todos los polígonos regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos A y B:

Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero

Es el polígono regular con menor número de lados que podemos tener. Su construcción es muy sencilla:

Trazamos una circunferencia con centro en A y radio AB y otra con centro en B y mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos.Tomamos uno de ellos, digamos P. Trazando los segmentos AP y PB obtenemos el triángulo equilátero APB.

Triángulo Equilátero

Polígono regular de 4 lados: Cuadrado

La construcción del cuadrado también es sencilla:

Trazamos una circunferencia con centro en A y radio AB. Esa circunferencia corta al eje Y en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos P. Trazamos la recta paralela al eje X que pasa por P y la recta paralela al eje Y que pasa por B. El punto de corte de las mismas, digamos Q, es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos AP, PQ y QB obtenemos nuestro cuadrado.

Cuadrado

Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular

La construcción del pentágono es algo más complicada que las anteriores, pero sigue siendo ciertamente asequible:

Trazamos la paralela al eje Y que pasa por B, digamos r. Se traza la mediatriz del segmento AB obteniendo el punto O como corte con el eje X. Trazamos la circunferencia de centro B y radio AB, digamos C1. Obtenemos el punto M como corte de C1 con la recta r. Con centro en O trazamos la circunferencia de radio OM, C2, obteniendo el punto S de corte con el eje X. Trazamos ahora la circunferencia de centro A y radio AS, C3. Obtenemos el punto P al cortar con C1 y el punto Q como corte con la mediatriz del segmento AB. Para obtener el vértice que nos falta, R, simplemente construimos el punto simétrico a P respecto de la mediatriz del segmento AB. Uniendo los vértices obtenemos el pentágono regular buscado.

Pentágono regular

Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular

La construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La vemos:

Con radio AB trazamos circunferencias con centro A y B. Tomamos uno de los puntos de corte, digamos O. Ese es el centro del hexágono. Trazamos ahora la circunferencia de centro O y radio OA. Obtenemos los puntos P y Q como cortes con las circunferencias anteriores y R como corte con el eje Y. Trazando la paralela al eje Y que pasa por B obtenemos el último vértice, S, como corte de esta recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices obtenemos el hexágono regular buscado.

Hexágono regular

Polígono regular de 7 lados: Heptágono regular

El heptágono regular no es construible con regla y compás. Vamos a ver por qué:

Viendo las construcciones anteriores de otra forma, mediante la relación de los puntos del plano con los números complejos, para construir un polígono regular de n lados debe ser construible el número complejo z=cos(\frac{2\pi}{n})+i \cdot sen(\frac{2\pi}{n}). En el caso del heptágono debería ser construible el punto z=cos(\frac{2\pi}{7})+i \cdot sen(\frac{2\pi}{7}). Tenemos que el polinomio x^7-1 tiene a z como raíz. La descomposición en polinomios irreducibles en \mathbb{Q} queda así: (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1). Como z no es raíz de (x-1) debe serlo del otro factor. Pero el grado del mismo es 6, y ya vimos que para que un punto fuera construible el grado de su polinomio mínimo irreducible en \mathbb{Q} debía ser una potencia de 2. Por tanto no podemos construir el número complejo z y en consecuencia tampoco el heptágono regular.

Ya hemos encontrado el primero que no puede construirse con regla y compás. Si continuáramos nos daríamos cuenta de que el polígono regular de 8 lados sí es construible pero el de 9 lados no lo es. Y ahora la pregunta es bastante evidente: ¿sabemos qué polígonos regulares son construibles con reglas y compás? Por suerte . Y nuestro idolatrado Gauss es uno de los principales culpables, probablemente el que más. Vamos con el resultado:

Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y compás)

Un polígono regular de n lados es construible con regla y compás en el sentido expuesto si y sólo si la descomposición en factores primos de n es de la forma

n=2^r \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_k

siendo r \ge 0 y los p_i primos de Fermat distintos entre sí (recordemos que un primo de Fermat es un número primo que sea de la forma 2^{2^n}+1).

Es decir, que un polígono regular es construible si el número de lados del mismo es una potencia de 2, un primo de Fermat o producto de una cierta potencia de 2 (pudiendo ser 2^0=1) y varios primos de Fermat distintos. Y lo mejor del teorema es que es un si y sólo si, es decir, tenemos totalmente determinados los polígonos regulares que podemos construir con regla y compás. Así el triángulo (3=2^{2^0}+1), el cuadrado (4=2^2), el pentágono (5=2^{2^1}+1) y el hexágono (6=2 \cdot (2^{2^0}+1) son construibles con regla y compás pero el heptágono regular (7 \ne 2^{2^n}+1,\forall n) no lo es. Continuando, el octógono regular (8=2^3) sí es construible pero el eneágono regular (9=3^2 \ne 2^{2^n}+1,\forall n) no lo es.

Una de las implicaciones de este teorema fue probada por Gauss y la otra fue demostrada por Pierre Wantzel.

Una de las construcciones de polígonos regulares con regla y compás más conocidas es la del heptadecágono (polígono regular de 17 lados). La primera demostración de que esta construcción es posible se debe también a Gauss que la encontró cuando contaba con 19 años de edad, aunque parece ser que la primera construcción física de este polígono se debe a Johannes Erchinger. Parece ser que el hecho de encontrar la solución a este problema (que aparece en la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae) hizo que Gauss se decantara por las Matemáticas en vez de por la Filosofía. Puede ser que sea ésta la razón por la que mandó que se grabara un heptadecágono en su tumba, aunque al final el albañil encargado del asunto, al ver la dificultad de la construcción y que apenas se distinguiría de un círculo, terminó grabando una estrella de 17 picos (Fuente: Dios creó los números, de Stephen Hawking). Al final del artículo tenéis un enlace a una página donde, entre otros, podéis ver cómo construir un heptadecágono con regla y compás.

De hecho 17 es el tercer primo de Fermat. Los cinco primeros (y los únicos que se conocen) son 3,5,17,257 y 65537, del cual ya hablamos hace unos días. La primera construcción que se conoce de este monstruo de polígono se debe a Johann Hermes y data de 1894, después de 10 años de trabajo. Si la construcción es correcta valió la pena tanto esfuerzo.

Y para terminar algo de información para los retos que nos lanzó Domingo en este comentario del primer post de la serie:

Fuentes de los 3 artículos

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16 comentarios

  1. Trackback | 15 oct, 2007

    Gaussianos » Construcciones con regla y compás (II): Los problemas délicos

  2. Domingo H.A. | 15 de octubre de 2007 | 09:24

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    Me ha encantado el post. Está muy bien escrito y se lee y entiende fácilmente. Sólo dos comentarios que me gustaría que alguien más leído en historia confirmase:

    1) el heptadecágono no fue construído por Gauss. Gauss demostró (en 1796) que podría construirse con regla y compás (en sentido abstracto), pero hubo que esperar a 1825 a que Johannes Erchinger lo construyera “físicamente” por primera vez (en 64 pasos). http://de.wikipedia.org/wiki/Siebzehneck

    2) El heptadecágono no fue finalmente representado en la tumba de Gauss, pues el encargado de hacerlo hizo notar que la dificultad de su construcción no compensaba el esfuerzo necesario ya que el heptadecágono no se diferencaría mucho de un círculo. http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon

  3. ^DiAmOnD^ | 15 de octubre de 2007 | 13:43

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    Domingo buenas consideraciones. Eran dos detalles que yo creía ciertos. Supongo que las fuentes de donde los saqué (hace tiempo ya) no era lo suficientemente fiables.

    Para la comprobación de los dos detalles cito ahora las fuentes consultadas:

    -Construcción del heptadecágono: Al parecer Gauss sólo demostró que es posible construirlo con regla y compás. Puede verse esa demostración en la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae.

    -Inscripción en la tumba: Gauss mandó construir el heptadecágono en su tumba. Pero al parecer el albañil encargado, vista su dificultad y que apenas se distinguiría de un círculo, acabó construyendo una estrella de 17 picos. Este dato está sacado del libro Dios creó los números de Stephen Hawking.

  4. Domingo H.A. | 15 de octubre de 2007 | 17:19

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    ^DiAmOnD^,

    dado un polígono regular de n lados se puede trazar el correspondiente de 2n lados considerando la circunferencia circunscrita al primero y trazando mediatrices por cada uno de los lados (la intersección de las mediatrices con la circunferencia define los vértices restantes del polígono de 2n lados). Esto permite trazar los casos n=6,8,10,12,16 a partir de los casos n=3,4 y 5.

    El siguiente polígono constructible sería el de n=17. Para completar el tema, estaría bien incluir el mecanismo más simple que haya para la construcción de este polígono , no crees???
    Hay por ahí sitios donde se indica
    Este asunto es algo exigente, pero le daría caché al post.

  5. ^DiAmOnD^ | 16 de octubre de 2007 | 01:20

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    Domingo el primer tema que planteas es bastante claro. No lo incluí por eso, aunque ahora que lo pienso igual hubiese sido interesante.

    Sobre el polígono de 17 lados…pues tienes razón. He dejado por ahí un enlace donde explica una construcción, pero es cierto que sería interesante explicarlo en un artículo. Por la exigencia del asunto igual es mejor hacerlo en un artículo aparte. ¿Qué os parece?

  6. Chiti | 16 de octubre de 2007 | 18:15

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    De nada, ^DiAmOnD^. Gracias a ti también por tus interesantes aportaciones.

  7. Trackback | 16 oct, 2007

    Blog para la formación didáctico-matemática de estudiantes para maestro » Blog Archive » Más de Regla y Compás

  8. Trackback | 24 oct, 2007

    Construccións con regra e compás « A mochila do profe de mates

  9. nicolas barros uriburu | 24 de enero de 2013 | 04:34

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    Quería saber si conoces el planímetro: este instrumento se utiliza para el calculo de áreas irregulares. teniendo en cuenta que tiene su error al medir por una rodadura, pero me gustaría que existiera un post sobre “planímetro ideal” y por qué tiene esta particularidad.
    Agrego lo que encontré en Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Plan%C3%ADmetro

    Metodo de medición

    Se tiene un origen O, dos longitudes constantes conocidas R y L, y los ángulos variables  y  respectivamente, que se forman con la horizontal. Para poder calcular el área A de la sección irregular, según la teoría del cálculo, se emplea una integral de línea en sentido contrario a las manecillas del reloj (para resultado positivo).
    Pero el vector r, no es fácilmente implementable en la vida real, ya que se tiene un largo y un ángulo variables. Para simplificar la implementación del vector r, se recurre a la suma de dos vectores cuyo módulo es constante, pero se tendrían dos ángulos variables, los cuales son sencillos de medir.

    Obtención del modelo matemático

    Para calcular el área de una sección encerrada por una curva c, descrita por la ecuación vectorial r(t) se utiliza: A= (1)
    Donde (t)=(x(t),y(t))
    Ahora:
    x(t) = Rcos() + Lcos() (2) y(t) = Rsen() + Lsen() (3)
    Al aplicar (2) y (3) en la ecuación (1), se obtiene:
    A= (4)

    La verdad que sabiendo matemática, aun así me siento medio inutil al leer esto: aunque entiendo que la idea es una integración en base al arrastre de los brazos (de hecho lo he utilizado en la facu, como algo anecdotico, en topografía). También se que en base a esto las computadoras actuales pueden establecer el área de una figura dibujada “a mano”. La cuestión que me interesa es si la herramienta va por un camino matemático o mas bien numérico que, aunque supongo que mucho no importara en las cuestiones reales, si esto idealmente funciona de esa manera, entonces seria la herramienta que faltaba y que ayuda a la “cuadratura del circulo” que mencionas en este post.

    Ademas, de ser esto útil para cualquier superficie irregular, entonces también es posible imaginarme un “volumetro” con 3 brazos en movimiento en el espacio?

  10. Romeo | 27 de enero de 2013 | 18:06

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    El hexágono se puede construir sin trazar ninguna paralela. Simplemente con circunferencias se obtienen los vértices.

  11. Trackback | 2 jun, 2013

    Carl Friedrich Gauss: El príncipe de las matemáticas | salicontreras

  12. valeria | 5 de julio de 2013 | 01:04

    Vótalo Thumb up 3

    yo quiero una rosa cromatica de dose lados ..porf ayu

  13. alejandra saavedra | 28 de agosto de 2013 | 03:23

    Vótalo Thumb up 2

    me gusto MUCHO esta muy Bueno esta pagin a

  14. valeria | 4 de septiembre de 2013 | 15:37

    Vótalo Thumb up 3

    esta pagina es bacana pero falta un poco mas

  15. eyser gonzalez | 26 de septiembre de 2013 | 00:03

    Vótalo Thumb up 2

    el mejor es el de 23 puntas

  16. yenny paola ceballos ochoa | 26 de septiembre de 2013 | 14:31

    Vótalo Thumb up 2

    que buena pagina los felicito nuca vía visto una pagina así me ayudo mucho gracias

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