Cuántas cosas en tan poco espacio

Libros

Todos estos están entre 0 y 1

Estoy seguro de que desde donde estáis ahora mismo podéis ver un libro, ya sea encima de una mesa, en una estantería, en las manos de alguien o calzando un mueble (espero que esta última opción no sea la más extendida). Bien, ¿y cómo os quedáis si os digo que podemos encontrar una codificación numérica de ese libro entre el número 0 y el número 1? Sí, sí, de ese libro que tenéis en la mano o que habéis localizado con la vista hace un momento.

Lector: Pero bueno, cada uno de los lectores de este artículo ha tomado o visto un libro y, aunque es posible que para algunos lectores el libro coincida, lo normal es que haya muchos distintos. Y no creo que estén todos entre el 0 y el 1.

Pues sí, todos están entre el 0 y el 1. ¿No me crees? Lo vas a ver ahora mismo.

Echemos un ojo a ese libro. Podemos ver que en sus página aparecen letras (para formar palabras), números, signos de puntuación y espacios. Por simplicidad vamos a obviar las letras con tilde y los números y nos vamos a quedar con dos signos de puntuación, el punto y la coma. Tenemos entonces dos signos de puntuación, las 27 letras de nuestro abecedario y los espacios.

Asignemos ahora un número de dos cifras a cada uno de estos símbolos, comenzando con 01 para la A:

  • A → 01
  • B → 02
  • Ñ → 15
  • Z → 27
  • Espacio → 28
  • Punto → 29
  • Coma → 30

Con esta asignación podemos convertir cualquier palabra o frase de nuestro libro en una secuencia de números. Por ejemplo, la palabra GAUSSIANOS se convertiría en el número

07012220200901141620

que más o menos estaría donde puede verse en la siguiente imagen:

Gaussianos entre 0 y 1

Cualquier otra palabra o sucesión de palabras tendrá asignado un número que habremos encontrado colocando consecutivamente el número correspondiente a cada símbolo, ya sea una letra, un espacio o un signo de puntuación. Es decir, nuestro libro tiene asociado un número (larguísimo, sí, pero perfectamente válido) que podemos encontrar con esta asociación.

La clave de nuestra búsqueda es la siguiente: tomamos este número y le colocamos delante un cero y una coma, es decir, convertimos nuestro número en los decimales de un número cuya parte entera es cero. En el caso de GAUSSIANOS tendríamos lo siguiente:

0,07012220200901141622

Bien, ¿a que el número obtenido está entre 0 y 1?

Lector: Vaya, pues sí.

¿A que todo número que encontráramos con esta forma de trabajar también está entre 0 y 1?

Lector: Pues sí, claro.

Y por tanto, ¿a que el número que obtendrías tú de tu libro está entre 0 y 1?

Lector: Pues…parece increíble, pero sí.

El de tu libro, y el del libro de cualquier otro lector (da igual el número de páginas), y el del texto del discurso que pronunció el Rey el pasado 24 de diciembre, y el de la transcripción completa del pasado Debate sobre el Estado de la Nación…

…Y lo que es aún más sorprendente. También está la codificación del discurso del Rey del próximo 24 de diciembre o de la transcripción de la próxima reunión que tenga Zapatero con cualquiera de sus ministros. Y la del próximo artículo que escribirá José Vicente Hernáez en su blog Rozando el Poste o Paco Basterra en Aguja de Marear…Y, como más de uno estaréis pensando, también la de este mismo artículo está ahí, en ese pequeño hueco que hay entre 0 y 1.

Y la del folleto de publicidad que encontraréis mañana en vuestro buzón, y la del próximo best-seller de Dan Brown o Carlos Ruiz Zafón (si es que escriben algún libro más), y, en general, la de cualquier libro que todavía no se ha escrito, y las de las posibles próximas reformas del Código Civil, y la de vuestro próximo contrato de trabajo, y la de la próxima cita que publique Gaussianos, y hasta la del post de Amazings celebrando su 50 aniversario…y la de cualquier documento escrito que se os ocurra.

¿Por qué ocurre esto? Pues, en líneas generales, por lo mismo que pasaba con el Hotel de Hilbert, la cuerda y el gusano o las infinitas monedas: rarezas del infinito.


El genio de la divulgación matemática Adrián Paenza (que por desgracia puso un punto y aparte en su blog el 31 de diciembre del pasado año 2009) ha sido quien me ha dado la idea de este artículo a partir de este vídeo suyo:


Lector: Vaya, te has explicado de maravilla, me ha quedado todo muy claro. No pensaba yo que había tantas cosas entre el 0 y el 1. Con lo pequeño que es ese hueco, como se nos ocurra quitar todos esos libros y documentos lo vamos a dejar vacío.

¿Vacío? ¿Estás seguro? Piénsalo otra vez…


Este artículo ha sido mi primera colaboración en Amazings y podéis verlo aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

23 Comentarios

  1. Yo diría mas, entre cualesquiera 0<a<b<1 y fijada cualquier número finito de secuencias finitas de objetos (ej. libros, canciones, partituras, programas de ordenador en código fuente, en binario para arquitectura x86, para MIPS, patrones de tapíces, etc…) "codificables finitamente" y además realizadas sobre ellos cualquier número finitos de operaciones (con resultado finito, ej. concatenación, intercalación, intersección, máximo, mínimo, "pasar a mayúsculas", "traducir a chino", trasponer, …), entonces, existe un número c entre a y b que contiene dicho resultado codificado.

    Demostración: codifíquese con dígitos 0 a 9 todo el cisco montado, antepóngase un 0,1 a dicha secuencia, listo (nota: el 0,1 indica inicio de secuencia).

    El Santo Grial de los compresores sería poder encontrar una expresión sencilla para generar dicho número.

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  2. No se queda vacío. Se quitará un subconjunto (presumiblemente propio) de los números racionales. Se quita cuando mucho un conjunto numerable y por lo tanto de medida cero. Se quedaría la recta tan recta que a simple vista no notaríamos que se le han quitado todos los libros.

    Muy interesante artículo.

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  3. ^DiAmOnD^,

    Excelente el blog! Lo vengo siguiendo desde aproximadamente un mes y tenés cosas muy interesantes!

    Tenés una forma particular de narrar la matemática muy parecida a Adrián Paenza.

    Saludos!

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  4. Eso iba a comentar yo ahora… Entre el 0 y el 0,3030303030… para ser más exactos XD

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  5. Justo leía y pensaba “y, encima, tiene medida cero”, y he visto que ya lo has comentado al final.

    Si sacáramos todos los escritos habidos y por haber, estariamos sacando un conjunto numerable, asumiendo que pueden haber libros de cualquier longitud. Si limitas a varios miles de páginas, pues será un conjunto finito.

    Recuerdo haber oído esta construcción hace años, retando a escribir el Quijote en un solo trazo. Aunque, por supuesto, por este proceso escribiríamos el Quijote y cualquier libro o cosa que empieze por “en un lugar” (de hecho, probablemente cualquiera que empiece por “en un”).

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  6. Para meterlos hay que pensar la codificación. Se usaron sólo un número finito de neuronas. Durante un tiempo finito. La cabeza debe tener algunos huecos del 0 al 1 para que le quepan tantas cosas.

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  7. tengo UN PROBLEMA a ver si em ayudan
    en el interior de un romboide ABCD se ubica el punto F tal que
    AF=4;BF=2, CF=6 ,DF=4,,calular AC^2-BD^2

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  8. Disculpen mi ignorancia, pero si colocas el 0 y la coma ante el número necesariamente estara entre el 0 y el 1 ( Aunque es 0.30303.. )

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  9. Y si escribiésemos el número “El Quijote” (permítanme llamarlo así) en un libro, seguro llenaría dos tomos…

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  10. Ahí esta Borges, con la biblioteca de Babel, o el libro de Arena, o el Aleph… “explicando” el infinito de forma “única”

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  11. Ajá, paradojas que hacen pensar de Martin Gardner. Ahí aparece el ejemplo de la codificación de la Enciclopedia Británica entre 0 y 1 con el mismo método que has expuesto.

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  12. ¡Hola! Teneis un blog verdaremente fascinante. Las mates nunca fueron mi fuerte, las encuentro complicadas, aunque muy interesantes, y entiendo como fascinan a quienes se les dan mejor. Gran labor la vuestra, explicando de forma mas sencilla cosas tan complejas, al menos para mi. En fin, solo saludar y deciros que he puesto un enlace en mi blog de una entrada antigua vuestra sobre el ajedrez y las mates. Hay muchos problemas matematicos relacionados con el ajedrez, ¿verdad? Es muy interesante. Pues eso, aqui queda mi saludo y mi invitacion a que os paseis por mi blog ( mas de letras, eso si ) cuando querais. ¡¡Un saludo!!

    “El unico problema que tengo con las ciencias, es el lenguaje en que estan expresadas” Albert Einstein… ¡Que gran verdad y que gran genio!

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  13. Lástima que la entropía de Shannon no nos dejará utilizarlo para comprimir.

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  14. una pregunta para entendidos: estoy leyendo (y en parte estudiando) el libro Topologia General de Kelley, con la intencion de que me sirva (al menos, en parte) para comprender mejor un libro sobre Medida e Integral de Lebesgue. Piensan que es un buen camino? Saludos.

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  15. Pues no me cierra tu codificación, pareciera funcionar sólo para las primeras 10 letras de nuestro alfabeto, dado que por ejemplo: zoológico empezaría con 27xxxxxx (por usar una letra de las que explicitas). Claro que si anteponemos ad hoc “0,” al número resultante sí funcionaría tu código (pero se perdería el chiste de lo que queríamos mostrar). De todas maneras, no disiento en la tesis general (que todo texto, por extenso que sea, es codificable en un número entre cero y uno) sino en el método de codificación elegido. Eso, o es que no entendí nada 🙂

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  16. Por se antepone ad hoc el “0,” quiero decir, mejor, que se apela al sistema de posiciones (en cuyo caso daría igual si codificaramos a “a” como 001) para las letras que van de la K en adelante. El problema que veo radica en que si aceptamos que Z es 27 (cm) y 0,27 (m) pero no explicitamos en el código este corrimiento de cm a m, y por qué es válido sólo para un conjunto restringido de letras, deberías aceptarme que B bien vale 0,2 2 o 20.

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  17. No Ana, no se trata de medidas… Z=27 no significa 27cm, sino que a la Z le corresponde el par de números 27. Puedes pensarlo de ésta manera: dado el conjunto A=\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}, y su producto cartesiano A \times A, a cada letra del alfabeto, al espacio entre palabras, al punto y a la coma se les pone en correspondencia con uno de sus elementos. Hecho ésto, sólo se da una ley de formación que asegure que podamos formar con eso un número comprendido entre cero y uno… que mínimamente debe comenzar por “0,”, aunque podría haber comenzado por “0,0” o cosas por el estilo.

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  18. Eso se debe a que el conjunto “de todos los libros escritos hasta ahora y los que se escribirán en un futuro” son un ente contable y las letras con las que se escribieron también, por eso puedes hacer una correspondencia entre el conjunto de todos los libros y el intervalo de números reales (0 , 1).

    Lo que es más, siempre eh?, mirad lo que digo, siempre, por muchos libros que se escriban como son numerables (contables, discretos) siempre te quedaran puntos del intervalo (0 , 1) sin asignar aunque la cantidad de libros tienda a infinito. De hecho, la cantidad de puntos sin asignar es infinita, y no sólo eso, infinita no numerable, es decir su cardinalidad es equivalente a \aleph_1 .

    http://es.wikipedia.org/wiki/Número_transfinito

    http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

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  19. Muy bueno el articulo … de paso agrego algo, puede ser que la codificacion de la palabra GAUSSIANOS termina en 20 y no en 22 ? XD

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