Coordenadas polares: otra forma de ver el plano complejo

Introducción

Todo punto del plano complejo (plano cartesiano) puede representarse con sus coordenadas (x,y), que son los puntos de cada uno de los ejes donde cortan las dos perpendiculares a los mismos que podemos trazar desde la propia representación del punto (esto es, las coordenadas que todos conocemos desde siempre). Estas coordenadas se denominan coordenadas rectangulares o cartesianas.

Esta forma de asignar coordenadas a los puntos del plano no es la única (de hecho en muchas ocasiones ni siquiera es la más aconsejable). Vamos a ver otra manera de asignar coordenadas a los puntos del plano: las coordenadas polares

Coordenadas polares

A todo punto P del plano cuyas coordenadas rectangulares son (x,y) podemos asignarle las siguientes coordenadas:

r=distancia del origen de coordenadas (0,0) al punto P
\theta=ángulo desde el semieje positivo del eje X al segmento que une el origen de coordenadas con P

Representado gráficamente sería así:

Coordenadas polares

Teniendo en cuenta esta definición se tiene que r \ge 0 y \theta \in \left [ 0, 2 \pi \right ] (se puede definir también el ángulo en el intervalo \left [ - \pi, \pi \right]).

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares con las polares son las siguientes:

Rectangulares en función de las polares

x=r \; cos(\theta)
y=r \; sen(\theta)

Polares en función de las rectagulares

r=+ \sqrt{x^2+y^2}
\theta=arctan(\textstyle{\frac{y}{x}})

Sobre la expresión del ángulo en función de las coordenadas rectangulares se debe realizar un apunte importante. La función arctan(x) da como resultado dos valores distintos, dos ángulos en cuadrantes opuestos (primero y tercero o segundo y cuarto). Por tanto hay veces en las que al calcular el ángulo puede que obtengamos un resultado incorrecto (puede que nos aparezca el ángulo del cuadrante incorrecto). La regla para el ángulo es la siguiente:

Calculamos el ángulo \theta (con la calculadora o con la ayuda del cuadro de las razones trigonométricas) y miramos los signos de las coordenadas (x,y) para ver en qué cuadrante está situado el punto P. Si el ángulo que hemos obtenido está en el mismo cuadrante que P el ángulo obtenido es el correcto. Si no es así sumamos o restamos \pi al ángulo que nos ha salido cuidando que el resultado de esa suma/resta quede dentro del intervalo \left [ 0, 2 \pi \right ]. Por ejemplo, si obtenemos el ángulo \textstyle{\frac{\pi}{3}} (que está en el primer cuadrante) y vemos que nuestro punto está en el tercer cuadrante (coordenadas (x,y) negativas) sumamos \pi al ángulo obtenido, resultando entonces que el \theta buscado es \theta=\pi + \textstyle{\frac{\pi}{3}} =\textstyle{\frac{4 \pi}{3}} (si en vez de sumar restáramos nos saldríamos de \left [ 0, 2 \pi \right ]).

Aplicaciones

Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos:

  • Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable, r (en concreto r \to 0), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo \theta. Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares.
  • Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro (0,0) y radio 3 tiene a x^2+y^2=9 como ecuación en coordenadas rectangulares y a r=3 como ecuación en polares.
  • Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares (x,y) es la representación gráfica del número complejo z=x+iy (esta forma de representar un número complejo se denomina forma binómica del z). Pasando a polares obtenemos el módulo (r) y el argumento (\theta) de z y con ello la forma polar de z: z=r_{\theta}

    Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces n-ésimas.

  • Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma.
  • Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad.
  • Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso anterior.

Un toque de humor

Las coordenadas polares también sirven para darle un toque de humor matemático a nuestra vida:

¿Qué es un oso polar?
Un oso rectangular al que se le ha aplicado un cambio de coordenadas.

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20 comentarios

  1. Egar | 4 de mayo de 2009 | 08:59

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    “¿Qué es un oso polar?
    Un oso rectangular al que se le ha aplicado un cambio de coordenadas.”

    … U XD matemáticas a las matemáticas

  2. Trackback | 4 may, 2009

    Bitacoras.com

  3. omalaled | 4 de mayo de 2009 | 22:36

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    No sé si decir el plano complejo o las coordenadas polares en sí, pero sea como sea, una importante aplicación está en la electrotecnia (quizás sería la extensión natural al punto “Forma polar de un número complejo”).

    Lo único que hacen diferente los ingenieros eléctricos es utilizar la “j” en lugar de la “i”, ya que la tienen reservada para la intensidad.

    El chiste es muy viejo :-) pero me ha vuelto a hacer reír.

    Salud!

  4. smart | 9 de mayo de 2009 | 07:30

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    En primer lugar, enhorabuena por gaussianos. Me ha enganchado desde el primer momento.

    El mundo de la variable compleja es verdaderamente fascinante. Os recomiendo a todos el libro de la colección NIVOLA sobre EULER y en concreto el capítulo dedicado a cómo el maestro y sus antecesores se enfrentaron a esa cosa que les aparecía y desaparecía como era la raiz de menos uno.

    Hadamard sintetizó todo esto en una frase maravillosa: “el camino más corto entre dos verdades del mundo real pasa por el plano complejo”. (más o menos, me importa más el sentido que la literalidad).

    Los que hemos tenido la oportunidad y fortuna de estudiar las matemáticas de una ingeniería superior somos los principales beneficiados de este principio universal:

    Lo que poca gente sabe es que en electrotécnia se pasa al plano complejo ya que de esta forma las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de los circuitos eléctricos, se convierten en ecuaciones algebraicas, se resuelven, y volvemos otra vez a la realidad.

    Esto se utiliza y aplica a diario en cualquier instalación eléctrica por personas de mayor o menor cualificación en matemáticas que aplican y calculan, por ejemplo el coseno de fi de una instalación y que es la relación entre la intensidad “util” y la intensidad “real” que debemos transportar.

    Este coseno de fi os lo podeis imaginar, es el argumento de la intensidad expresada como un número complejo en forma polar.

    Preguntarle a cualquier instalador eléctrico y os sorprendereis de la naturalidad con la que os habla de este concepto.

    Un saludo

  5. Omar-P | 9 de mayo de 2009 | 11:53

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    Hola smart, muy interesante lo que comentas. Quería saber si puedes hacer algun aporte o dar tu opinión sobre el comentario publicado en Gaussianos el 15 de julio de 2008 a las 2:25 hs. (Ver también los 3 comentarios que le anteceden) Gracias.

  6. Omar-P | 9 de mayo de 2009 | 11:55

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    Está el post “Graves confusiones sobre el número Pi”.

  7. gaussianos | 9 de mayo de 2009 | 18:45

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    smart, estás hablando de las transformadas de Fourier y Laplace, ¿no?

  8. smart | 10 de mayo de 2009 | 22:19

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    Hola Omar-p y gaussianos. Muchas gracias por vuestro interés, realmente me complace.

    No, no tiene que ver con la transformada de fourier o laplace. Estas se utilizan para la resolución de otro tipo de problemas y con ellas pasamos a otros dominios diferentes (en el caso de las de fourier pasaríamos al dominio de la frecuencia, otro tema que también es interesantísimo – ¿sabiais que la caracola de nuestro oido es una especie de analizador de espectro de fourier?).

    No, en este caso pasamos al dominio de la fase. Este es un tema que suele dar para un trimestre de electrotecnia y sería imposible plasmarlo aquí. Pero veamos:

    Para la resolución de un circuito eléctrico (saber cual es la intensidad que circula por cada uno de sus elementos y/o voltaje que existe entre sus terminales, utilizamos una serie de elementos ideales entre los que se encuentran la Resistencia, el Condensador, la Bobina, y las Fuentes de Tensión. Después tenemos un montón más como pueden ser fuentes de intensidad, transformadores, etc…

    Los circuitos reales se modelan por medio de combinar estos elementos ideales. Por ejemplo, una bobina real siempre tiene una cierta resistencia ya que el cable con el que está construida tiene resistencia (aunque sea muy poca), por lo tanto será modelada por una bobina ideal más una resistencia ideal en serie.

    Los cables, idem de lo mismo, pero utilizamos cables ideales por los cuales circula una intensidad pero todos sus puntos están al mismo potencial eléctrico.

    Lo mismo le pasa a una fuente de tensión que tienen una resistencia interna, etc…

    Bien, por otra parte, por cada uno de estos elementos circula una intensidad i(t) que es una función del tiempo y entre sus bornes hay una diferencia de potencial u(t) que a su vez es una función del tiempo.

    Cada uno de estos elementos está caracterizado por una relación entre esta intensidad y la diferencia de tensión, o simplemente tensión, entre sus terminales. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones de definición.

    Así, para una resistencia: u(t)= R i(t) con R la resistencia en Ohmios.

    Para una bobina, u(t) = L \cfrac{d i(t)}{dt}, con L la inductancia en Henrios.

    Para un condensador, u(t) = \cfrac{1}{C} \int^t_{-\infty} i(\tau) d\tau con C la capacidad en Faradios.

    Para una fuente de tensión, la tensión entre sus bornes es una función dada de dicha tensión y que es independiente de la intensidad que circula por ella: e(t).

    Además tenemos las leyes de Kirchoff que establecen que la suma de intensidades en un nudo es igual a cero y que la suma de diferencias de potencial de una malla es igual a cero….

    ¿Os imaginais tener que resolver cualquier circuito eléctrico por medio de estas relaciones?. Os garantizo que las ecuaciones diferenciales son monstruosas.

    Bien, en este momento aparece en escena nuestras amigas las funciones armónicas: el seno y el coseno que son la forma que adoptan las funciones de potencial de las fuentes de tensión de nuestro sistema eléctrico y por ende de los enchufes de nuestras casas.

    En este caso: e(t) = \sqrt{2}*240*cos(wt + \varphi_u). El ángulo de desfase o \varphi lo utilizamos para tener en cuenta que empezamos a representar la tensión en un instante dado, y es este ángulo precisamente en el que nos basaremos para nuestro paso al plano complejo. 240 es la tensión eficaz (la que mediriamos con un polímetro) que multiplicada por \sqrt{2} nos da el valor de la tensión máxima para representar la gráfica. w es la pulsación. Esta pulsación se traduce en una frecuencia que como todos sabemos en Europa es de 50 Hz.

    Esto tiene otras grandes y útiles repercusiones, como por ejemplo que podamos transformar el voltaje de la energía eléctrica por medio de transformadores (no funcionan con corriente continua) aumentando su voltaje y disminuyendo su intensidad lo que permite transportar grandes cantidades de energía con unas pérdidas mínimas. (lo que genera las pérdidas en un conductor es calor producido por la intensidad)

    Pero no nos desviemos.

    Por supuesto, este valor de la tensión lleva suficiente tiempo estando en nuestros enchufes, invariable, (lo cual es casi cierto si despreciamos las variaciones que introduce la compañia eléctrica y/o otros usuarios), como para que podamos considerar que estamos en régimen cien por cien estacionario.

    En estas condiciones (tras un largo trimestre de un curso de electrotecnia, y algunas ecuaciones diferenciales resueltas “a pelo”) se puede demostrar que la función i(t) también tiene forma senoidal y que estará desfasada con respecto a u(t) un valor \varphi_i) que hay que determinar.

    Así mismo deberemos determinar el módulo por el que hay que multiplicar la función seno (o coseno): I. En otras palabras, sabemos que la función i(t) tiene la siguiente forma: i(t) = \sqrt{2}*I*cos(wt + \varphi_i).

    Bueno, por fin llegamos al asunto: Funciones senoidales: se repiten continuamente… ¿qué sentido tiene que las representemos en función del tiempo?. Ninguno. Si ya sabemos qué forma tienen…

    Usando la notación del maestro EULER, representamos la tensión y la intensidad en el plano complejo de esta forma:

    u(t) = U*e^{j(w*t + \varphi_u)} y i(t) = I*e^{j(w*t + \varphi_i)}. (veis ahora porqué sí que conviene utilizar la j en vez de la i para hacer referencia a \sqrt{-1}? Bien, esto son dos vectores (también llamados en este contexto “fasores” en el plano complejo que están dando vueltas constantemente pero que mantienen su posición relativa como un ángulo o desfase que es igual a \varphi_u - \varphi_i

    La intensidad y el voltaje tienen, a partir de ahora, una parte real (real de verdad, no tocar los enchufes)que es la proyección en el eje real de la función coseno y una parte imaginaria que está allí, no molesta y cuando queramos nos olvidamos de ella. (Recordar a Hadamard).

    (lástima que no se puedan insertar figuras o al menos no sé).

    Si nos aprovechamos de que:

    \cfrac{d*e^{m*t}}{dt} = m*e^{mt} y además \int^t_{-\infty} e^{m*\tau}d\tau = \cfrac{1}{m}*e^{m*\tau}

    conseguimos convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas llegando a una expresión general para la relación entre tensión e intensidad en cualquier elemento que tiene la forma: i*Z = u con Z (impedancia compleja) igual a:

    Z = R para el caso de una resistencia pura. Esto es un número complejo con sólo parte real

    Z = jwL para el caso de una bobina. Esto es un número complejo con sólo parte imaginaria positiva.

    Z = \cfrac{1}{jwC} = -j*\cfrac{1}{wC} para el caso de un condensador. Esto es un número complejo con sólo parte imaginaria negativa.

    ¿No parece elegante? Hemos podido generalizar la ley de Ohm para cualquier elemento. (Sólo es válida para las resistencias puras en el mundo real)

    Con este cambio y además:

    al tener los fasores una posición relativa siempre constante, los paramos haciendo t=0. Hemos congelado la imagen… a partir de ahora ya estamos en disposición de trabajar: u = U*e^{j*\varphi_u} y i = I*e^{j*\varphi_i}

    Podremos resolver cualquier circuito siempre que:

    Estemos en régimen estacionario.
    La tensión tenga una forma de onda senoidal.

    Una vez resuelto, desestimaremos la parte imaginaria, siendo la parte real la que nos interese. En la práctica ni siquiera eso, ya que lo único que nos interesa (una vez que sabemos que la forma de onda es siempre senoidal) es su mòdulo (voltaje o intensidad “medible”) y el ángulo de desfase entre ellos que tiene otras implicaciones sobre todo en la potencia.

    En fin, se ha hecho un poco tarde y me ha costado más de la cuenta trabajar con esto del latex, etc… me he saltado un montón de demostraciones. Lógicamente esto lleva muchas páginas de cualquier tratado de electro imposibles de reproducir aquí.

    Lo dejo en este punto. Tan sólo os pediré, ya que por lo que he podido leer hasta ahora os dedicais a la docencia, que desde bien jóvenes inculqueis a vuestros alumnos el amor por las matemáticas y una visión “a largo plazo” de muchas de las cosas que les estais enseñando ahora. Es una pena (como fue mi caso) no saber el fondo de todo esto hasta el tercero o cuarto curso de mi carrera según fuimos empezando a aplicar las teorías dadas en los primeros cursos. !Cuantas vocaciones se habrán frustado por esto!

    Enhorabuena por la página. Lo visito muy a menudo y lo utilizo como fuente de contenidos para hacer a mis hijos más apetecible esto de las matemáticas.

    Sigo a vuestra disposición.

    Un saludo

  9. Trackback | 25 may, 2009

    Calcular las raíces n-ésimas de z | Gaussianos

  10. Trackback | 30 jul, 2009

    Gaussianos cumple 3 años de vida | Gaussianos

  11. Yamil de argentina, cordoba | 21 de agosto de 2009 | 16:15

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    Gracias smart…esta pagina me a ayudado a entender mejor el porque de estos numeros. Estoy en el cuarto año de una secundaria y en ella me estan enseñando electrotecnia..ufff.
    no se le puede perder pisada porque sino te la llevas.
    Está bueno que haya gente que escriba estos comentarios, sabiendo que lo unico que recibiran a cambio es el agradecimiento.

  12. Trackback | 18 oct, 2009

    Calcular el área bajo la campana de Gauss | Gaussianos

  13. lucas | 27 de noviembre de 2009 | 14:44

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    Qué propiedades se pueden estudiar para representar una curva en polares?
    Conozco las simetrías: respecto el polo, respecto el eje polar y respecto angle=pi/2

  14. Calvo | 26 de diciembre de 2009 | 21:43

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    Como sería el sistema para 3 ejes (x,y,z)?

  15. Trackback | 31 dic, 2009

    (Lo que yo considero) Lo mejor de 2009 en Gaussianos | Gaussianos

  16. jai-bn | 3 de enero de 2010 | 20:45

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    Hola!para empezar, comparto my opinion con la de smart…añadiendo que yo tan solo tengo 16 años…aunque no dejo de encontrar lugares como este que me ayudan a poner a prueba my ingenio…y lo agradezco.Para seguir, solo queria hacer una pregunta, y es que no consigo comprender porque se representan los numeros complejos en un sistema de ejes cartesinos como un vector y no como un punto.Agradeceria mucho ua respuesta, añado, que pueda entender cursando 1º de Bachillerato.Gracias!

  17. Trackback | 8 feb, 2010

    Curiosidades sobre algunas funciones complejas | Gaussianos

  18. SHAGO | 7 de marzo de 2010 | 20:22

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    que tal, buenísimo el blog. Eh extraído muchos de sus aportes. Muy contento me siento que existan blog como estos, nos ayuda a compartir mucha información.

  19. Trackback | 25 mar, 2010

    Unidad 1 – Clase 2 « Curso de Análisis de Variable Compleja

  20. Jorge Berrio | 2 de octubre de 2013 | 23:50

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    yo tengo una duda sobre la forma correcta de aplicar los ángulos en un sistema cartesiano, es saber si estos siempre deben partir del eje X o también pueden partir del eje Y, esto porque casi todos los que he vista siempre se colocan del lado de X.

    por otro lado, veo que los puntos cardinales se escriben al contrario de como deben leerse. ejemplo para decir 50° noroeste, lo han escrito O 50° N.

    podría alguien explicármelo?

    muchas gracias por su respuesta

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