Construir un heptágono regular con regla y compás

No, el título del post no está mal. Vamos a ver cómo construir un heptágono regular con regla y compás. Bueno, mejor dicho vamos a reproducir la construcción del heptágono regular que se podía ver en una de las imágenes del post de la semana pasada dedicado al Tratado Práctico de Geometría que me encontré en la calle. Me refiero a ésta:

Si os fijáis, en la página de la izquierda puede verse una supuesta construcción de un heptágono regular inscrito en una circunferencia. Lo que vamos a hacer es seguir paso a paso esta construcción.

Partimos, por ejemplo, de los puntos C y D, que serán nuestros puntos de partida. Trazamos el segmento CD, después el punto medio de este segmento, A, y después la circunferencia de centro A y radio AC:

Trazamos ahora una circunferencia con centro en C y radio CD y otra con centro en D y radio también CD. Estas dos circunferencias se cortan en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos N:

Ahora dividimos el diámetro CD en siete partes iguales, procedimiento que se puede realizar con regla y compás, como ya vimos en este artículo. Básicamente la idea es trazar un segmento desde el punto C (que forme un ángulo mayor que cero con CD) y llevar a ese segmento la misma distancia siete veces (en el dibujo esa distancia es 1). Unimos después el último punto obtenido en dicho segmento con el punto D y después trazamos paralelas al segmento resultante que pasen por los puntos obtenidos anteriormente en el segmento:

Nos quedaría el diámetro CD dividido en siete partes iguales:

En este punto nos encontramos con una de las claves de la construcción: desde N trazamos una semirrecta que pase por el segundo punto que nos encontramos en CD comenzando a contar desde C. Esa semirrecta cortará a la circunferencia inicial en dos puntos. Quedándonos con el que en la figura se denomina P

tenemos que el lado del heptágono regular buscado es CP. Ahora simplemente tenemos que transportar ese lado a lo largo de la circunferencia

para obtener nuestro heptágono regular:

Sorprendente, ¿verdad? ¿Cómo que no se podía construir un heptágono regular con regla y compás?

Bien, pues no, no se puede, ya que 7 no cumple el teorema que aparece en este artículo. Por tanto tiene que haber algo mal. ¿Alguien ha encontrado el fallo?

Vamos a ampliar un poco la imagen anterior:

¿Veis qué ocurre? La última circunferencia no pasa exactamente por el punto C, como debería ocurrir, sino que corta a la circunferencia inicial en otro punto. Lo que ocurre es que cada punto que obtenemos en nuestra circunferencia no es exactamente un vértice del heptágono regular, aunque lo parece. Conforme vamos obteniendo puntos vamos cometiendo un mínimo error que se va acumulando hasta llegar al último punto, en el que se muestra el error total cometido. Por tanto, el último lado del supuesto heptágono regular que habríamos dibujado sería más pequeño que los anteriores. En consecuencia, la figura que tenemos inscrita en la circunferencia inicial no es en realidad un heptágono regular. Es una interesante aproximación, pero solamente eso, una aproximación.


En esta página se pueden ver algunas mentiras clásicas relacionadas con construcciones con regla y compás, acompañadas de una explicación y un applet de GeoGebra. Por ejemplo, aquí tenéis un método aproximado para construir un eneágono regular con regla y compás (recordemos que el eneágono regular, polígono regular de 9 lados, tampoco se puede construir con regla y compás).

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

34 Comentarios

  1. A mi me suena haber dado ese método aproximado en dibujo de BUP o COU como construcción general del polígono de n lados. Mi memoria no me alcanza para saber si lo llamaron aproximado o no. Y además me suena que para dividir el diametro se usaba el teorema de thales.

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  2. Sí, tal y como dice Jesús, es un método aproximado para el polígono de n lados, a mí también me lo explicaron en la ESO. Dividiendo el lado CD en n partes iguales y pasando por la segunda desde N, obtenemos el lado del polígono “regular” de n lados… ¿Decís que no es regular? es más regular que ninguno, porque bien bien no está jajajaja…
    Yo sí que recuerdo que no nos dijeron nada de que fuese aproximado y siempre teníamos ese pequeño error, que solíamos achacar a que el compás no fuese demasiado bueno y se moviera un poco trazando los arcos para todos los lados del polígono, pero nada que no se pudiera solucionar con el Teorema del Punto Gordo. 😉

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  3. Hombre, ya sabes por qué dicho tratado andaba por la basura 😀

    Por cierto, ¿qué programa usas exactamente para estos dibujos? (lo cierto es que debería de saberlo :p ).

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  4. zurditorium, pues sí, en el libro debería poner que es una aproximación.

    Respectos a los dibujos, en este caso he utilizado GeoGebra y luego he hecho capturas de pantalla.

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  5. ¿Alguien me puede explicar por qué este método da una aproximación tan buena?

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  6. ¿Y cómo sabemos que el error no está en tu impericia manejando la regla y el compás? Bromas aparte, aunque la construcción del heptágono regular sea imposible con regla y compás tu dibujo no demuestra nada.

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  7. El final de este artículo era un buen momento para introducir el “teorema del punto gordo”.

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  8. @spoken, pues es cuestión de echar los cálculos. Pero vamos, que no es sorprendente que sea tan aproximado, cierto es que no se puede construir con regla y compás un heptágono, pero sí que podemos acercarnos tanto como queramos.

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  9. @a, estoy trasteando con el geogebra (que había oído hablar de él pero no lo había usado hasta ahora) y te permite elegir el punto intersección de dos circunferencias o crear la circunferencia con tal centro y que pasa por tal otro con precisión perfecta, así que no debe de tener error.

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  10. No es extyraño que sea bastante aproximado (0.63º de diferencia en 51.4º), pues ésta construcción es exacta para para n = 3, 4 y 6, aunque en estos casos hay otras construcciones exactas y más sencillas. Para n = 5, no es exacta, pero es muy buena, apenas 1/4 de grado de diferencia entre los ángulos centrales en 72º. Pero para 5 hay otra construcción que si es exacta y no es mucho más compleja. Para 8 nuevamente hay construcción exacta, y a partir de 9, el último lado queda visiblemente más corto que el resto. Para n = 9, la diferencia entre los primeros ángulos centrales y el último es ya de 2.5º en 40º, y a partir de aquí emperora ostensiblemente.

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/PoligonoConstruccion.html

    En definitiva, la construcción solo resulta interesante para el heptágono regular y, si acaso, el enéagono.

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  11. Haciendo unos cuantos cálculos con geometría analítica, se llega a lo siguiente (si no me he equivocado), para un heptágono inscrito en una circunferencia de radio uno:

    – Lado del heptágono regular: 2sinleft(frac{pi}{7}right)approx 0.867767.
    – Lado del “heptágono” de la construcción: sqrt{frac{1}{26}left(31-sqrt{129}right)}approx 0.869177.

    Es un error pequeñito, pero se nota al usar esa medida aproximada siete veces.

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  12. a, la construcción descrita no pretendía ser una demostración de nada, simplemente quería ilustrar con ella una construcción que da una aproximación muy cercana a un heptágono regular.

    spoken, ahora mismo no sabría cómo explicarlo. A ver si alguien está más lúcido que yo y te lo cuenta :).

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  13. Tomando el diámetro de la circunferencia como 1, AN = rq(3)/2, y AP = 1/2.

    El ángulo PNA = arctg((1/2 – 2/n)/(rq(3)/2)) = arctg((n – 4)/(rq(3)n))

    Aplicando el teorema del seno al triángulo NAP, tenemos entonces que

    (1/2)/sen(PNA) = (rq(3)/2)/sen(APN).

    llamando alfa al ángulo central CAP, que debería ser 2pi/n, tenemos que

    alfa + pi/2 + APN + PNA = pi

    alfa = pi/2 – APN – PNA = pi/2 – arcen(rq(3)sen(arctg((n-4)/(rq(3)n)))) – arctg((n-4)/(rq(3)n))

    Esto puede ‘simplificarse’ a:

    alfa = arccot(rq(3)·(n – 4)/rq(n^2 + 16·n – 32)) – arctg(rq(3)·(n – 4)/(3·n))

    Para n = 3..12, tenemos entonces que 2pi/alfa es:

    3, 4, 5.003234495, 6, 6.987818759, 7.966827644, 8.937923183, 9.902130951, 10.86040411, 11.81357081

    No se a quien se le ocurrió el procedimiento, pero desde luego tenía vista … Supongo, sin mayor fundamento, que surgió de la observación de que para n = 6 daba exacto.

    No es de mucho interés, pero para n = 2, también da exacto.

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  14. “En el Tratado de Geometría de Catalán, se atribuye esta construcción general a Bion, y en “matematica dilettevole e curiosa” de Italo Gershi, se asegura que este método es de Rinaldini”.

    Fuente: Fernando López de Frías ” Construcción de polígonos regulares”, Dept. de exprexión gráfica en la ingeniería, Univ. Polit. de Valencia, servicio de publicaciones, ref. 98.986, donde en su pag 7 ( de 25, es un pequeño folleto, creo que no venal) se construye con este método el heptágono, indicando explicitamente que es un método aproximado, dado que no existe forma exacta de hacerlo con regla y compás.
    Saludos.

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  15. A Ignacio:
    Supongo que este método surgió buscando un punto exterior que proyectado sobre la división n-sima del diámetro, dividiera en n partes la semicircunferencia. No existe tal punto común para todo n, pero si se trazan esas proyecciones se ve que “pasan cerca” del punto exterior de la construcción (a raíz de tres del centro, considerando el radio de la circunferencia 1).

    Hay un método de rectificación de arcos de circunferencia (menores de 90º) que usa un sistema parecido, aunque proyectado sobre una tangente exterior. En ese método el punto está a 1’75 del centro (en lugar de 1’732..), pero en el fondo funciona con la misma lógica (hacer una equivalencia entre la división de un arco y la de una recta).
    Un saludo.

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  16. A donde han estudiado las abejas para obtener el conocimiento de hacer los panales con las cerdas todas con la misma dimensión?

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  17. hola necsito sacar esto algien me puede ayudar
    1-explicar por que no existe ningun heptagono tal que todos sus lados tengan la misma longitud y sus angulos midan exactamente 120°,150°,120°,120°,120°,150°y 120°,en ese orden.
    2-justificar porque existe algun heptagono tal que todos sus lados tiene la misma longitud y sus angulos miden,exctamente en ese orden,108°,168°,108°,132°,108°,168°y 108|

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  18. trasteando con el Geogebra he intentado algo parecido. Dividir un segmento de longitud 1 en tres partes iguales por thales y parece que tampoco es posible. me salen tres segmentos de 0,33.
    Matemáticamente es imposible, pero alguien me podría decir si es posible hacerlo con regla y compás?

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  19. Sobre una recta traza, con un compás, tres segmentos iguales de longitud arbitraria.
    Traza una paralela a la anterior.
    Sobre ella marca con el compás un segmento igual al que quieres dividir.
    Une con la regla los extremos del segmento suma de los tres primeros con los extremos del segmento en la otra recta y prolonga hasta que se corten.
    Une el punto de intersección con los dos intermedios de la primera recta y dividirás tu segmento en tres partes iguales (puro Tales).

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  20. ok!, entonces con el heptágono podría ocurrir lo mismo?
    Es decir, ¿con el programa Geogebra no se podría construir, y sin embargo con regla y compás sí se podría?

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  21. Tino,

    Con GeoGebra puede construirse cualquier cosa que pueda construirde con regla y compás, pues tiene las herramientas básicas que hacen las mismas funciones que estos instrumentos: recta que pasa por dos puntos y compás (transportar la medida de un segmento). Además se pueden hacer muchas construcciones, de forma aproximada, imposibles de hacer con regla y compás, como por ejemplo la construcción de polígonos regulares de cualquier número de lados. Pero como se explica en este artículo, esto no puede hacerse de forma exacta con regla y compás, en particular para el heptágono.

    Respecto a la división de un segmento en cualquier número de partes iguales, si que puede hacerse sin ningún problema con regla y compás (y por tanto con Geogebra). Si divides 7un segmento de longitud 1 en tres partes iguales, te da segmentos de longitud 0.33 porque aproxima la presentación de los números a dos decimales. Si cambias el número de decimales con que se _presentan_ los resultatos, podrás ver que te pone 0.3333… con tantods treses como decimales hayas fijado (hasta 15). Por otra parte, si cambias el tamaño del segmento que divides a 2 unidades, verrás que cada una de las tres partes mide ahora 0.67, no 0.66, por que aproxima por redondeo, no por truncamiento.

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  22. Soy licenciado en matemáticas y tengo un hijo que cursa 1º de ESO. Cual ha sido mi sorpresa que en el examen de plástica que le han puesto hoy le han mandado dibujar un heptágono regular. Toma, toma, toma….

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  23. ¿Qué tan cercana sería esta aproximación?

    Esta basada en wikipedia

    La aplicación me lo da por heptagono regular, supongo que el error es tan pequeño que el sofware no lo calcula por defecto

    http://sciencevsmagic.net/geo/#0A1.1A0.1L0.2L3.6A0.1A6.1L5.0L4.13A1.6A4.N.5A6.0L22.22L32.5L30.30L36.N.6A13.13A6.1L60.60L74.N.0A6.47A0.86L85.N.88A4.6A18.4A88.88A20.N.148L68.68L163.N.5L163.5A163.N.5L188.188A5.5L189.189A5.189L267.267A189.267L307.188L224.224A188.224L373.307L373

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    • Hola, pues he hecho la guía en corel draw y el error es mínimo, así que el teorema no sirve, sigo investigando pues esa división entre 7 debe tener algún truco guardado para la circunferencia, y sospecho, que si logro esa división exacta de la circunferencia llego a la cuadratura de pi y a la construcción de la pirámide exacta.

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  24. Hay una construcción mucho más sencilla y que da un resultado solo muy ligeramente inferior. Consiste en tomar como lado del heptágono la mitad del lado del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia. Si el radio es 1, el lado del heptágono regular es

     2 \sin\left(\frac{\pi}{7}\right) \approx 0.8677

    Mientras que la mitad del lado del triángulo equilátero es:

     \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660

    Si se toman 6 lados com este, el séptimo queda 0.8782.

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  25. Muchas gracias a ^Diamond^ por la entrada y a todos por los comentarios, también muy enriquecedores!
    Llevo un tiempo buscando una forma de construir un heptágono, y ya que no es posible con las reglas “tradicionales”, me estaba preguntando cómo sería posible hacerlo y qué regla(s) habría que infringir… ¿alguna propuesta?

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