Cuadrado perfecto y 2009

El problema de esta semana es el siguiente:

Encontrar el mayor entero positivo n que cumple que n^2+2009 \cdot n es un cuadrado perfecto.

Ánimo y a resolverlo.

Otro problema relacionado con este año 2009. Aquí podéis ver alguno más que se publicaron en Gaussianos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. El MAYOR?

    eso debe significar que sólo hay un número finito de naturales, pero ciertamente no estoy nada convencido.

    ¿no debería ser el MENOR?

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  2. Hay 5 soluciones con números naturales. La de epi es la mayor.

    La siguiente es 143143^2 + 2009\cdot 143143 = 144144^2.

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  3. Si n*(n+2009) es un cuadrado, el mayor valor lo obtenemos cuando n es un cuadrado y n+2009 es el cuadrado siguiente. La diferencia entre dos cuadrados consecutivos es su suma, así que n es el cuadrado de 1004 y n+2009 el cuadrado de 1005, que es la solución de epi.

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  4. No he llegado a calcularlo, pero el proceso que he seguido es el siguiente, y creo que coincide con el de epi.

    Si la expresión es un cuadrado perfecto, puede escribirse como:
    n^2 + 2009n = x^2

    Despejamos n dependiendo de x, lo que nos deja:

    n = [ -2009 +- sqrt( 2009^2 + 4x^2 ) ] / 2

    De todos los valores de x, sólo serán soluciones válidas para n aquellas que no hagan negativa la expresión de la raíz cuadrada, o lo que es lo mismo:

    2009^2 + 4x^2 >= 0

    que determina x >= 1004.5

    Tomando este mínimo valor de x y sustituyendo en la ecuación, obtenemos el máximo valor de n.

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  5. Hola Tito Eliatron, el que haya un número finito de naturales verificando la condición, se relaciona, por ejemplo, con las posibles formas de expresar 2009 como diferencia de cuadrados, que se dan en cantidad finita.

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  6. Corrijo mi comentario anterior.
    El número de soluciones positivas es uno menos que el número de divisores de 2009^2 , es decir 14.

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  7. Vaya, este último comentario mío también está mal.

    Naka Cristo, tienes razón, hay ocho en total.

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  8. epi, hay 7+1 porque 140^2 = 49(20)^2.

    Parece que la ecuación n^2 +a n = m^2, cuando a es impar, a=2k+1, tiene \dfrac{d(a^2)+1}{2} soluciones, con d(x) = número de divisores de x, y la mayor solución es n=k^2, m= k(k+1).

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  9. Muy buen foro!! Los felicito!! Estoy a una materia de recibirme de profesora de matemática, soy argentina y tengo 28 años!!
    Recién de casualidad buscando sobre quién fue el primero en tratar las geom no euclídeas los ncontré y su artículo me fue de gran ayuda!! Si el lunes rindo bien el examen de historia t epistemologí de la matemática me recibo!! Besos a todos por allá!! Desde Argentina y desde mi corazón!!

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  10. buena alguien podria explicarmelo como para un principiane matematico ia q n he entendido casi nada:S
    o alguna recomendacion de libros buenos para ser como ustedes, mi meta es llegar a demoesttar teoremas y problemas teoricos, pero nose como empezar solo se hasta calculo integral algebra lineal,mecanica pero solo en forma practica.
    alguien me lo explica :S

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