Construcciones con regla y compás (IV): La construcción del Heptadecágono

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A partir de esta sugerencia de Domingo he decidido ampliar la serie sobre Construcciones con regla y compás con un artículo más donde voy a explicar paso a paso la construcción del Heptadecágono, el polígono regular de 17 lados.

Como ya sabemos fue Gauss el primero que demostró que es posible construir este polígono regular con regla y compás con 19 años de edad. Tiempo después escribía lo siguiente:

“Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica.”

El problema de su demostración es que no fue constructiva, es decir, no nos mostró los pasos que hay que seguir para construirlo. Fue Johannes Erchinger el encargado de mostrarnos por primera vez un método para construir el heptadecágono consistente en 64 pasos.

La explicación se va a realizar de la siguiente forma: en cada una de las partes en las que he dividido el método habrá varias cosas hechas en el paso anterior. En cada uno de ellos se podrá ver una imagen de la construcción hasta ese momento:

Parte 1

Partimos, como en muchas de las construcciones que hemos visto en la serie, de un eje de coordenadas con centro O y otro punto en el eje X al que llamamos A. Trazamos circunferencia c de centro O y radio OA. Llamamos B al punto de corte de esa circunferencia con la parte positiva del eje Y y trazamos circunferencia de centro B y radio OB. Esta circunferencia corta a c en dos puntos a los que llamamamos C y D. Trazamos el segmento CD que corta al eje Y en un punto al que llamamos E. Las figuras construidas en este paso están en color negro.

Heptadecágono: Parte 1

Parte 2

Trazamos las circunferencias de radio OE que tienen sus centros en O y en E. Llamamos a los dos puntos de corte entre ellas F y G. Trazamos el segmento FG que corta al eje Y en un punto al que llamamos H. Trazamos ahora la bisectriz del ángulo AHO y después la bisectriz de ella con el eje Y. Llamamos I a la intersección de esta última bisectriz con el eje X. Las figuras construidas en este paso están en color azul.

Heptadecágono: Parte 2

Parte 3

Trazamos la perpendicular al segmento HI que pasa por el punto H y después la bisectriz de esta recta con la recta que pasa por H y por I. Llamamos J al punto de corte con el eje X. Construimos el punto medio del segmento AJ y lo llamamos K. Trazamos la circunferencia de centro K y radio KA. Llamamos L al punto de corte de esta circunferencia con la parte superior del eje Y. Las figuras construidas en este paso están en color verde.

Heptadecágono: Parte 3

Parte 4

Trazamos la circunferencia de centro I y radio I L y llamamos M y N a los puntos de corte de la misma con el eje X (nótese que N queda muy cerca de K, pero no son el mismo punto). Trazamos las perpendiculares al eje X que pasan por M y por N. Estas perpendiculares cortan a la circunferencia inicial c en P y Q, que son dos de los vértices del heptadecágono. Trazamos la bisetriz del ángulo POQ que corta a la circunferencia inicial c en el punto R, que es también uno de los vértices del heptadecágono. De hecho la longitud de cada uno de los lados es tanto la distancia PR como la distancia RQ. Trasladando esta distancia por la circunferencia inicial las veces necesarias obtenemos los vértices que nos faltan. Las figuras construidas en este paso están en color rojo.

Heptadecágono: Parte 4

Uniendo todos los vértices obtenidos llegamos a la construcción del heptadecágono. Para que se vea mejor he eliminado la circunferencia inicial.

Heptadecágono: Final

Como habéis podido ver la construcción no es fácil a priori, pero al final el esfuerzo merece la pena. Ahora, como con todos los artículos de la serie, lo suyo sería que lo intentarais por vuestra cuenta para ver si conseguís construir un heptadecágono con esta explicación.

Fuentes:

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Muy buen trabajo!! La verdad es que la construcción es espectacular!!

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  2. Creo que en la parte 2 cuando hablas del ángulo AHO te refieres al ángulo GHO.

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  3. fcasarra es el AHO, lo que pasa es que al no haber dibujado el segmento AH no se ve todo lo bien que se podría ver, pero es ese.

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  4. Yo tenía curiosidad por verificar la exactitud del método empleado para construir este heptadecágono, y me ha sorprendido gratamente ver numéricamente el resultado.

    Lo que he hecho es obtener los ángulos y distancias que se dibujan en la construcción, hasta llegar a la distancia del segmento MN. Vista la simetría del heptadecágono respecto al eje x, siendo el punto A uno de sus vértices, está claro que la distancia del segmento MN tiene que ser igual a
    \displaystyle \widehat{MN} = \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 3 \right ) - \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 5 \right )

    Ahora obtengamos la expresión de MN pero siguiendo los pasos de la construcción (suponemos que la circunferencia inicial es de radio unidad):

    PARTES 1 y 2: los pasos hasta la obtención del punto H lo único que hacen es dividir entre 4 el radio de la circunferencia, por lo tanto H está a la altura 1/4. Mediante las dos bisectrices obtenemos el ángulo \displaystyle \alpha = \frac{\arctan 4}{4} (triángulo OHI) y por lo tanto la distancia desde el origen a I es: \displaystyle I = \frac{\tan\alpha}{4}.

    PARTE 3: mediante la perpendicular al segmento HI y su bisectriz obtenemos el ángulo \displaystyle \beta = \frac{\pi}{4}-\alpha (triángulo OHJ) y por lo tanto la distancia desde el origen a J es: \displaystyle J = \frac{\tan\beta}{4}. El punto K se puede obtener como (teniendo en cuenta que A = 1): \displaystyle K = \frac{1-J}{2} = \frac{1}{2}-\frac{\tan\beta}{8}.

    Para obtener la distancia al punto L podemos aplicar la ecuación de la circunferencia (\displaystyle r^2 = x^2 + y^2) desplazando el origen de coordenadas hasta el punto K, con lo cual nos queda una circunferencia de radio (1-K) y el punto L en las coordenadas (-K,L): \displaystyle (1-K)^2 = K^2 + L^2 \Rightarrow L^2 = 1 - 2K.

    PARTE 4: la distancia del segmento MN es el diámetro de la circunferencia de radio IL, por lo tanto:
    \displaystyle \widehat{MN} = 2\sqrt{I^2+L^2} = 2\sqrt{\frac{\tan^2\alpha}{16}+1-2K} = 2\sqrt{\frac{\tan^2\alpha}{16}+\frac{\tan\beta}{4}} = 2\sqrt{\frac{1}{16}\tan^2\left ( \frac{\arctan 4}{4}\right ) + \frac{1}{4} \tan\left ( \frac{\pi- \arctan 4}{4}\right )}.

    Llegados a este punto, se supone que las dos expresiones para la distancia del segmento MN tienen que ser iguales, y efectivamente, hasta donde mi calculadora casera llega, tenemos que:

    \displaystyle \widehat{MN} = \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 3 \right ) - \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 5 \right ) = \displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{16}\tan^2\left(\frac{\arctan 4}{4}\right )+\frac{1}{4}\tan\left(\frac{\pi- \arctan 4}{4}\right)} \approx 0.719401345

    Lo cual me ha parecido muy curioso.

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  5. ¿Sabía que…
    Después de la muerte de Gauss, en Göttingen se erigió una estatua de bronce en su honor. El pedestal de la estatua tiene forma de heptadecágono.

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  6. La longitud del segmento MN, estudiada por Asier, también puede expresarse como la suma de 2 cosenos (siempre utilizando radianes):
    MN = cos(6.Pi/17) + cos(7.Pi/17)
    Los números que acompañan a Pi, en los numeradores, son el 6, el primer número perfecto y el 7, el segundo primo de Mersenne, ambos consecutivos. El producto de éstos dos números es 42, el tercer miembro de la sucesión producida por los momentos de la función zeta de Riemann.

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