Comments on: Construcciones con regla y compás (IV): La construcción del Heptadecágono http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: Omar-P http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5215 Omar-P Sat, 15 Dec 2007 00:20:38 +0000 http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5215 Monumento a Gauss y Weber en Göttingen (Gotinga): www.math.uni-goettingen.de/skraemer/gauss/denkmal.html Monumento a Gauss y Weber en Göttingen (Gotinga):
http://www.math.uni-goettingen.de/skraemer/gauss/denkmal.html

]]> By: Omar-P http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5214 Omar-P Sat, 15 Dec 2007 00:17:51 +0000 http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5214 Monumento a Gauss en Braunschweig (Brunswick): www.w-volk.de/museum/monum11.htm Monumento a Gauss en Braunschweig (Brunswick):
http://www.w-volk.de/museum/monum11.htm

]]> By: Omar-P http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5213 Omar-P Thu, 13 Dec 2007 23:03:38 +0000 http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5213 La longitud del segmento MN, estudiada por Asier, también puede expresarse como la suma de 2 cosenos (siempre utilizando radianes): MN = cos(6.Pi/17) + cos(7.Pi/17) Los números que acompañan a Pi, en los numeradores, son el 6, el primer número perfecto y el 7, el segundo primo de Mersenne, ambos consecutivos. El producto de éstos dos números es 42, el tercer miembro de la sucesión producida por los momentos de la función zeta de Riemann. La longitud del segmento MN, estudiada por Asier, también puede expresarse como la suma de 2 cosenos (siempre utilizando radianes):
MN = cos(6.Pi/17) + cos(7.Pi/17)
Los números que acompañan a Pi, en los numeradores, son el 6, el primer número perfecto y el 7, el segundo primo de Mersenne, ambos consecutivos. El producto de éstos dos números es 42, el tercer miembro de la sucesión producida por los momentos de la función zeta de Riemann.

]]> By: Omar-P http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5212 Omar-P Thu, 13 Dec 2007 22:01:34 +0000 http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5212 ¿Sabía que... Después de la muerte de Gauss, en Göttingen se erigió una estatua de bronce en su honor. El pedestal de la estatua tiene forma de heptadecágono. ¿Sabía que…
Después de la muerte de Gauss, en Göttingen se erigió una estatua de bronce en su honor. El pedestal de la estatua tiene forma de heptadecágono.

]]> By: Asier http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5211 Asier Sun, 11 Nov 2007 21:43:21 +0000 http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5211 Yo tenía curiosidad por verificar la exactitud del método empleado para construir este heptadecágono, y me ha sorprendido gratamente ver numéricamente el resultado. Lo que he hecho es obtener los ángulos y distancias que se dibujan en la construcción, hasta llegar a la distancia del segmento MN. Vista la simetría del heptadecágono respecto al eje x, siendo el punto A uno de sus vértices, está claro que <b>la distancia del segmento MN tiene que ser igual a</b> $latex \displaystyle \widehat{MN} = \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 3 \right ) - \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 5 \right )$ Ahora obtengamos la expresión de MN pero siguiendo los pasos de la construcción (suponemos que la circunferencia inicial es de <b>radio unidad</b>): PARTES 1 y 2: los pasos hasta la obtención del punto H lo único que hacen es dividir entre 4 el radio de la circunferencia, por lo tanto H está a la altura 1/4. Mediante las dos bisectrices obtenemos el ángulo $latex \displaystyle \alpha = \frac{\arctan 4}{4}$ (triángulo OHI) y por lo tanto la distancia desde el origen a I es: $latex \displaystyle I = \frac{\tan\alpha}{4}$. PARTE 3: mediante la perpendicular al segmento HI y su bisectriz obtenemos el ángulo $latex \displaystyle \beta = \frac{\pi}{4}-\alpha$ (triángulo OHJ) y por lo tanto la distancia desde el origen a J es: $latex \displaystyle J = \frac{\tan\beta}{4}$. El punto K se puede obtener como (teniendo en cuenta que A = 1): $latex \displaystyle K = \frac{1-J}{2} = \frac{1}{2}-\frac{\tan\beta}{8}$. Para obtener la distancia al punto L podemos aplicar la ecuación de la circunferencia ($latex \displaystyle r^2 = x^2 + y^2$) desplazando el origen de coordenadas hasta el punto K, con lo cual nos queda una circunferencia de radio (1-K) y el punto L en las coordenadas (-K,L): $latex \displaystyle (1-K)^2 = K^2 + L^2 \Rightarrow L^2 = 1 - 2K$. PARTE 4: la distancia del segmento MN es el diámetro de la circunferencia de radio IL, por lo tanto: $latex \displaystyle \widehat{MN} = 2\sqrt{I^2+L^2} = 2\sqrt{\frac{\tan^2\alpha}{16}+1-2K} = 2\sqrt{\frac{\tan^2\alpha}{16}+\frac{\tan\beta}{4}} = 2\sqrt{\frac{1}{16}\tan^2\left ( \frac{\arctan 4}{4}\right ) + \frac{1}{4} \tan\left ( \frac{\pi- \arctan 4}{4}\right )}$. Llegados a este punto, se supone que las dos expresiones para la distancia del segmento MN tienen que ser iguales, y efectivamente, hasta donde mi calculadora casera llega, tenemos que: $latex \displaystyle \widehat{MN} = \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 3 \right ) - \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 5 \right ) =$ $latex \displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{16}\tan^2\left(\frac{\arctan 4}{4}\right )+\frac{1}{4}\tan\left(\frac{\pi- \arctan 4}{4}\right)} \approx 0.719401345$ Lo cual me ha parecido muy curioso. Yo tenía curiosidad por verificar la exactitud del método empleado para construir este heptadecágono, y me ha sorprendido gratamente ver numéricamente el resultado.

Lo que he hecho es obtener los ángulos y distancias que se dibujan en la construcción, hasta llegar a la distancia del segmento MN. Vista la simetría del heptadecágono respecto al eje x, siendo el punto A uno de sus vértices, está claro que la distancia del segmento MN tiene que ser igual a
\displaystyle \widehat{MN} = \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 3 \right ) - \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 5 \right )

Ahora obtengamos la expresión de MN pero siguiendo los pasos de la construcción (suponemos que la circunferencia inicial es de radio unidad):

PARTES 1 y 2: los pasos hasta la obtención del punto H lo único que hacen es dividir entre 4 el radio de la circunferencia, por lo tanto H está a la altura 1/4. Mediante las dos bisectrices obtenemos el ángulo \displaystyle \alpha = \frac{\arctan 4}{4} (triángulo OHI) y por lo tanto la distancia desde el origen a I es: \displaystyle I = \frac{\tan\alpha}{4}.

PARTE 3: mediante la perpendicular al segmento HI y su bisectriz obtenemos el ángulo \displaystyle \beta = \frac{\pi}{4}-\alpha (triángulo OHJ) y por lo tanto la distancia desde el origen a J es: \displaystyle J = \frac{\tan\beta}{4}. El punto K se puede obtener como (teniendo en cuenta que A = 1): \displaystyle K = \frac{1-J}{2} = \frac{1}{2}-\frac{\tan\beta}{8}.

Para obtener la distancia al punto L podemos aplicar la ecuación de la circunferencia (\displaystyle r^2 = x^2 + y^2) desplazando el origen de coordenadas hasta el punto K, con lo cual nos queda una circunferencia de radio (1-K) y el punto L en las coordenadas (-K,L): \displaystyle (1-K)^2 = K^2 + L^2 \Rightarrow L^2 = 1 - 2K.

PARTE 4: la distancia del segmento MN es el diámetro de la circunferencia de radio IL, por lo tanto:
\displaystyle \widehat{MN} = 2\sqrt{I^2+L^2} = 2\sqrt{\frac{\tan^2\alpha}{16}+1-2K} = 2\sqrt{\frac{\tan^2\alpha}{16}+\frac{\tan\beta}{4}} = 2\sqrt{\frac{1}{16}\tan^2\left ( \frac{\arctan 4}{4}\right ) + \frac{1}{4} \tan\left ( \frac{\pi- \arctan 4}{4}\right )}.

Llegados a este punto, se supone que las dos expresiones para la distancia del segmento MN tienen que ser iguales, y efectivamente, hasta donde mi calculadora casera llega, tenemos que:

\displaystyle \widehat{MN} = \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 3 \right ) - \cos\left( \frac{2\pi}{17} \cdot 5 \right ) = \displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{16}\tan^2\left(\frac{\arctan 4}{4}\right )+\frac{1}{4}\tan\left(\frac{\pi- \arctan 4}{4}\right)} \approx 0.719401345

Lo cual me ha parecido muy curioso.

]]> By: Domingo H.A. http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5210 Domingo H.A. Wed, 24 Oct 2007 21:11:36 +0000 http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5210 en relación al tema, el hecho de que el heptadecágono sea constructible con regla y compás es equivalente a que $latex cos(\pi/17)$ se pueda expresar en términos de raíces cuadradas y las cuatro operaciones elementales para números naturales. ¿Alguien se siente con fuerzas (y tiempo) para justificar la expresión conocida para dicho valor? http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi17.html en relación al tema, el hecho de que el heptadecágono sea constructible con regla y compás es equivalente a que cos(\pi/17) se pueda expresar en términos de raíces cuadradas y las cuatro operaciones elementales para números naturales.

¿Alguien se siente con fuerzas (y tiempo) para justificar la expresión conocida para dicho valor? http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi17.html

]]> By: Construccións con regra e compás « A mochila do profe de mates http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5209 Construccións con regra e compás « A mochila do profe de mates Wed, 24 Oct 2007 21:09:49 +0000 http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5209 [...] A construcción do heptadecágono. [...] [...] A construcción do heptadecágono. [...]

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5208 ^DiAmOnD^ Tue, 23 Oct 2007 09:12:59 +0000 http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5208 <strong>fcasarra</strong> es el $latex AHO$, lo que pasa es que al no haber dibujado el segmento $latex AH$ no se ve todo lo bien que se podría ver, pero es ese. fcasarra es el AHO, lo que pasa es que al no haber dibujado el segmento AH no se ve todo lo bien que se podría ver, pero es ese.

]]> By: fcasarra http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5207 fcasarra Tue, 23 Oct 2007 07:27:05 +0000 http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5207 Creo que en la parte 2 cuando hablas del ángulo AHO te refieres al ángulo GHO. Creo que en la parte 2 cuando hablas del ángulo AHO te refieres al ángulo GHO.

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5206 ^DiAmOnD^ Tue, 23 Oct 2007 00:10:14 +0000 http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/#comment-5206 Muchas gracias chicos, le eché un buen rato pero al final creo que ha merecido la pena :). Muchas gracias chicos, le eché un buen rato pero al final creo que ha merecido la pena :) .

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