Cuadrado perfecto y 2009

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Cuadrado perfecto y 2009

El problema de esta semana es el siguiente:

Encontrar el mayor entero positivo $n$ que cumple que $n^2+2009 \cdot n$ es un cuadrado perfecto.

Ánimo y a resolverlo.

Otro problema relacionado con este año $2009$ . Aquí podéis ver alguno más que se publicaron en Gaussianos.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de Marzo de 2009
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17 comentarios

Trackback | 10 Mar, 2009

Bitacoras.com
epi | 10 de Marzo de 2009 | 11:33

Me sale $n=1004^2$ , para el que se obtiene $n^2+2009n=1009020^2$ .
Tito Eliatron | 10 de Marzo de 2009 | 12:02

El MAYOR?

eso debe significar que sólo hay un número finito de naturales, pero ciertamente no estoy nada convencido.

¿no debería ser el MENOR?
fede | 10 de Marzo de 2009 | 14:18

Hay 5 soluciones con números naturales. La de epi es la mayor.

La siguiente es $143143^2 + 2009\cdot 143143 = 144144^2$ .
Mmonchi | 10 de Marzo de 2009 | 15:02

Si n*(n+2009) es un cuadrado, el mayor valor lo obtenemos cuando n es un cuadrado y n+2009 es el cuadrado siguiente. La diferencia entre dos cuadrados consecutivos es su suma, así que n es el cuadrado de 1004 y n+2009 el cuadrado de 1005, que es la solución de epi.
Edark | 10 de Marzo de 2009 | 15:35

No he llegado a calcularlo, pero el proceso que he seguido es el siguiente, y creo que coincide con el de epi.

Si la expresión es un cuadrado perfecto, puede escribirse como:
n^2 + 2009n = x^2

Despejamos n dependiendo de x, lo que nos deja:

n = [ -2009 +- sqrt( 2009^2 + 4x^2 ) ] / 2

De todos los valores de x, sólo serán soluciones válidas para n aquellas que no hagan negativa la expresión de la raíz cuadrada, o lo que es lo mismo:

2009^2 + 4x^2 >= 0

que determina x >= 1004.5

Tomando este mínimo valor de x y sustituyendo en la ecuación, obtenemos el máximo valor de n.
Naka Cristo | 10 de Marzo de 2009 | 15:36

¿Cómo que 5?
Hay 8 soluciones (contando el 0). Y sí esas dos son las mayores
epi | 10 de Marzo de 2009 | 15:40

Hola Tito Eliatron, el que haya un número finito de naturales verificando la condición, se relaciona, por ejemplo, con las posibles formas de expresar 2009 como diferencia de cuadrados, que se dan en cantidad finita.
Edark | 10 de Marzo de 2009 | 15:41

Perdón, me equivoqué en el signo. Es 2009^2 - 4x^2
fede | 10 de Marzo de 2009 | 15:51

Corrijo mi comentario anterior.
El número de soluciones positivas es uno menos que el número de divisores de $2009^2$ , es decir 14.
fede | 10 de Marzo de 2009 | 16:07

Vaya, este último comentario mío también está mal.

Naka Cristo, tienes razón, hay ocho en total.
epi | 10 de Marzo de 2009 | 21:12

En fin, las 8+1 soluciones no negativas a $n^2+2009*n=m^2$ son

$n=1004^2,\; m=1005*1004$

$n=140^2,\; m=147*140$

$n=4^2,\; m=45*4$

$n=7(17)^2,\; m=7*17*24$

$n=7(143)^2,\; m=7*143*144$

$n=0,\; m=0$

$n=41(24)^2,\; m=41*24*25$

$n=49(20)^2,\; m=49*20*21$

$n=287(3)^2,\; m=287*3*4$
fede | 10 de Marzo de 2009 | 22:41

epi, hay 7+1 porque $140^2 = 49(20)^2$ .

Parece que la ecuación $n^2 +a n = m^2$ , cuando a es impar, $a=2k+1$ , tiene $\dfrac{d(a^2)+1}{2}$ soluciones, con d(x) = número de divisores de x, y la mayor solución es $n=k^2, m= k(k+1)$ .
Tobar | 10 de Marzo de 2009 | 23:30

El problema esta mal escrito.
edmon | 11 de Marzo de 2009 | 0:48

¿y por qué está mal escrito?
Vale Argentina!!! | 11 de Marzo de 2009 | 14:43

Muy buen foro!! Los felicito!! Estoy a una materia de recibirme de profesora de matemática, soy argentina y tengo 28 años!!
Recién de casualidad buscando sobre quién fue el primero en tratar las geom no euclídeas los ncontré y su artículo me fue de gran ayuda!! Si el lunes rindo bien el examen de historia t epistemologí de la matemática me recibo!! Besos a todos por allá!! Desde Argentina y desde mi corazón!!
near | 13 de Marzo de 2009 | 2:50

buena alguien podria explicarmelo como para un principiane matematico ia q n he entendido casi nada:S
o alguna recomendacion de libros buenos para ser como ustedes, mi meta es llegar a demoesttar teoremas y problemas teoricos, pero nose como empezar solo se hasta calculo integral algebra lineal,mecanica pero solo en forma practica.
alguien me lo explica :S