Cuándo y cómo usar Integración por Partes: la regla de los ALPES (y otras ayudas mnemotécnicas)

Integrar no es fácil, sobre todo en los comienzos, cuando uno se encuentra con la famosa S estirada, \displaystyle{\int}, por primera vez. Creo que en esto estamos de acuerdo.

En lo que pienso que también estaremos de acuerdo es en que, sobre todo en esos momentos, la integración es un arte. La manera en la que los virtuosos de la integral vislumbran la fórmula a utilizar o el método de integración adecuado deja tan sorprendido al resto que no es exagerado, como decía, calificar a estos expertos integradores como auténticos artistas del mundo de Riemann.

Lo primero que uno se encuentra cuando comienza con las integrales son, generalmente, las integrales inmediatas, esto es, las que pueden resolverse simplemente utilizando las típicas fórmulas que se encuentran en las tablas habituales (y las propiedades de linealidad de la integral). Aunque en ocasiones uno puede encontrarse integrales inmediatas realmente complicadas de identificar, por norma general éstas se pasan fácilmente.

Seguidamente a uno se le presenta el método de integración por partes, y lo primero que ve es la siguiente fórmula:

\displaystyle{\int u \cdot dv =u \cdot v - \int v \cdot du}

Después del susto inicial, nos explican que la integral que aparece en la parte izquierda es la nuestra, la que queremos resolver, y la parte derecha es la expresión resultante de la aplicación del método. Aparte del típico

“¿De dónde se ha sacado esto este tío?” (aunque es fácil: derivada de un producto, integrar a ambos lados de la igualdad y colocar de manera conveniente)

uno de los primeros pensamientos que nos vienen a la mente es (en el mejor de los casos)

“Vale, otra fórmula que me tengo que empollar”

Y cuando nos dicen que además debemos elegir una parte de la función a integrar y llamarla u y llamar al resto dv, la situación se torna en un caso claramente hecho a medida pde la pitonisa Lola y sus velas negras, Paco Porras y su nabo (ups, perdón) o Sandro Rey y su…mejor me callo:

Vale, y encima tengo que adivinar de qué manera llamar a cada parte

Pues no amigos, no está todo perdido. La mnemotecnia (y los profesores más o menos buenos) va a rescatarnos del pozo en el que nos hayamos metidos, va a eliminar de un plumazo (bueno, de dos) esa desazón que recorre nuestro cuerpo, va a llevarnos por el buen camino de este noble arte de la integración por partes.

Primera cuestión: ¿cómo me aprendo la fórmula?

Como hemos comentado, la primera cuestión que se nos viene a la cabeza es que debemos aprendernos esa fórmula de memoria. Pero, como hemos comentado, la mnemotecnia es nuestra amiga, y en este caso nos va a ayudar, y mucho.

Son muchísimas las frasecillas que existen para recordar la fórmula base del método de integración por partes, en las que la idea es quedarse con la primera letra de cada palabra para así reconstruir dicha fórmula. En algunas se incluyen palabras comenzando por S para simbolizar dónde hay integrales, en otras no se hace y en otras solamente se incluye la segunda integral. Os dejo aquí unas cuantas sacadas de la Wikipedia en español, los comentarios en “I will derive” en Menéame, una de Twitter y mi experiencia personal:

  • Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme
  • Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
  • Sentado Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
  • Susana Un Día Vio Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
  • Unamuno Dice Verdades: Una Verdad menos integra Verdaderas Dudas Universales
  • Solo Un Día Vi Una Vaca menos flaca Vestida De Uniforme
  • Un Día Vi Una Vaca sin corbata Vestida De Uniforme

Y las que para mí son las más…especiales:

  • La integral de Un Día Vi es igual a Una Vaca menos la integral de Vestida De Uniforme (de Juanfran, exalumno mío)
  • Un Día Vi Un Viajero Sobre su Volkswagen De Uranio (de raulf)

Como podéis ver hay para todos los gustos. Primer nivel: SUPERADO.

Segunda cuestión: ¿cómo aplico el método?

Superada la primera parte, queda la que todos (ay, bendita ignorancia) pensamos que es la más difícil: ¿qué uso para determinar cómo asignar u y dv de forma correcta? ¿La bola de cristal? ¿O será más conveniente preguntar a los posos de café? ¿Me dirá el ahorcado del Tarot cuál es la mejor asignación?

No, nada de eso. Dejemos estos métodos de engañación a un lado y descubramos, por fin, la regla de oro, la panacea del sujeto integrador, el método esperado, llegado del mundo de la mnemotecnia. Señoras y señores, con ustedes la regla ALPES.

¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las letras de esta alpina palabra:

  • A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)
  • L: Logaritmos
  • P: Potencias (de exponente numérico)
  • E: Exponenciales
  • S: Seno y coseno

Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:

  1. Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.
  2. En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos u a esa función arco y dv al resto (dx en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos u al logaritmo y dv al resto (también dx); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos u a la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y dv al resto (que ahora será la otra función por dx).

Por ejemplo, la integral

\displaystyle{\int x \log{(x)} \; dx}

es un producto de x, que pertenece a P, y \log{(x)}, que entra en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación será:

u=\log{(x)} \qquad dv=x \cdot dx

A partir de ellos calcularemos du (derivando lo que hemos llamado u) y v (integrando lo que hemos llamado dv), y aplicaremos la fórmula base del método (sí, la de la vaca, el soldadito o el uranio). Se entiende que la integral que nos quedará por resolver será sencilla. Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de nuevo integración por partes.

Herbert KasubeEn inglés, este método se denomina LIATE

  • Logarithmic functions
  • Inverse trigonometric functions
  • Algebraic functions
  • Trigonometric functions
  • Exponential functions)

y al parecer fue propuesto por Herbert Kasube, profesor de la Universidad de Bradley que podéis ver a la derecha de estas líneas con una sonrisa más bien forzada aderezada con un buen mostacho (imagen tomada de su perfil en la web de la Universidad de Bradley), en “A Technique for Integration by Parts” (American Mathematical Monthly, March 1983, page 210) que, hablando de todo un poco, no he conseguido encontrar. Aunque, para que coincidiera plenamente con nuestro montañoso método debería ser ILATE. No hay problema, las dos sirven. Por cierto, el orden de las dos últimas, SE ó ES en español y TE ó ET en inglés, es indiferente. Se toma ES en español y TE en inglés porque la palabrita queda mejor.

Después de todo esto a uno se le abren los ojos, se hace la luz y ve con claridad el camino a seguir. Por fin encontramos una regla infalible para resolver todas las int¡¡UN MOMENTO!! ¿Quién ha dicho que la regla sea infalible? No, amigos, por desgracia la regla no es infalible. Hay casos en los que no sirve de nada, ya que la función a integrar no tiene primitiva elemental (recordad este post), y en otro casos hay que tener cuidado, mucho cuidado, al aplicar el método. Por ejemplo, si para resolver la integral

\displaystyle{\int x^3 \cdot e^{x^2} \; dx}

tomamos u=x^3 y dv=e^{x^2}, llegaremos a que no podemos calcular v, ya que esa función no tiene primitiva elemental. Sin embargo, tomando

u=x^2 y dv=x \cdot e^{x^2}

sí podremos terminar nuestra integral. Como se puede ver es un pequeño apaño para conseguir que dv tenga primitiva elemental.

Pero aunque no tenemos fiabilidad total, es evidente que ALPES funciona de maravilla en la gran mayoría de los casos, y que nos evitará tener que estar meditando cuál de las funciones es más adecuada para colgarle el cartel de u. Nunca lo olvidéis, los ALPES son vuestros amigos. Nivel dos: SUPERADO.

YOU WIN!!


Si todavía no has visto el vídeo I Integrate by Parts…¿a qué estás esperando?


He preferido no meterme demasiado en los casos en los que hay que aplicar integración por partes varias veces (ya sean cíclicos o no cíclicos), aunque no descarto hacerlo más adelante.


Nueva aportación a la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

44 Comentarios

  1. Un compañero de carrera gaditano usaba otra fórmula para acordarse, aunque solo era para la parte derecha de la igualdad:

    Un Viejo Vino De Ubrique

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  2. Saludos, creo que hay un pequeño error de dedo en :

    u = log(x) \  \ dx = x * dx.

    debería ser:

    u = log(x) \  \ dv = x * dx.

    Saludos.

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  3. Profesor, excelente el post.

    Cuando tomé mi curso de cálculo de integrales, se me hacía un poco bárbaro la integración por partes.
    Sin embargo, quisiera añadir un aporte al post es que, siempre he visto en internet la palabra “LIATE”, en efecto… para la mayoría de las integrales por partes funciona. Aún así, a mi me enseñaron: “LIATHE”, en este caso adicionando el caso de funciones hiperbólicas. Es un dato extra que no se debe negar al mundo.

    También existe una técnica para integrales de este tipo que precisamente nos evita realizar el proceso tedioso, especialmente cuando las integrales son cíclicas, lamentablemente no me acuerdo del nombre pero voy a ver si hago un post en clase911 sobre este método.

    Recuerdo también que en ese curso, es muy útil una técnica que utilice para verificar la solución de las integrales con una calculadora CASIO FX-570ES.

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  4. Por Dios, un mnemotécnico para aprenderse a fórmula de la integración por partes ¡cuando se reconoce que es poco más que la integral de la derivada del producto! Quien necesita esa ayuda debería pensar que lo de las derivadas no lo tiene suficientemente bien aprendido.

    Aunque me da que mi propio caso es especial porque cuando me hablaron de las integrales se me abrió un mundo, algo de lo más ilusionante, por dos razones. La más inmediata porque me estaban explicando la operación inversa de la derivación (con los matices que ya en ese momento era claro que tenía el asunto, pero inversa al fin y al cabo y, además, casi todas las operaciones inversas tienen matices). La más remota se refiere al recuerdo de algo que me dijo el maestro que me me “metió” para siempre las formulitas de las áreas de algunos polígonos. El maestro me comentó, creo que a partir de una pregunta mía sobre una posible generalización, que había un método para calcular el área de cualquier superficie, cosa que me resultó alucinante. Al llegar a las integrales reconocí el método anunciado tantos años atrás al instante, por fin llegaba a ese hecho tan extraordinario

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  5. “Como dijo Rienmann, vayamos por parte”. Eso lo dije en la clase de Cálculo I, parafraseando aquello de “Como dijo Jack…” y me hizo fama de gracioso entre mis compañeros de licenciatura. Este post es un gran aporte que quizá llegó tarde, pero quedará en la memoria para siempre.

    Saludos!.

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  6. Magnífica entrada 🙂 !

    Vamos maestrillo es verdad que cuando se lleva tiempo haciendo el truco de integración por partes es evidente que la fórmula procede de la regla del producto para las derivadas pero en primera instancia pocos lo notan. Y es bonito que ^DiAmOnD^ hable de ello cuando yo estudiaba la preparatoria no me lo dijeron aunque en algún momento de ella misma lo llegué a notar me hubiera gustado que me lo hubieran dicho en sus momento.

    También es muy emocionante lo que comentas, es mistico el arte de integrar, yo siempre he creído que es un concepto más profundo y más rico que el de diferenciación por ejemplo una función que es continua en un intervalo pero no es diferenciable en un conjunto finito de puntos sigue admitiendo una integral (¿?) eso siempre me provoca una sonrisa de misterio a pesar de que la razón es clara incluso para las discontinuidades, y en el acto de ejecutar los algoritmos se hace para una variedad tan amplia de funciones que uno nunca nota que integrar es casi un milagro el diferenciar es un proceso algorítmico completamente he integrar requiere artificios y ello no te garantiza un resultado (el post de gaussianos sobre las funciones sin primitiva elemental es extraordinario).

    Por todo ello que buen comentario haces maestrillo 🙂 integrar no es algo trivial, es maravilloso, algo de lo que no te hablan en la escuela al integrar x^2 por primera vez nadie dice nada siendo que es algo que con geometría elemental los griegos no sabían (creo que Arquímedes sí lo sabía)

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  7. A mí una vez me lo enseñaron así y se hace muy rápido, sobre todo cuando hay que hacer partes unas cuantas veces y luego despejar.

    “Lo que sé integrar lo integro, por lo otro sin integrar, menos la integral de lo integrado por la derivada de lo otro”.

    Probadlo que después de la primera vez va a toda pastilla.

    Saludos

    Javier

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  8. Para el que no sepa de lo que se ha comentado sobre la fórmula de integración por partes como consecuencia de la regla de derivación para productos simplemente observemos que

    uv=\int \frac{d}{dx}(uv) = \int u \frac{dv}{dx} + \int v \frac{dv}{dx}.  \quad \Rightarrow \quad \int u \frac{dv}{dx}= uv - \int v \frac{dv}{dx}.

    Escrito con un poco de cuidado es esencialmente la demostración de la fórmula.

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  9. De hecho, dado que la fórmula de integración por partes es esencialmente la regla del producto escrita de otra forma, se puede usar la regla del producto (junto con la linealidad de la derivada) para integrar por partes… derivando:

    Supongamos que queremos integrar

      \int x e^x dx

    Buscamos una función cuya derivada sea casi el integrando, por ejemplo:

     \frac{d}{dx} (x e^x) = x e^x + e^x

    Despejamos el integrando:

     x e^x = \frac{d}{dx} (x e^x) - e^x

    Si integramos ésta expresión, llegamos al mismo resultado que usando la integración por partes. Pero ya puestos, podemos seguir encontrando derivadas a ojo:

     x e^x = \frac{d}{dx} (x e^x) - \frac{d}{dx} e^x

    Y de la linealidad de la derivada:

     x e^x = \frac{d}{dx} (x e^x-e^x)

    Por lo tanto:

     \int x e^x dx =  x e^x-e^x

    Puede parecer un tour de force, pero uno se acostumbra bien rápido.

    P.D: no he incluído la constante aditiva arbitaria por no liar más las cosas, pero también sale de forma natural notando que se puede meter dentro de una derivada como si nada, pues su derivada es nula.

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  10. MOHAMED, gracias por avisar del error, lo corrijo ahora mismo.

    Sobre el tema de la derivada del producto, en el propio post lo comento yo, pero no me extiendo en ello.

    Ah, y al menos a mí la experiencia me dice que la gente no cae en que esto está relacionado con la derivada de un producto. Repito, según mi propia experiencia.

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  11. Yo usaba ILPET, que es muy parecida a ALPES.
    I: Inversas de trigonometricas
    L: Logaritmos
    P: Potencias
    E: Exponenciales
    T: Trigonometricas

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  12. Siempre a gusto oyendo hablar de integrales. Gracias.
    En mi experiencia la fórmula se aprende fácil y enseguida mola, cuento lo de la vaca como anécdota, pero no suele ser necesario.
    Y para el uso, uso este LIATE:
    Probar por partes cuando:
    1) Son funciones “raras” solas (arc, log)
    2) Se mezclan funciones de distinto tipo (polin por trigon o log o arc, sen por log…)
    Y funciona.
    Un saludo

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  13. Otro dato con el que quisiera aportar, quisá menos preciso pero también válido:
    Se integran por partes las integrales de la forma

    \int x^{n}e^{ax}dx

    \int x^{n}\ln (x)dx

    \int x^{n}trig(x)dx

    \int arcofuncion(x)dx donde  u=arcofuncion(x) ; dv=dx

    además del dato:

    u : fácil de derivar
    dv : fácil de integrar

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  14. Yo lo se¡

    Es que me dejaron este ejercicio como punto de parcial, y el profesor la hace y llega a la contradiccion que 0=-1
    Necesito saber cual es el error

    $tanx —> $senx/cosx

    u=1/cosx —> du= senx/cos^2x dx

    dv=senxdx—> v=-cosx

    El profe nos indico que el error estaba en u=1/cosx, pero no entiendo porque..

    Y nos dice que debemos leer el porque no se puede usar esté para realizar la integracion.

    Necesito ayuda¡¡

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  15. Ja, ja la trampa que han tendido a Andrés es un buen truco. Los pasos dados para hacer la integral por partes son correctos y, desde luego, 0 no es igual a -1 ¿Que ocurre?
    Pues que cualquier integral es igual a sí misma más una constante:
    Si llegas a que $f(x)dx = $f(x)dx + 8 no quiere decir que 0 = 8

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  16. Si, ya lo he visto muchas veces, pero el error no sigue estando alli
    Por eso quiero saber otra solucion a este error

    Partiendo de las definiciones y cuando debemos utilizar los metodos

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  17. Hola
    leí tu comentario
    ¿cómo se puede resolver las integrales en una calculadora casio si no es indefinida?
    yo teng una casio 570ES y una fx95MS
    te lo agradecería muchísimo
    muchas gracias de antemano

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  18. tutorial excelente, pero mejor si lo escrito en idioma distinto al castellano,
    si nos técnico, aclararlo entre paréntesis o entre corchetes. Opinión personal,
    gracias y BENDICIONES!!!!!

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  19. Hola, cual es ese post que mencionas, donde indagas sobre el proceso de la integración por partes ciclicas.

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  20. Yo uso para acordarme: Un Dia Vi Una Vieja Vestida De Uniforme

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  21. Buenísimo. Cando veo posts como éste pienso que ójala hubiera tenido estos recursos en internet cuando era estudiante…

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  22. Acimutal, muchas gracias. Precisamente por eso escribo a veces posts así, para ayudar a que la gente tenga recursos que yo no tuve cuando estudiaba.

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  23. muy bueno . me eh delantado en miclasea ver este tipo de proceso ypues me han ayudado mucho,gracias

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  24. Jajaja, me mato, la regla memotecnica, Un dia vi un viajero sobre su Volkswagen De uranio

    es genial jajaaaaaaaaa.

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  25. De verdad que se agradece tener recursos así, porque una vez le coges el tranquillo es una cuestión automática, pero al principio suele ser todo una aventura decidir.
    Dejo una más por si le sirve a alguien;
    Últimamente Veo MENOS Soldados Vestidos De Uniforme

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  26. por favor me pueden ayudar a resolver las siguientes integrales:
    1)
    [x3/4+x/3+5/2
    —————–==>division de polinomio
    x+2
    2)[21/9×2+12x-5—>itegracion racional
    3)[x9/(1+x5)3—–>cambio de variable
    4)[1-t^3/1+t^3—->cambio de variable
    5)[lnx2(x/5+1)2—->por partes

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    • Sentado un día vi una vaca menos sexy vestida de uniforme (ITAM-Mx) suena medio pervert pero esta jocosa la mnemotecnia. Saludos desde México.

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  27. ojala tu hubieras sido mi profesor de calculo integral muchas gracias por tu aporte gracias a los q no saben enseñar llegue a odiar las integrales

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  28. Yo tengo una duda, y es que apenas estoy empezando en el mundo de las integrales. Me gustaría saber, ¿Por qué es importante tener una regla de tipo ILATE para decidir u y dv? ¿No podemos elegir como se nos antoje y ya está?

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    • Eduardo, no, no puedes elegir como quieras, ya que, en algunos casos, si haces la elección al contrario de lo que dice la regla ALPES no se puede acabar de calcular la integral. Por ello, la regla ALPES es bastante valiosa.

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  29. Muchas gracias por el excelente post, realmente me ha sido de gran ayuda!

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