Construir las tangentes comunes a dos circunferencias

Está comenzando a ser muy habitual en mi actividad blogueril que mientras busco información, ya sea personal o para algún artículo, aparezca como por arte de magia algo que considero interesante para el blog. El otro día me volvió a ocurrir y, como no podía ser de otra forma, pensé en aprovechar la situación y escribir una entradita acompañada de GeoGebra, que además hacía un tiempo que no usaba.

La cuestión es que buscando algo me topé con este post del blog Algo Rythmes, donde explican cómo construir las tangentes interiores a dos circunferencias. Bien, pues eso es lo primero que vamos a aprender hoy.

Construcción de las tangentes interiores a dos circunferencias

Como hemos dicho antes, en este punto vamos a explicar cómo construir las tangentes interiores a dos circunferencias dadas. Primero vamos a ver paso a paso un método de construcción de las mismas y después os dejaré un applet de GeoGebra donde también podréis ver paso a paso dicha construcción.

  • Construimos dos circunferencias: c, con centro en A, y d, con centro en B (en la construcción en rojo).
  • Trazamos el segmento AB, esto es, el segmento que une los centros de las dos circunferencias.
  • Trazamos las rectas perpendiculares al segmento anterior que pasan por los centros de las dos circunferencias. La recta correspondiente al punto A corta a la circunferencia c en los puntos E y F, y la que corresponde a B corta a la circunferencia d en G y H.
  • Ahora trazamos el segmento FG, que corta al segmento AB en el punto P (en amarillo).
  • Queremos dibujar ahora la circunferencia de diámetro PB. Para ello podemos dibujar el punto medio del segmento PB, que es J en la representación posterior, y después la circunferencia de centro dicho punto [late]J[/latex] y radio la longitud del segmento JB. Esta circunferencia (en verde) corta a la circunferencia d en los puntos K y L. Estos son los dos puntos de la circunferencia d por los que pasarán las tangentes interiores.
  • Como último paso dibujamos las rectas que unen P con K y con L, que son precisamente las tangentes interiores a las dos circunferencias. Marcando la casilla Puntos de corte con la circunferencia c podéis ver que estas rectas cortan a la circunferencia c exactamente en un punto cada una, M y N en este caso.

Ahí va el applet de GeoGebra que describe esta construcción:

[geogebra width=”579″ height=”505″ image=”http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/geogebra/tangentes-comunes/tangentes-interiores.JPG”]http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/geogebra/tangentes-comunes/tangentes-interiores.ggb[/geogebra]


El caso es que después de ver esta entrada de Algo Rythmes pensé en comentaros también cómo construir las tangentes exteriores a dos circunferencias. Os dejo aquí un método para ello que encontré aquí. Ahí va.

Construcción de las tangentes exteriores a dos circunferencias

Vamos a describir ahora un método de construcción de las tangentes exteriores a dos circunferencias. Después, como antes, os dejaré un applet de GeoGebra con la construcción completa.

  • Igual que antes, construimos dos circunferencias: c, con centro en A, y d, con centro en B (en la construcción en rojo).
  • Trazamos un radio de d, que cortará a dicha circunferencia en un punto, que llamaremos E. Con centro en ese punto E y radio el radio de la circunferencia c trazamos otra circunferencia, que corta al radio antes trazado en un punto, digamos F.
  • Trazamos ahora la circunferencia f, cuyo centro es B y que pasa por el punto F que acabamos de encontrar (en negro).
  • Ahora trazamos el segmento AB (que une los centros de las dos circunferencias iniciales) y después representamos su punto medio, que llamamos [late]G[/latex]. Con centro en este punto G trazamos la circunferencia que pasa por A y por B (en verde en la construcción posterior). Esta circunferencia corta a la circunferencia f en dos puntos, H,I.
  • Trazamos ahora las rectas que pasan por A y estos dos puntos H,I (en el applet, las rectas con líneas y puntos).
  • El último paso de la construcción es trazar en cada una de las circunferencias iniciales segmentos que pasen por sus centros y sean perpendiculares a las dos rectas trazadas en el paso anterior. Obtenemos así los puntos O,P en la circunferencia c y los puntos K,L en la circunferencia d. Uniendo ahora O con K y P con L tenemos las dos tangentes exteriores a las circunferencias iniciales.

Y ahora el applet correspondiente:

[geogebra width=”579″ height=”491″ image=”http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/geogebra/tangentes-comunes/tangentes-exteriores.JPG”]http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/geogebra/tangentes-comunes/tangentes-exteriores.ggb[/geogebra]


Como podéis ver, en el enlace de donde saqué la construcción anterior también se puede ver una forma de construir las tangentes interiores a dos circunferencias, pero (al menos bajo mi punto de vista) más complicada que la descrita en este post.

Esto me hizo pensar…Si en esta página venían las dos construcciones, sería también razonable que en Algo Rythmes estuvieran las dos. Volví allí…y efectivamente, allí estaba. Otra construcción de las tangentes exteriores a dos circunferencias, además mucho más sencilla que la descrita en este post (y que mantengo porque ya tenía hecho el applet y me daba pena no aprovecharlo). Os la dejo aquí también.

Construcción de las tangentes exteriores a dos circunferencias (II)

Vamos con la construcción:

  • Como en los casos anteriores, construimos dos circunferencias: c, con centro en A, y d, con centro en B (en la construcción en rojo).
  • Trazamos ahora el segmento AB, que une los centros de las dos circunferencias, y a continuación segmentos perpendiculares a éste que pasen por esos centros. El correspondiente al punto A corta a c en el punto F y el de B corta a d en H.
  • Trazamos ahora la recta que pasa por A,B y la que pasa por F,H (en discontinua). Estas dos rectas se cortan en un punto, al que llamamos O (en amarillo).
  • Ahora debemos dibujar una circunferencia de diámetro OA. Para ello lo mejor es calcular el punto medio del segmento OA, digamos I, y después representar la circunferencia de centro este punto I y radio el segmento IA. Esta circunferencia (en verde) corta a la circunferencia c en dos puntos, J y K, que son los puntos de c por los que pasarán las tangentes interiores.
  • Y ya sólo nos queda trazar las rectas que pasan por el punto O y los puntos J y K. Marcando la casilla Puntos de corte con la circunferencia d podéis ver que dichas rectas cortan a d exactamente en un punto cada una, llamados L y M.

Y ahora el applet:

[geogebra width=”561″ height=”475″ image=”http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/geogebra/tangentes-comunes/tangentes-exteriores2.JPG”]http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/geogebra/tangentes-comunes/tangentes-exteriores2.ggb[/geogebra]


Este post es mi segunda colaboración con la décima edición del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza La Mula Francis.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. ¡Qué recuerdos! La de veces que habré hecho yo estas construcciones en las asignaturas de Dibujo Técnico…

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  2. Recuerdo las tardes en la universidad estudiando dibujo técnico y como aplicar la potencia para conseguir las tangentes comunes =)

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  3. Pepitozamora, ¿dibujo técnico en la universidad? ¿Qué estudias?

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  4. Una cuestión curiosa es la relación entre la longitud de los segmentos determinados por los puntos de tangencia en las tangentes exteriores, y los que éstas determinan en las interiores.

    Y viceversa: entre las longitudes de los segmentos determinados por los puntos de tangencia en las tangentes interiores, y los que éstas determinan en las exteriores.

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  5. Recuerdo cuando en las clases de bachillerato hacíamos este tipo de problemas. Lo solucionabamos con el arco capaz (en este caso de 90º, que es una circunferencia). La verdad ya no me acuerdo de cómo lo utilizábamos. Os dejo un link de wikipedia que habla sobre el arco capaz: http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_capaz

    Un saludo 😛

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  6. El primero y el tercero estan resueltos por los centros de homotecia de las dos circunferencia, mientras que el segundo está resuelto mediante dilataciones. Se da en 1º de BACH en dibujo tecnico.

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  7. Bonjour,
    Je suis contente si mon blog vous a intéressé 🙂
    Je ne parle malheureusement pas espagnol, et Google traduction n’est pas très bon pour m’aider…
    Bonne semaine,
    Sonia

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  8. Hola Diamond,

    Muy interesante la entrada, pero no sé por qué, no puedo ver el applet de geogebra. Si no te cuesta mucho, ¿podrías intentar arreglarlo?

    ¡Gracias!

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