Cuándo dos conjuntos tienen el mismo número de elementos

La cuestión que se plantea en el título de este post puede parecer simple, pero en realidad no lo es. Puede serlo en ciertas ocasiones, pero en general no, ya que el tema escapa a la intuición en algunos casos.

Pero vamos a comenzar por lo más sencillo: los conjuntos finitos. Un conjunto A es finito si existe un n \in \mathbb{N} tal que cada elemento de A se puede emparejar con un elemento de S(n)=\{ 1, \ldots , n \} sin que sobren elementos de A ni de S(n). Esto se llama correspondencia biunívoca, y ya hablamos sobre ello en este artículo, donde además os conté la historia del hotel de Hilbert.

¿Cuándo dos conjuntos finitos tendrán el mismo número de elementos? Pues muy sencillo: cuando los dos puedan ponerse en correspondencia biunívoca con el mismo S(n), o, en otras palabras, cuando puedan ponerse en correspondencia biunívoca entre ellos. No nos hace falta contar cuántos elementos tiene cada conjunto, simplemente tenemos que ver si podemos emparejar cada elemento de uno de los conjuntos con un elemento del otro, sin que sobren elementos en ninguno de los dos. Por ejemplo, si entramos a un estadio de fútbol y vemos que no hay ningún asiento vacío sabemos que el número de elementos del conjunto Personas sentadas en el estadio es el mismo que el número de elementos del conjunto Asientos del estadio. Pero sabemos que en el juego de las sillas musicales los conjuntos Jugadores y Sillas no tienen el mismo número de elementos, ya que con todas las sillas ocupadas queda un jugador sin silla.

Por tanto, con conjunto finitos es muy sencillo identificar cuándo dos conjuntos tienen el mismo número de elementos y cuándo no. Es interesante recordar que al número de elementos de un conjunto se le suele llamar cardinal de dicho conjunto. Entonces dos conjuntos finitos tienen el mismo cardinal si sus elementos se pueden emparejar uno a uno sin que sobren elementos en ninguno de los dos conjuntos.

¿Qué ocurre cuando los conjuntos son infinitos? Pues que la definición anterior nos sirve también es este caso:

Dos conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal si sus elementos se pueden emparejar uno a uno sin que sobren elementos en ninguno de los dos conjuntos.

Pero aquí la cosa no es tan trivial. Con conjuntos de este tipo es cuando a veces la cosa escapa a la intuición, y para comprenderla debemos acudir a la definición estricta, la que acabamos de comentar.

Por ejemplo, en uno de los supuestos de los que se habla en el hotel de Hilbert se responde a la siguiente pregunta: ¿el conjunto de los números naturales positivos y el conjunto de los naturales pares tienen el mismo cardinal? Preguntad a quien queráis (que no conozca la verdadera respuesta) si el conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \ldots \} tiene o no el mismo número de elementos que el conjunto \{ 2, 4, 6, 8, \ldots \}. Estoy absolutamente seguro de que os dirá que no, que el primer conjunto tiene muchos más elementos que el segundo. Pero en realidad sí tienen el mismo número de elementos. Para comprobarlo solamente nos hace falta encontrar una manera de emparejar cada elemento del primer conjunto con uno del segundo sin que sobren elementos de ninguno de ellos. Y en este caso es muy sencillo hacer esto: a cada elemento k del primer conjunto lo emparejamos con el elemento 2k que está en el segundo conjunto. Es decir, el 1 va con el 2, el 2 con el 4, el 3 con el 6, y así sucesivamente. Así tenemos emparejado cada elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto, y no sobra ninguno. Esto es, estos dos conjuntos tienen el mismo cardinal, o dicho de otra manera más inquietante si cabe: hay tantos números naturales positivos como números pares.

Pero la cosa no queda ahí. Hay tantos números naturales como números enteros. Para que esto quede claro solamente hay que emparejarlos así:

\begin{matrix} 0 \rightarrow 0 \\ 1 \rightarrow 1 \\ 2 \rightarrow -1 \\ 3 \rightarrow 2 \\ 4 \rightarrow -2 \\ \ldots \end{matrix}

Y, lo que en principio es aún menos esperable, hay tantos números naturales como números racionales, como fracciones. Hay muchos emparejamientos que nos convencen de este hecho, pero uno de los más originales que he visto es el árbol de Calkin-Wilf. El hecho de que el conjunto \mathbb{Q} de los números racionales sea denso en los números reales y el conjunto \mathbb{N} no lo sea hace que la igualdad entre sus cardinales se presente como un resultado más que sorprendente.

¿Hay tantos naturales como reales? Pues la respuesta es no, y lo demostró Cantor con su método diagonal. Esto nos lleva a admitir un hecho muy poco intuitivo: hay distintos tipos de infinitos. Los conjuntos que tienen el mismo cardinal que los naturales se llaman numerables, y lo que tienen un cardinal mayor se denominan no numerables.

¿Qué ocurre si queremos comparar dos conjuntos no numerables? Pues exactamente igual, la definición sobre igualdad de cardinales y emparejamientos que comentamos antes sirve para todo tipo de conjuntos. Y eso es lo que hicimos el otro día en este post, en el que usamos la siguiente imagen:

En ella aparece una demostración sin palabras de que el conjunto de puntos que forman un segmento tiene el mismo cardinal que el conjunto de puntos que forman una recta. ¿Por qué? Muy sencillo: en la imagen se ve que cada punto del segmento corresponde con un único punto de la recta (se llega a él proyectando el punto del segmento en la circunferencia, trazando un diámetro desde esta proyección y prolongando este diámetro hasta que corte con la recta), y que no sobra ningún punto del segmento ni de la propia recta.


Los conjuntos infinitos, tanto numerables como no numerables, esconden una gran cantidad de curiosidades y propiedades sorprendentes. Aquí solamente os he dejado una pequeña muestra. Con el tiempo os iré mostrando más.

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3 comentarios

  1. josejuan | 25 de agosto de 2011 | 10:13

    Vótalo Thumb up 0

    Me ha gustado mucho la entrada, felicidades.

    Curiosamente, se me viene a la cabeza topología.

  2. Asier | 25 de agosto de 2011 | 13:48

    Vótalo Thumb up 0

    Para mostrar que hay tantos números naturales como números racionales, no sé por qué pero nunca he visto en blogs ni libros de texto lo que considero la prueba más sencilla: mediante la numeración de Gödel.

    A cada racional positivo p/q le asociamos el número natural 2^p \cdot 3^q
    Si los positivos son numerables, obviamente el conjunto de los positivos, negativos y el 0 también.

    Ya está, hay tantos naturales como racionales (lo inverso es obvio).

    De esta manera se deduce también de inmediato que \mathbb{Q}^n es numerable, basta con tomar los primeros 2n primeros primos al asociar su número de Gödel.

  3. Trackback | 7 oct, 2013

    Cosas raras provocadas por el infinito - Gaussianos | Gaussianos

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