¿Cuál es la manera más efectiva de construir un triángulo equilátero en la práctica?

En los últimos días hemos estado hablando sobre construcciones con regla y compás como en la Grecia clásica y sobre trisección suavizando un poco las reglas de aquella época.

Uno de los desafíos de la aplicación de la que os hablé el domingo pasado era dibujar con regla y compás un triángulo equilátero, construcción que es muy fácil de hacer:

Partimos de dos puntos distintos, A y B, cuya distancia será el lado del triángulo equilátero. Trazamos una circunferencia con centro en A que pase por B y otra con centro B que pase por A. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos, C y D. Tomando uno de ellos, por ejemplo C, tenemos que el triángulo cuyos vértices son A, B y C es un triángulo equilátero:

Imaginemos ahora que tuviéramos que construirlo de verdad. ¿Sería ésta la manera más efectiva de hacerlo?

Vamos a poner un caso real: la plantación a tresbolillo. Según la RAE, la definición de este tipo de plantación es la siguiente:

Tresbolillo: Dicho de colocar plantas: En filas paralelas, de modo que las de cada fila correspondan al medio de los huecos de la fila inmediata, de suerte que formen triángulos equiláteros.

(Imagen tomada de la cuenta de Flickr de suma sumay.)

Bien, la cuestión está clara: ¿cómo construimos esos triángulos equiláteros para situar los árboles en sus vértices? Usando la construcción comentada anteriormente, tomamos una cuerda cuya longitud sea la distancia que queremos dejar entre cada dos árboles consecutivos (la longitud del lado de cada triángulo equilátero), que hará de compás, y fijamos un extremo en uno de los puntos donde queramos poner un árbol. Después estiramos la cuerda todo lo que nos deje y la movemos trazando una circunferencia. Marcamos un punto en dicha circunferencia y ya tenemos dos de los lugares donde habrá árboles:

Ahora, usando como centro este último punto, trazamos una nueva circunferencia, que evidentemente pasará por el punto inicial. Marcando en dicha circunferencia un punto que esté alineado con los dos primeros tenemos un nuevo punto donde situar un árbol:

Haciendo esto las veces que queramos obtenemos la situación de todos los árboles de una hilera:

Ahora, tomando las intersecciones de cada dos circunferencias consecutivas obtenemos los lugares donde debemos situar los árboles en las hileras paralelas a la primera:

Con estos puntos de intersección obtenidos trabajamos de la misma forma que con los primeros, consiguiendo así que todos los árboles estén colocados formando triángulos equiláteros:

¿Es ésta la manera más efectiva?. En el libro La creatividad de matemáticas, de Miquel Albertí (que es donde vi todo esto de la plantación a tresbolillo) comentan que, según Gil-Albert, el horticultor lo haría de otra forma. La explicamos:

Situamos un extremo de la cuerda en el primer punto donde queremos plantar un árbol y la desplegamos la distancia que queremos dejar entre árboles consecutivos (digamos, por ejemplo, 1 metro), fijando este punto como zona donde plantar árbol y haciendo una marca en la cuerda (para guardar la distancia de 1 metro). Ahora, desde el primer punto tiramos de la cuerda una distancia igual al doble de la distancia que queremos dejar entre árboles consecutivos (2 metros en este caso), situamos el final de esos 2 metros en el segundo punto fijado y tensamos la cuerda tirando de la marca de 1 metro que hicimos antes. Obtenemos así el tercer vértice de un triángulo equilátero de lado 1 metro.

Realizando este proceso las veces que sea necesario obtenemos todos los puntos donde debemos plantar en nuestra plantación a tresbolillo.

Entendido, ¿verdad? Y, además, parece una forma de construir nuestro “campo de triángulos equiláteros” más sencilla que la primera, ¿verdad? ¿Qué pensáis vosotros? ¿Se os ocurre alguna otra forma? Los comentarios son vuestros para expresar vuestra opinión.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. ¿Por qué el título menciona la construcción de un triángulo rectángulo y el “post” es sobre equiláteros?

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  2. Yo vi una vez como un albañil trazó dos perpendiculares usando la terna pitagórica 3,4,5 con un flexímetro de forma similar a la que describes, midiendo una distancia de 12 metros y tomando segmentos de 3, 4 y 5 metros, en donde doblaba el fleximetro. Es curioso, pero le pregunté que cómo sabía que era un ángulo recto, y me sorprendió su respuesta: “No lo puedo probar, pero ¿acaso no es cierto?”. Estamos hablando de una persona que no fue al colegio y aplica un gran teorema para resolver algo cotidiano de manera magistral. ¡Saludos!

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  3. Veamos si entendí bien el procedimiento.
    “Situamos un extremo de la cuerda en el primer punto donde queremos plantar un árbol” (digamos el punto A)
    y la desplegamos la distancia que queremos dejar entre árboles consecutivos (digamos, por ejemplo, 1 metro), fijando este punto como zona donde plantar árbol y haciendo una marca en la cuerda (para guardar la distancia de 1 metro). (digamos punto B)

    Ahora, desde el primer punto A tiramos de la cuerda una distancia igual al doble de la distancia que queremos dejar entre árboles consecutivos (2 metros en este caso)(2AB), situamos el final de esos 2 metros en el segundo punto fijado B y tensamos la cuerda tirando de la marca de 1 metro que hicimos antes. Obtenemos así el tercer vértice de un triángulo equilátero de lado 1 metro (punto C)

    En síntesis determinamos el segmento AB, marcamos B tomamos la distancia 2AB, fijamos un extremo a A y en B la cuerda doblada por B, y desde aquí tensamos para hallar C

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  4. Nekonenko, yo leí hace ya mucho tiempo en algún libro algo parecido para describir la diferencia entre ciencia y técnica.
    Tal vez un matemático podría demostrar todos los cálculos que realiza un albañil (o cualquier otro profesional), y seguramente un albañil tendrá todas las habilidades aprendidas sin saber de donde han salido, y seguro que un matemático no te hace una fila de ladrillos por mucho que se empeñe.

    También leí sobre la diferencia entre la resolución digital y analógica de problemas. en el sentido de la computación secuencial o aritmética. En el caso de plantar árboles en un campo triangular, si lo hacemos como se indica en el post, para 100 árboles tardaremos 100 minutos (por ejemplo), y para 1000 árboles tardaremos 1000 minutos.
    Podríamos usar un método diferente, tiramos sobre el suelo 1000 esferas, que encajarán por sí solas dejando huecos donde plantar los árboles. Ahora en tirar 1000 esferas no tenemos por qué tardar 10 veces lo que tardamos en tirar 100.

    Bueno, sólo es un ejemplo teórico, no quiero decir que sea lo más adecuado para reforestar el campo 🙂

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  5. me gusta esto del cuadro equilatero la verda no sabia cm era , el maestro de matematicas nos dejo a mis compañeros y a mi esta tarea de los cuadros equilateros pero la verda me gusta mucho y me llama la atencion aprender sobre todo esto de geometria

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  6. El plano Q^2, es un modelo de geometría euclidea, donde en general el punto C no se puede construir

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  7. Muchas gracias Inmaculada Ordóñez. Me alegro mucho de que el post te pueda servir, ése es uno de los objetivos que persigo con ellos :).

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