Cosas raras provocadas por el infinito

Los lectores asiduos de este blog (y muchas otras personas) ya saben que los días 27 y 28 del pasado mes de septiembre se celebró en Bilbao el evento Naukas Bilbao 2013 (antes Amazings Bilbao). Y también saben que yo participé en él con una charla de 10 minutos titulada como esta entrada: Cosas raras provocadas por el infinito. De ello, y de algunas otras cosas del evento, escribí hace un días. Pero he pensado que podía ser interesante escribir un post en el que comente el propio contenido de mi intervención, propiciando también que quien tenga alguna duda/consulta sobre la misma tenga un sitio donde plantearla.

En las próximas líneas, por tanto, podréis ver algunos comentarios sobre las cuestiones que abordé en esta pequeña charla acompañados por algunas de las diapositivas que utilicé en mi presentación.

Cosas raras provocadas por el infinito

Después del chiste inicial relacionado con la famosa frase de Einstein sobre el universo y la estupidez humana y con el “añadido” de Manz

comencé a hablar sobre temas relacionados con el infinito, ese gran desconocido. Lo primero que consideré interesante para comentar fue distinguir entre “una cantidad muy grande” y “una cantidad infinita” utilizando la conocida leyenda del ajedrez. En ella se cuenta cómo Sissa inventó el ajedrez a petición de un rey que estaba aburrido y que éste, muy agradecido por el juego, le ofrece a Sissa lo que él quiera. Éste pide la cantidad de granos de arroz que quedarían en el tablero del ajedrez si ponemos 1 grano en una casilla esquina, 2 granos en la de al lado, 4 en la siguiente, y así sucesivamente:

En principio el rey piensa que podrá responder al pago sin dificultades, ya que no piensa en la cantidad real de granos que debería pagar

Pero como rey que es tiene salida para todo y le ofrece a Sissa una cantidad infinita de granos calculada de la misma forma:

S=1+2+4+8+16+32+ \ldots

En el momento en el que Sissa acepta el rey se la cuela de la siguiente forma:

S=1+2+4+8+16+32+ \ldots=1+2 \cdot (1+2+4+8+16 \ldots)=1+2S \rightarrow S=-1

Vamos, que Sissa pasa de tener una ingente cantidad de arroz a tener que pagar un grano.

¿Por qué ocurre esto? Por operar con el infinito como si fuera un número (recordad que S era una cantidad infinita). Con el infinito no se puede operar con la misma alegría como lo hacemos con los números. Como dice mi amigo Tito Eliatron, “con el infinito sólo opera Gauss, y con cuidado”.

Otro ejemplo de esto es el que comenté justo después. Tenemos que

(1-1)+(1-1)+(1-1)+ \ldots=0

ya que todos los sumandos (aunque haya infinitos) valen cero. Pero claro, podemos dejar el primer 1 aparte y agrupar los siguientes así:

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ \ldots=1

¿Misma suma y dos resultados distintos? En realidad eso significa que la suma no tiene resultado. ¿Por qué? Muy sencillo. Dicha suma corresponde con el límite de la serie alternada siguiente:

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n}=1-1+1-1+1-1+\ldots

Si consideramos la sucesión de sumas parciales de dicha serie (es decir, la sucesión formada por los términos (a_0,a_0+a_1,a_0+a_1+a_2, \ldots), tenemos lo siguiente:

(1,0,1,0,1,0,1,0,1,\ldots)

que claramente tiene dos subsucesiones con límites distintos (la de los términos impares, que tiene límite 1, y la de los pares, que tiene límite 0). Eso en teoría de límites significa que la sucesión de sumas parciales no tiene límite, por lo que la suma no tiene resultado.

Sobre esto comentaba que podría estar provocado, entre otras cosas, por mezclar números positivos y negativos. No es solamente por eso, pero sí en parte. Las series alternadas (las que van alternando números positivos y negativos) pueden ser oscilantes (es decir, pueden no tener suma en el sentido de la que acabamos de ver), pero las de términos positivos no. Las series cuyos términos son todos positivos pueden ser divergentes (es decir, con suma infinita) o convergentes (esto es, con suma finita). Y esto, que la suma de infinitos números tenga como resultado un número, es, en cierto sentido, raro, ya que en general pensamos que si sumamos infinitas cosas el resultado debe ser infinito. Como ejemplo puse la suma protagonista del famoso problema de Basilea (y II)

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}}

cuyo valor, que encontró Euler, es \pi^2 \over 6.

Y esto engancha con otra cosa rara provocada por el infinito. Las fracciones de numerador y denominador enteros, conocidas como números racionales, cumplen que si sumamos una cantidad finita de ellas el resultado vuelve a ser un número racional. Pero si sumamos una cantidad infinita perdemos esa seguridad: podemos obtener como resultado infinito, un número racional o un número irracional. Y éste es nuestro caso, porque \pi^2 \over 6 es irracional al serlo el propio número \pi (aquí tenéis dos demostraciones de este hecho)…

…y hablando de irracionales, ¿cuál es el órgano más irracional del cuerpo humano? El pie:

porque tanto \pi como e son números irracionales (sobre esto último tenéis una demostración aquí y otra elemental aquí). Sí, el chiste es malo, pero venía que ni pintado.

Después de esto quise exponer el hecho de que en ocasiones una parte de un conjunto puede tener la misma cantidad de elementos que el propio conjunto, como pasa, por ejemplo, con los números naturales positivos y los números pares. Para ver esto simplemente hay que aplicar el argumento que en algunas ocasiones aplicamos casi sin querer para ver si dos conjuntos finitos tienen la misma cantidad de elementos: asociar cada elemento de un conjunto con un elemento del otro y ver si sobra alguno. Por ejemplo, la cantidad de dedos de mi mano es la misma que la de aros olímpicos porque puedo asociar cada dedo con un aro y no sobran ni dedos ni aros

Pues eso mismo puede hacerse con los naturales positivos y los pares. Podemos asociar el 1 con el 2, el 2 con el 4, el 3 con el 6, y así sucesivamente

En el artículo Cuándo dos conjuntos tienen el mismo número de elementos os hablaba sobre todo esto.


Pero esto no significa que lo expuesto ocurra con todos los infinitos. Éste fue el momento para la parte de la charla mas compleja en lo que al contenido se refiere. En ella hablé sobre la idea que se tiene de que hay un infinito nada más, cuando en realidad hay distintos infinitos. Como muchos sabréis, fue Georg Cantor quien demostró este hecho con una idea muy sencilla: el famoso argumento diagonal de Cantor.

La idea es utilizar el argumento anterior entre los naturales y los pares para demostrar que en este caso aquella situación no se da. Es decir, vamos a intentar asociar todos los elementos de un cierto conjunto infinito con los de otro conjunto infinito y veremos que hay elementos de este segundo conjunto que no están asociados con ninguno del primero. El primer conjunto será el conjunto de los naturales positivos y el segundo el conjunto de números entre el 0 y el 1.

Todos los números entre 0 y 1 se pueden escribir de la siguiente forma: un 0, un punto y luego sus decimales. Por tanto, si hubiera tantos números naturales positivos como números entre 0 y 1 podríamos realizar una asociación con la que hemos hecho antes. En ella, cada número natural positivo estaría asociado con un número entre 0 y 1, y en la lista aparecerían todos los números naturales positivos a la izquierda y todos los números entre 0 y 1 a la derecha

Lo que hizo Cantor fue construir un número que está entre 0 y 1 pero que no está en esa lista, por lo que ya no estarían todos en ello y, en consecuencia, habría más números entre 0 y 1 que en los naturales positivos. Y la construcción es así:

Del primer elemento de la lista, 0.a_1 a_2a_3 \ldots, tomamos el primer decimal, le sumamos 1 y lo colocamos como el primer decimal de nuestro número (si era un 9 ponemos en su lugar un 0). Del segundo elemento de la lista, 0.b_1 b_2 b_3 \ldots, tomamos el segundo decimal, le sumamos 1 y lo colocamos como segundo decimal de nuestro número. Y lo hacemos así con todos los de la lista. Nuestro número quedaría más o menos así:

0.(a_1+1)(b_2+1)(c_3+1) \ldots

Si nos fijamos en este número vemos que es distinto a todos los de la lista de la derecha, ya que difiere con todos ellos en, al menos, un decimal (el que hemos tomado de cada uno de ellos para sumarle 1). Por tanto ese número no está en la lista, lo que nos dice que entre 0 y 1 hay más números que en los naturales positivos y, en consecuencia, nos asegura que el infinito de los números entre 0 y 1 es mayor que el infinito de los números naturales positivos. En La diagonalización de Cantor os hablé sobre todo ello.

Para el final dejé algunos comentarios (pocos, por falta de tiempo) sobre los fractales, maravillosos a la par que enigmáticos objetos que se obtienen después de aplicar un proceso infinito a una cierta figura, como los que podéis ver en la siguiente imagen

(Arriba: Conjunto de Cantor y curva de Koch. Abajo: Curva de Hilbert y triángulo de Sierpinski.)

o después de estudiar las características de cada punto del plano después de aplicarles un proceso iterativo infinito, como el famosísimo conjunto de Mandelbrot

De este conjunto hemos hablado bastante en Gaussianos (tenéis información en el enlace anterior y aquí, aquí o aquí), por lo que no voy a comentar mucho más sobre él. Simplemente os invito a que hagáis algo que todo el mundo debe hacer al menos una vez en la vida: disfrutar de las maravillosas imágenes que se generan al hacer zoom en la frontera del conjunto de Mandelbrot (y jugar a encontrar las sucesivas copias del propio conjunto que nos irán apareciendo por el camino). Se pueden encontrar muchos vídeos en internet en los que podemos verlo, y yo aquí os voy a dejar el que utilicé aquel día en la charla:

Y como colofón no podía faltar una alusión al teorema de los infinitos monos en el siguiente sentido:

“Si hace un par de días hubiéramos puesto a infinitos monos a aporrear teclados es seguro que alguno de ellos habría escrito palabra por palabra todo lo que se ha dicho y se va a decir en Naukas Bilbao 2013.

Que, como ocurre con casi todo lo que pensemos, ya salió en Los Simpson:

(Imagen tomada de aquí.)

Y la demostración es muy sencilla:

La probabilidad de que un mono escriba una cierta cadena de k caracteres de forma aleatoria es 1 \over M^k, siendo M el número de teclas que hay en el teclado. Entonces, la probabilidad de que no escriba dicha cadena es 1 - {1 \over M^k}. Si tenemos n monos, la probabilidad de que ninguno escriba dicha cadena es por tanto \left ( 1 - {1 \over M^k} \right )^n, cantidad que, por ser la base un número estrictamente mayor que 0 y menor que 1, tiende a 0 cuando n tiende a infinito. Entonces, como la probabilidad de que ninguno escriba esa cadena es 0, la probabilidad de que la escriba alguno es 1.


Y aquí terminan los contenidos tratados en la charla, que, por cierto, podéis ver haciendo click en la siguiente imagen:

(Foto hecha por Paco Bellido.)

Para durar solamente 10 minutos creo que está bastante bien. Me hubiese gustado tocar algunos otros temas, como las paradojas de Zenón, el hotel de Hilbert, la esfera cornuda de Alexander, la paradoja del pintor o la paradoja de San Petersburgo, pero precisamente el tiempo hizo que no fuera posible. Espero que en algún momento surja la posibilidad de dar una charla más larga sobre el tema para poder incluir estos temas.

Si tenéis alguna duda, pregunta o comentario sobre todos estos temas o sobre la charla podéis utilizar los comentarios para plantearlos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

26 Comentarios

  1. Creo que se te ha colado una errata, supongo que aquí quieres decir “cantidad finita” en lugar de “infinita”:

    “Las fracciones de numerador y denominador enteros, conocidas como números racionales, cumplen que si sumamos una cantidad infinita de ellas el resultado vuelve a ser un número racional.”

    Por lo demás, interesantísima la entrada, como siempre.

    Saludos.

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  2. Javi Oribe, cierto, lo cambio ahora mismo. Muchas gracias :).

    Por cierto, la charla se tituló “Cosas extrañas provocadas por el infinito”, y no “raras”. Me traicionó el subconsciente, ya que en principio utilicé la palabra “raras”, y cambié después.

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  3. Maravilloso!! Una preciosidad leerte, que pasión le pones!

    En el lenguaje también hay muchas expresiones que tienen relación con el infinito, que usamos a diario, como son “nunca” y “para siempre”. Se usan en un sentido infinito, si bien, por nuestra propia naturaleza finita, siempre dejarán de ser nunca, y nunca serán para siempre.

    Sobre todo tienen carácter infinito cuando se acompañan de verbos en futuro, es decir, “tendiendo a”. En cualquier caso, y aunque fuese nuestra existencia infinita, las expresiones con estas palabras necesitarían ser demostradas, y dada la imperfección humana, acabarían siendo finitas.

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  4. Muchas felicidades por la exposición, te salió Genial. Muy instructiva incluso para legos como yo.

    Me hubiera encantado verte explicar la paradoja de Zenón, una de mis paradojas favoritas.

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  5. una duda, suponiendo que el tiempo es infinito, ¿existirán infinitos “yo” ?, exactamente iguales a mi física y mentalmente?, curioso…

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  6. Siendo que has empezado con la ley de potencias del ajedrez, podrias haber encajado en algun sitio la cuestion de que el 2^n es siempre mayor que n, y por lo tanto que hay otra forma de llegar a un infinito mayor que los naturales y de ahi a la Hipotesis del Continuo. Creo que te habria quedado mas redondo que el tener que rematar enseñando dibujitos de fractales… y es mucho mas chocante dejar a la gente pensando sobre la independencia de la CH que cualquier otra paradoja que hubieras podido poner.

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  7. Creo que al principio tienes un error donde dices:

    “…distinguir entre “una cantidad muy grande” y “una cantidad finita”…” supongo que lo hay que distinguir es lo INFINITO de lo muy grande, porque tal como lo pone ahora, son indistingibles.

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  8. Un artículo muy interesante, enhorabuena. Pero creo que al principio hay una errata. El número de granos de arroz que cabe en un tablero de ajedrez respondería a 1+2^63 y no a 2^64, si no me equivoco, por lo tanto: 9223372036854775810.
    Un saludo.

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  9. Cierto Sergio, debería poner “cantidad infinita“. Lo cambio ahora mismo.

    Pedro, la cantidad de granos de arroz que caben en el tablero es

    1+2+4+8+\ldots+2^{63}

    que es igual a 2^{64}-1, que es la cantidad que aparece en el artículo.

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  10. No entiendo porque “S” Es una cantidad INFINITA si hemos dicho que son 2^64 -1
    Son muchos granos y logicamente no existen tantos lo admito pero no INFINITOS.

    Y luego si SISSA díjo: …”Éste pide la cantidad de granos de arroz que quedarían en el tablero del ajedrez”….

    Está claro que todo grano que no se quede en la superficie del tablero, no VALE…

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  11. Como sugerencia, para otra ocasión, dos cosas que sorprenden mucho a la audiencia:

    Estamos bastante acostumbrados a los números naturales y los números pares, y no nos sorprende tanto que haya la misma cantidad de unos que de otros. Sin embargo suele sorprender mucho que haya tantos números entre 0 y 1 como en toda la recta.

    Y también sorprende mucho que haya muchísimos más números irracionales que números racionales. ¡Casi nadie conoce más de media docena de números irracionales, así de golpe!

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  12. Los de Numberphile en Youtube demostraron que 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … tiene como mejor respuesta: 1/2. Usaron sumas parciales.

    Pueden ver la demostración aqui:
    http://youtu.be/PCu_BNNI5x4

    Me parece curiosa la respuesta.

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  13. killor, es el rey el que, después de lo del tablero, le ofrece a Sissa una cantidad infinita de granos calculada de la misma forma que lo había hecho él.

    Beatriz, grandes sugerencias, muchas gracias. Si al final amplío la charla para otra ocasión las tendré muy en cuenta :).

    Dan, muy interesante. Además es uno de los temas que tengo pendiente para el blog :).

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  14. Hay una cosa que me altera u poco, ¿como está eso de “los naturales positivos”? no habras querido decir los enteros positivos, hasta donde sé todos los naturales son positivos

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  15. Respecto a lo que dice Beatriz, prefiero pensar por un lado en algebraicos y por otro en trascendentes. Y es un shock el descubrir que los algebraicos son tambien numerables.

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  16. Respecto a la regularización de 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … Ademas de las cuestiones de la relacion entre la Eta (no sé si de Dirichlet o Euler) y la Zeta de Riemann, me gusta espacialmente una idea que citan en los viejos manuales de series divergentes (tengo a mano el de Emile Borel), en el que los diferentes puntos a los que puede “converger” una serie divergente a base de sumas parciales se expresan por reglas de insercion de ceros. Esto es, que la jugada es que no es lo mismo la serie
    1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
    que la
    1 – 1 + 0 + 1 + 0 – 1 + 1 + 0 – …
    con alguna regla que diga cuantos zeros se insertan y a que ritmo. En ese sentido la “divergencia” tiene su origen en que nos hemos pasado de listos borrando los ceros, y una receta de sumas parciales revela su importancia. Es un pensamiento curioso.

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  17. Alejandro Rivero, curioso, no conozco mucho sobre este tema. ¿Algún link en el que poder consultar? Gracias :).

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  18. Pues la verdad es que yo tampoco se mucho… a ver si algun amable lector da mas datos. El libro de Emile Borel, “Leçons sur les séries divergentes”, lo compre de casualidad en Gabay, pero creo que el clasico de verdad es uno de Hardy. Desde luego la mitad del libro es sobre series sumables y metodos de sumacion, Cesaro y familia. Ahora mismo no veo lo de los ceros insertados, pero tiene que estar ahi o en el de Hardy, porque recuerdo haber leido más sobre el tema.

    La que comentaba Dan, y sumas similares, tuvieron su thread de gloria en el 2004 en sci.physics.research, el hilo se titulaba “Re: QFT, divergent power series, and all that…” y Baez metio bastante baza ahi.

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  19. Me ha gustado y sorprendido mucho tu blog sobre “Cosas raras provocadas por el infinito”. Es muy curioso las cosas extrañas que suceden por lo “infinitamente grande” o lo “infinitamente pequeño”. El infinito es el que provoca la mayoría de las paradojas como la de Cantor (sobre el conjunto de todos los conjuntos) y la de Zenón (Aquiles y la tortuga). Nunca me había parado a pensar que la propiedad asociativa para la suma de números, no siempre se cumple cuando sumamos infinitos números, como en el ejemplo de la serie 1-1+1-1+1…. Depende de cómo sean agrupados, la suma puede dar distintos valores. Supongo que sucederá lo mismo con la multiplicación, y también con la distributiva como hizo el rey para engañar Sissa. ¡Enhorabuena!

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  20. No son 18.446.744.073.709.551.615, son 18.446.744.073.709.551.616

    Esto de usar nzt48 y noopept esta poniendome grave 🙂

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  21. Muy bueno el artículo!, gracias.

    Respecto de los monos, está tratado por J.L. Borges mucho más elegántemente que por los Simpsons en “La biblioteca de Babel” de su libro Ficciones. Lo plantea con una belleza literaria que le es propia.

    Ojalá alguien se decida a disfrutarlo!
    Saludos

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  22. “Según la forma en que se ubiquen paréntesis sobre la serie de Grandi, es posible obtener un “valor” 0 ó 1. Utilizando álgebra se puede obtener un tercer valor. Escribiendo
    S = 1 − 1 + 1 − 1 + • • •,
    entonces
    1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + • • •) = S, por lo tanto S = 1⁄2.”

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  23. A mí siempre me ha llamado la atención el hecho de la suma de series no siempre sea conmutativa. Por ejemplo:
    1 -1/2 +1/3 -1/4 +1/5 -1/6 +1/7 -1/8 + ···· = ln 2

    1 + 1/3 – 1/2 + 1/5 + 1/7 – 1/4 + 1/9 + 1/11 -1/6 + ···· = 1/2· ln 8

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