Cuándo es un cuadrado perfecto

Comenzamos la semana hoy lunes con el problema semanal. Ahí va:

Encontrar los números naturales n para los que

n \cdot 2^{n-1} + 1

es un cuadrado perfecto.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

3 Comentarios

  1. He encontrado uno, es el único con n<1000, es n=5 ( 5*2^4+1=9*9 ).

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  2. Si n\cdot2^{n-1}+1 es un cuadrado perfecto, pongamos a^2, entonces se verificará n\cdot2^{n-1}=a^2-1=\left(a+1\right)\left(a-1\right). Esto quiere decir que debe existir una descomposición del producto n\cdot2^{n-1} en dos factores enteros x y x+2 (siendo x=a-1, por supuesto). Esta configuración sólo admite dos posibilidades: o bien x es impar, o bien uno de los dos números \left(x,x+2\right) es múltiplo de 4 (o potencia superior de 2), mientras que el otro es múltiplo de 2, pero no de 4.

    Veamos primero qué pasa si los dos números son impares. Claramente, sólo puede ser n=1. En este caso, tenemos 1\cdot1+1=2, que no es un cuadrado perfecto.

    Ahora veamos qué pasa cuando x es par. Pasados los primeros casos (n=2 y n=4, que dan lugar a 3 y 33, son más que suficientes), está claro que n no puede ser par, pues para conseguir que uno de los factores sea sólo múltiplo de 2 (pero no de 4) habrá que dejar n tal cual o dividirlo por una potencia de 2 que se multiplicará a 2^{n-1}, con lo que la diferencia entre ambos factores será evidentemente mucho mayor que 2, o bien tomar n\cdot2^{n-2} y 2 como factores, todavía más alejados. Así pues, forzosamente tendremos que tomar un n impar.

    De nuevo, tenemos dos posibilidades. La primera de ellas es que n\cdot2^{n-2} sea un factor y 2 el otro. Esto no puede dar lugar a ninguna solución, ya que entonces tendría que ser n\cdot2^{n-2} igual a 4, y esto no va a ocurrir. Por tanto, el único caso que queda disponible es aquél en el que 2n y 2^{n-2} estén separados por una diferencia exactamente igual a 2. Para n=3, estos valores son 6 y 2, que no valen. Para n=5, tenemos 10 y 8. Estos valores nos dejan la solución n\cdot2^{n-1}+1=81 que apuntaba correctamente Félix. Para n=7, ya nos vamos a 14 y 32, y para cualquier valor superior es evidente que 2^{n-2} crece muy rápido y nunca se dará la condición de ser igual a 2n\pm2.

    Por lo tanto, n=5 es la única solución.

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  3. Bueno, ahí va otra demostración. No me parece del todo elegante, pero bueno, estaré al tanto de si alguien se le ocurre alguna forma mejor de verlo.

    Sean, n,q naturales tales que n \cdot 2^{n-1}+1=q^2 . Claramente, q es un numero impar, así, utilizando que q^2 \text{ es impar} \leftrightarrow q \text{ es impar}  , escribimos q=2k+1, k \in N\cup{0} . Utilizando el binomio de Newton, entonces, q^2=4k^2+4k+1 . Así, nos queda que n2^{n-1}=4k^2+4k , sacando factor común n2^{n-1}=4k(k+1).

    Si sustituimos los valores n=1\text{ y } n=2 , vemos que no cumplen el enunciado, pues podemos suponer n>2 y, por lo tanto, escribir: n2^{n-3}=k(k+1). Esta es la igualdad con la que trabajaremos, la llamaremos \emph{igualdad 1} . Así, podemos suponer k>0, ya que claramente el término de la izquierdo nunca será nulo. Además, el término de la izquierda ha de ser igual al producto de dos números consecutivos. Vean que dos números consecutivos son primos entre sí, y uno de los dos ha de ser par. Por pasos.

    Suponemos k impar. Luego k|n \text{ y } n=kt, t \in N. Sustituyendo en la igualdad 1: kt2^{kt-3}=k(k+1) , manipulando llegamos a: t(2^k)^t=2^3(k+1). A esta igualdad, la llamaremos igualdad 2.

    Aquí he de hacer un apunte. Pensemos cada término de la igualdad como una función, donde t es un valor fijo y de variable k. La primera función, como se sabe, cuando es mayor que la segunda, crece más rápido. Así pues, si hayamos un valor de k de manera que el término de la derecha sea mayor, podemos asegurar que todo valor de k mayor que éste también cumplirá dicha desigualdad.

    Utilizando esto, si t=3, y k=1, tenemos que el término de la izquierda es mayor, y, como hemos apuntado, cualquier t>3 i k>2 también cumplirán la desigualdad. Así pues, podemos olvidar estos valores de t y k. Así, si t=3, nunca será cierta la igualdad. Suponemos ahora t=1. Entonces, observen en la igualdad 2, que el término de la izquierda es una potencia de 2. Para que el término de la derecha también sea una potencia de 2, necesariamente k=2^i-1, i\in N . Así sustituyendo en la igualdad 2 y manipulando: 2^{2^i-1}=2^3\cdot 2^i , de aquí que: 2^i=4+i . El mínimo valor que cumple que el término de la derecha es una potencia de 2, es i=4, y vemos que para este valor no cumple la igualdad, y además, el término de la izquierda es mayor, entonces, para cualquier i>4 no se cumple la igualdad.

    Ahora, si t=2, manipulando y sustituyendo, llegamos a lo mismo, que k=2^i-1, i\in N. I esto (haciendo los mismos cambios que antes) nos lleva a 2^{i+1}=4+i . Con un argumento igual al de antes, el mínimo valor que podría cumplir la igualdad es i=4, haciendo que el término de la derecha sea una potencia de 2, y este valor no lo cumple. Pues ningún valor de i cumple la igualdad.

    En definitiva, si k es impar, no hay valor que cumpla la igualdad. Ahora, veamos más simplemente qué pasa si k es impar.

    Entonces k+1|n \text{y} n=t(k+1). Así, t2^{(k+1)t}=2^3k. Nos podemos ahorrar algunos pasos, ya que, como hemos hecho más grande el término de la izquierda y más pequeño el término de la derecha, pues si un valor no cumplía la igualdad porque el término de la izquierda era más grande en el caso k impar, en este caso con más necesidad se dará. Entonces, esto nos lleva solo a los casos t=1, t=2. En cualquiera de estos dos casos, como antes, k=2^{i}.

    Para el caso t=1. Llegamos a la igualdad, 2^{i}=2+i. El valor mínimo que cumple esto es i=2. Y vemos que la igualdad es estricta. Pues nos apuntamos este valor i=2. Para cualquier otro valor mayor, como hemos argumentado por crecimiento de funciones, no se cumplirá. Ahora, si t=2, hacemos el término de la derecha más grande, pues entonces para i=2 ya no se cumplirá, así podemos comprobar simplemente si para i=1 se dará. Vemos que no.

    Así para todos los casos, solo hemos encontrado uno que cumpla la igualdad que es: n=(k+1)t, t=1, i=2, \text{con } k=2^{i}, \text{asi } k=4 . Así el único valor que cumple la igualdad y, pues, que n2^{n-1} sea un cuadrado perfecto es n=5.

    Como ya he dicho, no me parece muy elegante, pero matemáticamente, es una demostración más.

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