Construyendo un triángulo

El problema de esta semana me lo ha enviado JJGJJG y está dedicado a la construcción de triángulos con regla y compás. En concreto es el siguiente:

Construir con regla y compás un triángulo del que conocemos una altura, una mediana y una bisectriz que parte de vértices distintos.

A ver quién le mete mano al asunto.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Entiendo el enunciado del problema como que cada una de las rectas notables parten de vértices distintos del triángulo. Si es así, ahí va la solución:

    1. Trazamos dos paralelas, r y s, separadas una distancia igual a la altura dada del triángulo.

    2. En un punto A cuaquiera (primer vértice del triángulo) de r por ejemplo centramos un arco de radio igual a la bisectriz dada, que corta a s en un punto auxiliar X.

    3. El segmento AX y la recta r forman un ángulo que duplicamos, para obtener una recta t que pasa por A y corta a s en B, el segundo vértice del triángulo buscado.

    4. En el punto medio de AB centramos un arco de longitud la mediana que corta a r en el punto C, tercer y último punto del triángulo buscado.

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  2. Ricardo, creo que tu solución no es correcta. Fijate que al construir el triangulo lo que mide la bisectriz no coincide con el segmento AX

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  3. Buenos Días

    Creo que tengo una solución pero, no me ha dado tiempo a realizar los gráficos explicativos.

    Sean

    a la recta que contiene a la altura

    b la recta que contiene a la bisectriz

    m la recta que contiene a mediana.

    Todas estas rectas las considero infinitas. Y como pasan cada una de ellas por vertices distintos del triángulo ningún par de ellas esta formado por rectas paralelas.

    Llamemos punto A la la intersección de b con m; B al intersección de b con a y C a la intersección de a con m. Tracemos los segmentos AC, AB y CB.

    Tracemos la perpendicular a CB que pase por A, y al corte de esta perpendicular con CB lo llamaremos punto D. Esta perpendicular que acabamos de trazar es paralela al lado sobre el que cae la altura del triángulo que conocemos.

    Debo ausentarme, seguiré con la explicación cuando pueda volver a conectarme.

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  4. Yo lo que haría sería

    1. construir dos rectas paralelas separadas un longitud igual a la altura

    2. ubicar un punto cualquiera un vertice y a partir de ahi trazar un arco de radio la longitud de la mediana

    3. ubicar la tangente a ese arco cuya longitud (definida entre las paralelas) equidisten entre sí del punto de tangencia

    4. y ya tendriamos el triangulo (vertices: el punto inicial y los dos cortes con las paralelas)

    El problema es que estoy todavia mirando como realizar bien el 3. paso

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  5. Buenas Tardes,

    Ya he vuelto a casa y creo que tengo más meditada una posible solución.

    Sean

    a la recta que contiene a la altura

    b la recta que contiene a la bisectriz interna al triángulo

    m la recta que contiene a mediana.

    Todas estas rectas las considero infinitas, es decir, no los considero segmentos, sino verdaderas rectas.

    La recta a forma un angulo recto con el lado sobre el que cae la altura. Como la recta b pasa por un vértice del lado sobre el que cae la altura, y el ángulo que forma la bisectriz con cualquiera de los dos lados que comparten el vértice por el que pasa la misma ha de ser menor que un ángulo recto, entonces estas rectas a y b no pueden ser paralelas.

    Por otra parte, la bisectriz divide el plano en dos semiplanos, en uno de los cuales se halla el vertice de la mediana, y en el otro el punto medio del lado que corta la mediana, por lo que las rectas b y m se han de cortar necesariamente y tampoco son paralelas.

    Sin embargo, si que es posible que m y a sean paralelas, contrariamente a lo que escribí en mi mensaje anterior. Sin embargo al tener que pasar la altura por uno de los dos vertices del lado cortado por la mediana, es imposible que m y a coincidan.

    Llamemos punto A a la intersección de b con m y punto B a la intersección de b con a. Tracemos la recta que pasa por el segmento \overline{AB}.

    Tracemos la perpendicular a la recta a que pasa por el punto A y la corta en un punto que vamos a llamar D. Para simplificar en este momento vamos a considerar la hipótesis de que los puntos A y D no coinciden. El ángulo \angle BAD será igual al ángulo entre la recta b y el lado sobre el que cae la altura, y también, igual al ángulo entre la recta b y el lado cortado por la mediana, y por tanto menor a un ángulo recto.

    Con centro en D y con longitud \overline{DA} tracemos un arco que cortará de nuevo a la recta b en un punto que vamos a llamar E. Este punto ha de existir, porque si el único punto de corte de este arco con la recta b fuese el punto A esto implicaría que el ángulo \angle BAD sería recto, y ya hemos demostrado que no lo es. Además, el triangulo ADE es isósceles por tener dos lados iguales, y sus ángulos \angle DAE y \angle DEA son iguales al ángulo \angle BAD.

    Por el momento, vamos a seguir considerando la hipótesis de que los puntos B y E no coinciden.

    Tracemos la recta que incluye el segmento \overline {ED} y hallemos el punto medio de este segmento que vamos a llamar punto F. Ahora, viene la parte importante de la demostración. Los puntos D, B y el vertice del triángulo por donde pasa la altura están los tres en la recta a. También ocurre que los puntos E, B y el vertice del triángulo por donde pasa la bisectriz están los tres en la recta b. Ocurre así, que los ángulos \angle DBE y el formado por el punto B y los vertices citados anteriormente son iguales por ser o el mismo ángulo o ángulos opuestos por el vértice.

    Ya habiamos demostrado que \angle DEA era igual al ángulo formado por la recta b y el lado cortado por la mediana. Tenemos pues dos triángulos, el triángulo EBD y el tríangulo formado por el punto B y el lado cortado por la mediana que son semejantes y que comparten el vértice B y tienen dos ángulos que coinciden o están opuestos por el vértice B.

    Si trazamos una recta que pase por los puntos B y F y la prolongamos hasta que corte a la recta m. El punto de corte será también el punto medio del lado cortado por la mediana. Vamos a llamar a este punto S. Tracemos por este punto S una paralela al segmento \overline {ED}, que cortará a las rectas a y b en los vértices extremos del lado cortado por la mediana. Para hallar el último vértice trazaremos una perpendicular a la recta a, la que contiene la altura, que pase por el vértice anteriormente hallado perteneciente a la recta b de la bisectriz; el corte de esta última recta con la recta m que contiene la mediana nos genera el último vértice a hallar del triángulo.

    Para que el método sea realmente general, hay que resolver también los casos en que A coincide con D, o que E coincide con B.

    Un Saludo

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  6. Sigamos

    Si A es el mismo punto que D, entonces es evidente que las tres rectas se cortan en un único punto; conjeturo que el triángulo será equílatero. De cualquier manera, en este caso no se puede construir a partir de estas rectas el triángulo original, puesto que existen una infinidad de triángulos que coinciden en estas rectas notables.

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  7. Veamos por último, el caso en que se cumple que el punto E es igual al punto B.

    En este caso el ángulo \angle ADE = \angle ADB es recto. Cómo \angle DAE = \angle DEA, entonces ámbos son iguales a la mitad de un ángulo recto, y por tanto el ángulo \angle BAD también es la mitad de un ángulo recto, y los ángulos entre la bisectriz y los lados adyacentes también son iguales a medio ángulo recto; resumiendo el ángulo por el que pasa la bisectriz es recto, el vertice del triángulo por el que pasa la bisectriz es el punto B.

    Hallaremos otro vértice del triángulo mediante la intersección de una recta perpendicular a a que pase por el punto B y la recta m.

    También conocemos la intersección de la recta m y a, que en este caso es el punto O en la que la mediana conocida corta al lado correspondiente. Trazando un arco con centro en O y radio igual a \overline {OB} obtenemos el vértice que nos falta.

    Espero no haberme dejado ningún cabo suelto.

    Un Saludo

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  8. Una consulta. ¿La mediana que nombra el problema corresponde a una transversal de gravedad? ya que yo conozco la mediana como el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo (mi duda nace ya que no parte desde ningún vértice), en cambio, La transversal de gravedad sería el segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Eso, saludos desde Chile.

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  9. La mediana es la ceviana que contiene al punto medio zaidmaths. Saludos.

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  10. Creo haber encontrado una solución simple… Necesito unos instantes más para redondear la idea.

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  11. A ver,

    En el caso de que se conozcan las direcciones de una altura, una bisectriz y una mediana que parten de vértices distintos la solución es directa. De hecho, basta con las dos primeras para solucionar el triángulo:

    1· Consideremos que del vértice A surge la altura, del B la bisectriz y del C la mediana.
    Trazamos dos rectas ‘r’ y ‘s’ separadas una distancia igual a la altura ‘h’.

    2· Consideraremos que sobre la recta ‘r’ se ubica A, cuya posición desconocemos de momento. Entonces, la recta ‘s’ contendrá los vértices B y C.
    Sobre un punto arbitrario de la recta ‘s’ colocamos el punto B y trazamos la bisectriz.

    3· Trazamos ahora la recta simétrica a ‘s’ respecto a la bisectriz, que cortara a la recta ‘r’ en el vértice A.
    Obtenemos así el lado AB

    4· El vértice A y el punto final de la bisectriz definen una recta ‘t’ que corta a ‘s’ en el punto C.

    Et voilá!
    Solucionado el triángulo ABC, la mediana nos puede: o no servir para nada, o servir como comprobación o bien, si queremos hacerla sentir útil podemos sustituir el paso 4 por otro en el que el punto C se obtenga dibujando la mediana desde el punto medio de AB.

    El problema sin embargo es más suculento si únicamente se conoce el módulo de la altura, bisectriz y mediana, y no sus direcciones…

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  12. Ola, estoy buscando informacion sobre -como hayar la bisectriz de un ángulo cuyo vértice desconocemos-

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  13. 1. Trazamos dos rectas paralelas, r y s, separadas por la altura.

    2. En el punto de corte entre r y la bisectriz (B), trazamos un angulo igual al que forman estas sobre la bisectriz para duplicarlo. Sobre esta recta se halla un lado (c), cuyo otro vértice (A) es su punto de corte con la recta s.

    3. Hallamos el punto medio del lado obtenido

    4. Trazamos sobre este punto una circumferencia con radio mediana. Donde se corta con la recta r tenemos el tercer vértice (C), completando así nuestro triángulo.

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