Convergencia de sucesión de números complejos

Vamos con el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Sea x_0 \neq 0 un número complejo. Discutir la convergencia de la sucesión

x_{n+1}=\cfrac{1}{2} \left ( x_n+\cfrac{1}{x_n} \right )

en función de x_0, e indicar el valor del límite en caso de convergencia.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

19 Comentarios

  1. no se si me equivoco pero .. ¿no es dicha sucesion una aplicacio del metodo de Newton par caluclar raices cuadradas con  f(x)= \sqrt{x}

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  2. Para números reales sí, Jose. Para complejos… no sé si sirve. Una cosa es clara, la sucesión solo puede converger a -1 ó a 1.

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  3. Desde luego nos podemos limitar a trabajar en el disco complejo (cerrado) de radio 1 y centro (0,0), puesto que converge para 1/x0 si y solo si lo hace para x0. Y como cualquier complejo o está en el disco antes indicado o su inverso está en el disco podemos limitarnos a dicho estudio.

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  4. Creo que tengo una idea más o menos de como ir simplificando el problema (corregidme si me equivoco).

    La idea tiene dos pilares básicos:

    La sucesión compleja convergerá si y solo si convergen en módulo y argumento y además lo hará hacia lo que podemos llamar (1,0º), (1,180º). Esto último sale de hacer xn+1=xn

    Se puede acotar la convergencia de la sucesión compleja por una real.

    ……………..

    Observación: Es obvio que el módulo de cualquier iterante distinto de x0 es mayor que uno.

    También si denotamos por yn la sucesión de módulos es fácil ver que para un término genérico (si hemos empezado desde el mismo iterante) yn>=|xn| por aplicación directa de la desigualdad triangular. Notemos que yn es una sucesión real positiva que acota a los valores absolutos de la xn.

    Si demostramos que converge para cualquier real en (0,1] ya estaría que el módulo de la sucesión compleja converge (y además a 1) pues es mayor o igual que uno y está acotada por una que converge a uno.

    Si a partir de un momento el módulo se tiene que acercar tanto a uno como queramos las direcciones de xn y 1/xn también se tienen que ir acercando una a otra, preservando la condicion de ser inversas. Esto sería [2*algo]=[360] de donde se sacaria que la clase de algo es precisamente 0 o 180.

    Son ideas sueltas que no prueban nada así formuladas (que me parece que serían formalizables escribiendo las desigualdades o haciendo uso de terminología epsilon-delta), pero creo que los tiros pueden ir por ahí. Aún así quedaría la parte importante de probar la convergencia en (0,1] intervalo real. De todos modos, tiene pinta de que convergerá siempre.

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  5. Estoy viendo que en los imaginarios puros habría un problemilla. Y en particular si el primer iterante es i o -i no está definido como seguir. (dado que el segundo iterante es el 0)

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  6. Después de todas estas vueltas, tiene pinta de que converge salvo para imaginarios puros. Resaltar el caso de +i y -i. También añadir que antes hice una observación con el módulo que es falsa y solo válida para reales. Aunque no lo he comentado hasta ahora, muy bonito el problema.

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  7. Esta claro que si  x_n \to x , cuando  n \to \infty , entonces  x = \frac{1 + x^2}{2x} . Es decir, si la sucesion converge lo hara a  x = 1 o a  x = -1 .

    Ahora, sabemos que no converge para cualquier  x_0 . Como dice Daniel,  x_0 = \pm i no converge y sabemos que si  x_0 = \pm 1 ,  x_n = x = \pm 1 .

    Si perturbamos un poco el punto inicial,  x_0 = \pm 1  + \epsilon, en que condiciones convergera?

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  8. Parece claro que si Re(x0) > 0, converge a 1, y si re(x0)<0 converge a -1. A lo largo del eje imaginario, la cosa es algo más complicado. Si x0 = 0, la sucesión termina ahi (o en el punto del infinito …). Pero si arranca en +/-1, solo dura un paso, dos si lo hace en fi*i ó (-1/fi)*i, donde fi es el número de oro, fi = (1 + rq(5))/2.

    Hay que estudiarlo más despacio, pero el comportamiento parece períodico o fractal en el valor inicial del que se parta en el eje imaginario… Pero ahora mismo, tengo una pila de exámenes que corregir para mñana.

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  9. Sea el complejo a+bi. se presentan varios casos:
    Si a es 0 la sucesión diverge, es decir, para 0 y para para imaginarios puros.
    Si a es significativo y b es 0 converge a +1 o -1 según sea el signo de a, esto es, para números reales no nulos.
    Si a y b son significativos se dan 3 casos:
    Si a y b tienen igual valor absoluto la sucesión tiene como límite +1 0 -1 (según sea el signo de a) como parte real e infinito como parte imaginaria.
    Si el valor absoluto de a es mayor que el de b el límite es +1 o -1 según el signo de a.
    Si el valor absoluto de a es menor que el de b el límite tiene una parte real de +1 o -1 según sea el signo de a y la parte imaginaria vale +raíz de 2 o -raíz de 2 según sea el signo de b.

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  10. Para la circunferencia unidad x0 = e^(i * theta)

    x1 = 1/2 * [e^(i * theta) + e^(- i * theta)]

    x1 = cos(theta)

    y desde este momento ha perdido su parte imaginaria y puede estudiarse como sucesión de números reales.

    En el caso especial x0 = 1 (theta = 0) converge a 1 ya que la sucesión es constante xn = 1 para todo n : (1+1/1)/2 = 1

    Y, del mismo modo, en el caso x0 = -1 (theta = PI) converge a -1 : (-1 + 1/-1)/2 = -1

    En el caso theta = PI/2 : cos(theta) = 0 y sale una singularidad.

    En números reales positivos (xn mayor que 0), por la desigualdad de media aritmética y geométrica los términos de la sucesión se mantienen mayores que 1 ya que la media geométrica es 1

    sqr (xn * 1/xn ) = 1

    así que la media aritmética (de xn y 1/xn) es siempre mayor o igual que 1.
    (y sólo es 1 cuando xn = 1/xn … es decir, cuando el real positivo es xn = 1 … caso visto antes)

    Y la media de un número real positivo xn mayor que 1 y su inverso (1/xn) será menor que xn… así que la sucesión es monótona decreciente y acotada, luego converge.

    El límite es fácil ver que es 1 para reales positivos y -1 para reales negativos.

    Como se ha visto en otros comentarios los únicos límites posibles son +1 y -1.
    En el caso de xn positivo el límite tiene que ser +1 (una sucesión de positivos no puede tener límite -1)
    Y en el caso de xn negativo el límite tiene que ser -1

    Yo lo pensé de otra forma:
    Para positivos,

    x[n] = 1 + delta (n>0)

    entonces

    x[n+1] < 1 + delta /2

    (ya que la media de un número menor que 1 y 1+delta debe ser menor que la media de 1 y 1+delta que es 1+delta/2)

    Así que se acerca a 1 al menos “exponencialmente”, más rápido que 1 + delta/2^n

    Para complejos no reales yo lo pinté como un triángulo con vértices 0, xn y 1/xn
    Dicho triángulo siempre se forma, salvo en ángulos múltiplo de PI/2
    Y resulta x[n+1] el punto medio del lado xn a 1/xn
    cuyo módulo es menor que xn (siendo xn un punto fuera del círculo unidad, lo cual ocurre para n mayor que 0)
    Y, por tanto, dicho módulo converge a 1. (caso similar al de reales positivos: el módulo decrece y está acotado, luego converge)
    En cuanto al ángulo theta[n+1] se ve que es menor que el ángulo theta[n], luego también es decreciente y mayor que 0, luego converge… y sólo puede converger a 0.

    Por tanto, excepto para el eje imaginario puro (casos x0 = k * i) la sucesión converge a:

    1 para cos(theta) mayor que 0 (parte real mayor que 0, theta entre -PI/2 y PI/2) y

    -1 para cos(theta) <0 (parte real menor que 0, theta entre PI/2 y 3*PI/2)

    Sólo falta el caso del eje imaginario… (casos x0 = k * i)
    Para x0 = i ya hemos visto que resulta x1 = 0 y x2 = infinito. (singularidad)
    Para x0 = 0 resulta x1 = infinito
    Para x0 = 2i resulta x1 = (1 – 1/4) i …

    Por simplificar, basta decir que para puntos del eje imaginario la sucesión se mantiene en el eje imaginario… y una sucesión en dicho eje no puede tener límite 1 ni -1 (que están bien apartaditos de dicho eje) así que no puede converger en ningún punto del eje imaginario.

    Otra forma de verlo:

    Sería:
    xn = k * i
    x[n+1] = 1/2 * ( k – 1/k ) * i
    Entonces,
    para converger debería ser:
    k = 1/2 * ( k – 1/k )

    k^2 = 1/2 * ( k^2 – 1)

    k^2 = -1

    lo cual es imposible… un módulo no puede ser i ni -i

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  11. Está fantásticamente explicado, pero en el caso de que el iterante inicial sea complejo pongamos por ejemplo xo=4 * cos(pi/6) + 4  * i * sin(pi/6) se puede ver que el hecho de que un iterante sea mayor en módulo que 1 no te garantiza que el siguiente lo sea. Quiero decir que el módulo puede oscilar con respecto a 1 (tomando valores mayores y menores en función de la iteración) y no ser monótono decreciente (como se puede ver en este código R que te adjunto abajo), igualmente el argumento puede oscilar respecto a 0º o 180º en vez de ser monótono decreciente

    xo=0.5*cos(pi/6)+0.5*(0+1i)*sin(pi/6)
    print(xo);print(abs(xo))
    for (i in 1:10) {
    xo=0.5*(xo+1/xo)
    print(xo);print(abs(xo))}
    }

    En cualquier caso los tiros creo que van por ahí (separar la convergencia del módulo y del argumento y luego acotarlo de algún modo, pero los módulos y argumentos pueden oscilar con respecto a 1 y a 0º o 180º respectivamente con lo cual probar la convergencia a partir de la monotonía queda un poco “colgado con pinzas”). Al resto no le veo fallos y me ayudó un poco a entender algo más la filosofía del problema. Gracias por leer.

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  12. Resumiendo un poco lo ya dicho, de la definición sigue que

    \dfrac{x_{n+1}+1}{x_{n+1}-1}=\left(\dfrac{x_{n}+1}{x_{n}-1}\right)^2

    y de aquí \dfrac{x_{n}+1}{x_{n}-1}=\left(\dfrac{x_0+1}{x_0-1}\right)^{2^n},\quad n\geq 0. Luego:

    1) Re\;x_0\prec 0 \Leftrightarrow \left|\dfrac{x_0+1}{x_0-1}\right|\prec 1\Leftrightarrow \dfrac{x_n+1}{x_n-1}\to 0 \Leftrightarrow x_n\to -1;

    2) Re\;x_0> 0 \Leftrightarrow \left|\dfrac{x_0+1}{x_0-1}\right|>1\Leftrightarrow \dfrac{x_n+1}{x_n-1}\to \infty \Leftrightarrow x_n\to 1.

    He usado el símbolo \prec para denotar menor estricto.

    Lo anterior vale siempre que x_n\neq 1 y x_n\neq 0, para todo n. Por un lado, si x_n=1 para algún n, entonces se tiene x_0=1 y la sucesión es constante. Por otro, si x_n=0 para algún n, entonces es que x_0\in i\mathbb{R}.

    Finalmente, en el caso de que x_0\in i\mathbb{R}, entonces \dfrac{x_0+1}{x_0-1} está en la circunferencia unidad:

    \dfrac{x_0+1}{x_0-1}=e^{2\pi i \omega},

    y la única posibilidad de que e^{2\pi i \omega 2^n} converja es que \omega=\dfrac{r}{2^s}, r,s\in\mathbb{Z}. En este caso, la sucesión \dfrac{x_n+1}{x_n-1} se estabiliza en 1, y por tanto la sucesión x_n se estabiliza en \infty a partir de un cierto n. Observar que este caso se obtiene para x_0=i\cdot tg\left(\pi \frac{r}{2^s}\right). Para otros valores de \omega, la sucesión \dfrac{x_n+1}{x_n-1} oscila en la circunferencia unidad (pues oscilan el seno y coseno), y por tanto x_n oscilará sobre el eje imaginario.

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  13. El primer paso que deduces de la definición, M, es magistral y brillantísimo (e intrigante porque… ¿cómo se te ocurrió?). Desmorona y simplifica el problema de una tacada.

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  14. Maelstrom, la sucesión está definida como x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+1}{2x_n}, con lo cual x_{n+1}\pm 1=\dfrac{(x_n\pm 1)^2}{2x_n}, y de ahí sale la relación eliminando 2x_n.

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  15. No, no, si ya. Lo intrigante era que te diera ese chispazo. Pensamiento de ese que dicen lateral.

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  16. Tanto que se ha usado en otros problemas el método de simular con el ordenador y después demostrar, que raro que nadie haya lanzado unos cientos de puntos a ver donde acaban.
    Yo hubiera pensado que podría haber salido una superficie solida simplemente conexa, múltiple mente conexa o hasta un fractal. Seguro que aquí una imagen vale más que mil palabras. Alguien se anima?

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  17. Como me acuerdo de la identidad: \text{coth}{2x}=\dfrac{1+\text{coth}^2{x}}{2\text{coth}{x}}=\dfrac{1}{2}\left(\text{coth}{x}+\dfrac{1}{\text{coth}{x}}\right)
    veo que ese fue el criterio para elegir la sucesión 🙂

    Así que resulta: x_n=\text{coth}{(w_0 2^n)} con w_0=\text{acoth}{(z_0)}

    Donde se ve lo mismo que antes en cuanto a la convergencia cuando la parte real de zo es mayor o menor que 0.
    Cuando z_0=i\,v_0 es imaginario puro: z_n=-i\text{cot}{(v_0 2^n)} resulta oscilante no acotada.

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