Coseno irracional

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El problema de esta semana es corto pero directo:

Demostrar que $cos(1^\circ)$ es irracional.

Probablemente no os resulte demasiado complicado, pero quiero ver qué se os ocurre. Ánimo y suerte a todos y todas.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de April de 2008
Categorías: Juegos | Imprime este post

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Pasotaman | 8 de April de 2008 | 10:49

Puede que haya opciones más sencillas, pero esta es la que se me ha ocurrido a mí. Consiste en partir del conocimiento de que $cos\left(45^o\right)$ es trivialmente irracional y relacionarlo con el de su cuarentaicincoava parte. De las igualdades trigonométricas:

$\cos\left(nx\right)=\cos\left[\left(n-1\right)x+x\right]=\cos\left[\left(n-1\right)x\right)\cos x-\sin\left[\left(n-1\right)x\right]\sin x$

y

$\cos\left[\left(n-2\right)x\right]=\cos\left[\left(n-1\right)x-x\right]=\cos\left[\left(n-1\right)x\right)\cos x+\sin\left[\left(n-1\right)x\right]\sin x$

podemos despejar la siguiente relación que sólo involucra cosenos:

$\cos\left(nx\right)=2\cos\left[\left(n-1\right)x\right]\cos x-\cos\left[\left(n-2\right)x\right]$

Tomando $n=45,x=1^o$ y aplicando esta fórmula sucesivamente, podemos llegar a que aparezcan sólo términos con $n\in\left\{0,1\right\}$ , es decir, llegar a un polinomio en $\cos\left(1^o\right)$ , que además tendrá claramente coeficientes enteros por serlo también $\cos\left(0\right)=1$ .

Supongamos que $\cos\left(1^o\right)\in\mathbb{Q}$ . Luego al sustituirlo en un polinomio con coeficientes enteros obtendríamos también un valor racional. Pero $\cos\left(45^o\right)\in\mathbb{I}$ , con lo cual llegamos a una contradicción y demostramos que el coseno considerado no es, de hecho, racional.
Pasotaman | 8 de April de 2008 | 10:51

Corrección: en lugar de $\mathbb{I}$ (que son los imaginarios) debería poner $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ .
Makubex Reginleif.- | 8 de April de 2008 | 17:27

no sirve llegar ese 1 a radianes???.. alli queda en funcion de Pi, q es irracional…
PelaoX | 8 de April de 2008 | 20:39

Puede que Pi sea irracional, pero eso no implica que Coseno(x) donde x sea irracional, sea irracional, no se si me explico. Por ejemplo, Cos(2*Pi), es racional.
Ya otro dia aprendo a usar latex.
Xator | 8 de April de 2008 | 20:45

PelaoX, pero siempre podrás desarrollar el $\cos{x}$ en una serie de Taylor en la que aparecerán sumas de potencias de $x$, y por lo tanto también será irracional.
Jose | 9 de April de 2008 | 00:51

Correción Pasotaman: el conjunto de los números imaginarios (complejos) se designa con $\mathbb{C}$ y no con $\mathbb{I}$ .

Para designar a los números irracionales puede usarse tanto $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ como $\mathbb{I}$ .
Jose | 9 de April de 2008 | 00:54

Perfecta demostración Pasotaman
miguel | 9 de April de 2008 | 05:28

otra manera es poniendo el seno en funcion de el numero e y luego se tiene una relacion e elevado a la pi sobre 180 que es irracional.
miguel | 9 de April de 2008 | 05:30

Jose los complejos tambien abarcan a los reales por lo tanto si nos referimos a los imaginarios una notacion es Im.
Pasotaman | 9 de April de 2008 | 08:14

Jose: aunque es un tema notacional sin mayor importancia, Wikipedia me da la razón: $\mathbb{I}=i\mathbb{R}$ , es decir, los imaginarios (puros):

http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_number
Jose | 9 de April de 2008 | 21:20

Toda la razón. He de decir que en algún que otro libro sobre Teoría de Números he visto la notación para los irracionales expuesta más arriba.
Siento el malentendido.
Un Saludo.
antonio | 22 de April de 2008 | 12:59

xator, el derarrollo en serie de potencias no sirve para demostrarlo, porque tambien se puede hacer el desarrollo del cos(Pi), que aunque sea una sumatoria de producto de irracionales (potencias de Pi), la suma es racional.
blans | 19 de June de 2008 | 17:11

Hola,
Acabo de ver este post y se me ha ocurrido algo más corto, a ver qué os parece:
$\cos^21=\frac{1+\cos2}{2}$ y, si suponemos que $\cos1\in\mathbb Q$ entonces se tendrá
$\frac{1+\cos2}{2}=\frac{a^2}{b^2}$ . De donde $(1+cos2)b^2=2a^2$ lo que es una contradicción.