¿Cuántas razones trigonométricas “existen”?

Cualquiera que haya llegado al instituto y tenga algo de memoria de aquella época recuerda que una parte del temario de algunos cursos trataba sobre Trigonometría, cuyo significado es medición de triángulos y cuyo objetivo es estudiar las relaciones entre los lados de un triángulo y los ángulos formados por dichos lados, que son lo que se denominan razones trigonométricas.

Las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo eran esas relaciones entre los lados de dicho triángulo rectángulo que tenían nombres tan curiosos como seno, coseno, tangente… ¿Recordáis más? ¿Sabríais representarlas? Echad un ojo, quizás descubráis cosas que no conocíais.

Comencemos con las más conocidas. Dado un triángulo rectángulo como el de la figura

se define el seno del ángulo \theta como el cateto opuesto a \theta dividido entre la hipotenusa del triángulo. Es decir:

sen(\theta)=\cfrac{b}{c}

En este contexto, se define el coseno del ángulo \theta como el cateto contiguo a \theta dividido entre la hipotenusa del triángulo:

cos(\theta)=\cfrac{a}{c}

Y la tangente de \theta se define como el cociente entre el cateto opuesto a \theta dividido entre el cateto contiguo. O, lo que es lo mismo, el cociente entre el seno y el coseno de dicho ángulo:

tg(\theta)=\cfrac{b}{a}=\cfrac{sen(\theta)}{cos(\theta)}

Bien, ya tenemos tres. Habitualmente todo esto se representa en una circunferencia de radio 1. Al ser este radio la hipotenusa del triángulo en cuestión, las expresiones de seno y coseno se simplifican, quedando de la siguiente forma:

¿Y la tangente cómo se representa? Pues así:

Trazamos la tangente a la circunferencia en el punto B. Cortará al eje X en un punto, que llamamos E. Entonces, la tangente de \theta es la longitud del segmento BE.

Quedaría tal que así:

Éstas son las más conocidas, las que seguro que muchos recordáis. Pero había más, ¿verdad? Además con nombres muy parecidos a éstas. Sí, son sus recíprocas y son las siguientes:

  • Secante: sec(\theta)=\cfrac{1}{cos(\theta)}
  • Cosecante: cosec(\theta)=\cfrac{1}{sen(\theta)}
  • Cotangente: cotg(\theta)=\cfrac{1}{tg(\theta)}=\cfrac{cos(\theta)}{sen(\theta)}

Evidentemente, éstas también tienen su representación. Podemos verlas en la siguiente imagen junto con las tres anteriores:

Y ya no había más razones trigonométricas, ¿verdad? Al menos en el temario no aparecían más, pero eso de “haber” es muy relativo. ¿”Existen” más razones trigonométricas? Sí, “existen” más. Históricamente se han tenido en cuenta otras razones trigonométricas que por ciertas razones fueron importantes en su momento. Vamos a verlas:

  • Verseno: versen(\theta)=1-cos(\theta)

    Fue una de las razones trigonométricas más importantes (aparecía en algunas de las primeras tablas trigonométricas), pero fue perdiendo “nombre” poco a poco y ahora prácticamente no se usa. Existen varias razones trigonométricas relacionadas con el verseno que se enumeran a continuación.

  • Vercoseno: vercos(\theta)=1+cos(\theta)
  • Coverseno: coversen(\theta)=1-sen(\theta)
  • Covercoseno: covercos(\theta)=1+sen(\theta)
  • Semiverseno: semiversen(\theta)=\cfrac{versen(\theta)}{2}

    El semiverseno (haversin en inglés) era muy conocido y muy utilizado en navegación por formar parte de la fórmula del semiverseno para el cálculo de la distancia entre dos puntos de una esfera dada las longitudes y las latitudes de los mismos.

  • Semivercoseno: semivercos(\theta)=\cfrac{vercos(\theta)}{2}
  • Semicoverseno: semicoversen(\theta)=\cfrac{coversen(\theta)}{2}
  • Semicovercoseno: semicovercos(\theta)=\cfrac{covercos(\theta)}{2}

Casi nada, ¿verdad? Seguro que para la gran mayoría de vosotros estas razones trigonométricas son totalmente nuevas, al igual que ocurrirá con las dos últimas que os voy a presentar:

  • Exsecante: exsec(\theta)=sec(\theta)-1

    La exsecante, aunque ya prácticamente no se usa, fue muy importante en agrimensura, astronomía y trigonometría esférica.

  • Excosecante: excosec(\theta)=cosec(\theta)-1

Aquí os dejo una imagen con las seis que más se usan actualmente (las seis primeras que se han visto en esta entrada) junto con el verseno, el coverseno, la exsecante y la excosecante:

Y para terminar una reflexión. Aunque en la actualidad se usan estas seis razones trigonométricas que hemos comentado al principio, y aunque en otras épocas históricas se han usado más (las que hemos presentado después), podríamos decir que en realidad hay solamente una razón trigonométrica “esencial”, y que todas las demás se definen a partir de ella. Por ejemplo, podríamos decir que la única razón trigonométrica “esencial” es el seno, ya que todas las demás pueden construirse a partir de ella. Pero posiblemente en muchas situaciones prácticas sea complicado trabajar con esas “variaciones” del seno y en realidad sea conveniente definir de antemano las demás razones trigonométricas para trabajar directamente con ellas. Como en muchas ocasiones, la cuestión dependerá de en qué estemos trabajando y de para qué vayamos a usar estas herramientas. Como es habitual, la versatilidad de las matemáticas está a nuestro servicio.


Fuentes y más información:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Muy cierto, y en diferentes situaciones se pueden considerar distintas posibilidades. Por ejemplo: cuando se inicia el estudio de la trigonometría, al final de la ESO, ¿qué es más apropiado?
    1 – Introducir las seis razones “clásicas” y dedicar un tiempo siempre escaso a manipulaciones algebraicas basadas en las relaciones entre ellas
    2 – Introducir, por ejemplo, seno, coseno y tangente, y dedicarse a su relevancia en la resolucion de problemas, o en situaciones reales, o …

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  2. Este post me habria servido de muchisima ayuda hace unos años, por cierto, en las razones reciprocas has puesto que la cosecante es 1/sec cuando es 1/sin debe haber sido una errata 🙂 muchas gracias y un saludo.

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  3. Muy bonitas las figuras. Había archivado en la memoria sólo las de seno y coseno y no conocía las otras que me han gustado bastante. El estudiante debería tener en cuenta que el seno aquí, en aquello de “esencial”, vale para cualquiera de las seis razones clásicas (por ejemplo para la tangente T del ángulo agudo t, se usa un triángulo rectángulo con cateto opuesto T y cateto adyacente 1 lo que da como hipotenusa la raíz de 1+T^2 y de ahí todas las razones del ángulo t). También el estudiante debe separar como nociones distintas la razón seno de la función seno, esta última siendo “más complicada” y cuya definición analítica se da en general como una serie infinita pero también puede darse como inversión de una integral o como un producto infinito.

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  4. Para construir la tangente, yo utilizo otro método:
    Trazamos la recta x=1 y prolongamos la recta AB hasta que corte a la anterior. El punto de corte será (1, tg (q)). Me parece mucho más visual; se aprecia mejor como varía la tangente según varía el ángulo, para construir la función tangente, el signo que toma en cada cuadrante y cómo el período de esta función es pi.

    Con respecto a lo que dice Pedro Ramos, yo les comento a mis alumnos de ESO lo que son la secante, la cosecante y la cotangente y también les explico por qué antes eran útiles y ahora en la práctica están en desuso, y es que la única función de esas razones era cambiar divisiones por productos, cosa muy práctica si hacemos los cálculos manualmente. Después trabajo sólo con seno, coseno y tangente, que son las que están en la calculadora y que nos llegan para resolver cualquier problema práctico. No creo que para los chavales sea muy práctico manejar funciones que sólo pueden encontrar en tablas que ahora tendrían que buscar en un museo.

    Sobre esa lista de razones, tengo que decir que es la primera vez que oigo hablar de ellas, aunque también diré que no se debería hablar de razones, porque no lo son, aunque sí sean funciones. Es normal que en la época del cálculo manual cualquier función que se usara con cierta frecuencia estuviera tabulada y esto también supondría ponerle un nombre que la identificase.

    Por último, una curiosidad sobre las tablas. Si miráis libros un poco antiguos que incluyan tablas trigonométricas veréis que en esas tablas no aparecen directamente el seno o el coseno, sino que lo que aparecen son sus logaritmos. Esto es lógico, ya que lo que hacemos siempre que usamos estas funciones es multiplicarlas o divividir por ellas y antes de la calculadora electrónica las multiplicaciones un poco grandes siempre se hacían con logaritmos. Esto también puede explicar por qué usar funciones como el verseno o el vercoseno, que parece que se obtienen inmediatamente a partir del coseno y es que obtener sus logaritmos a partir del logaritmo del coseno ya no es tan inmediato.

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  5. ¿Cuál es la representación gráfica de la tangente y de las otras razones trigonómetricas principales cuando el radio es distinto de uno?

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  6. #Pablito

    Es exactamente la misma, ya que, al calcular estos valores trigonométricos se tiene en cuenta únicamente los ángulos de estos y el resultado es siempre reducido a la unidad. Eso si, si quieres después obtener las longitudes debes hacer un producto escalar.

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  7. La palabra razón en matemáticas significaría cociente.
    Trigonometría se refiere a triángulos; o sea, tres lados, tres ángulos… y sus medidas.
    Con tres lados, ¿cuántos cocientes distintos puedes formar? Eso serán las “razones trigométricas”. No encuentro esto en las explicaciones.
    Lo del “verseno” (y continuación) queda muy bonito pero solo sirve para deformar, o para informar-recordar a los cultos. ¿Será esto más importe que enseñar a los que no saben? ¿Es este el significado de las comillas en el título?

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  8. Cuando he visto el título he pensado: vamos a ver, razón es un cociente, y si el triángulo (el rectángulo, que es el que se toma como referencia en estos casos) tiene 3 lados sólo puede haber 6 razones (combinaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2):

    * Seno = cateto opuesto / hipotenusa
    * Coseno = cateto adyacente / hipotenusa
    * Tangente = cateto opuesto / cateto adyacente

    Y los inversos:

    * Cosecante = hipotenusa / cateto opuesto
    * Secante = hipotenusa / cateto adyacente
    * Cotangente = cateto adyacente // cateto opuesto

    En a la representación gráfica de esos 6 recuerdo haberla visto hace tiempo pero ha estado muy bien recordar la tangente y la cotangente.

    El resto no me parecen “razones” o “cocientes” tan propiamente dichos.
    Aunque:

    (1 – coseno) = (hipotenusa – cateto adyacente) / hipotenusa

    Así que, bueno, al final un cociente hay, pero con una resta también.
    En todo caso, ver algo nuevo siempre es bienvenido, sobre todo si se trata de versenos xDDDD

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  9. Raúl,

    Me ha encantado tu comentario.

    En cuanto a la representación de la tangente que dices que gusta mucho más, aparte de que la recta x=1 también es “tangente” a la circunferencia, que me parece algo fundamental para asociar el nombre de la función (razón) con un significado visual. Es decir, lo que llamamos “tangente” es visualmente una medida de un segmento que es tangente a la circunferencia. Y otra cosa que también me parece visualmente importante es que el triángulo rectángulo formado por dicha tangente (como cateto opuesto) y el cateto de (0,0) a (1,0) es semejante al formado por el seno y el coseno con hipotenusa 1… dejando claro por semejanza de triángulos que sen / cos = tg / 1

    Del mismo modo, la secante sería la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo formado por la tangente. Y también en este caso la secante es una recta “secante” (que corta a la circunferencia) con lo cual todo me parece más “obvio” y claro visualmente.

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  10. Muy bueno, no conocía que había tantas razones trigonométricas. Me ha gustado mucho como quedan representadas en la circunferencia unidad.

    Como contraste a este enfoque, hay una definición rigurosa de \cos como función de \mathbb{R} en \mathbb{R}, que me gustó especialmente. Es la definición que aparece en el Spivak (que dicho sea de paso es el mejor libro de Análisis I para mi gusto), motivada por el hecho que el área del sector circular es la mitad de la longitud del arco que abarca (para que así sea más cómodo usar integrales…). A continuación resumo dicha definición:

    En primer lugar se define el número \pi, por {\displaystyle \pi=2\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx }.

    Luego se define la función “área del sector circular” A:[-1,1]\longrightarrow\mathbb{R} por

    {\displaystyle A(x)=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\int_x^1\sqrt{1-t^2}dt}

    Esta función es derivable (por el teorema fundamental del cálculo) en (-1,1), siendo su derivada

    {\displaystyle A'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}}

    Como A es continua en [-1,1] y A'(x)<0 para todo x\in(-1,1), se tiene (por el teorema de los valores intermedios) que

    {\displaystyle A[-1,1]=[A(1),A(-1)]=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]} y por tanto, A:[-1,1]\longrightarrow\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] es biyectiva.

    Si 0\leq x\leq\pi se define el coseno de x por {\displaystyle\cos x=A^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)}, y se define el seno de x (para 0\leq x\leq\pi) como \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}.

    Finalmente, se extiende el coseno y el seno a todo \mathbb{R}:

    Si \pi\leq x\leq 2\pi, se define, \cos x = \cos(2\pi-x) y \sin x = -\sin(2\pi-x).

    Si =2k\pi+x' para algún entero k y x'\in[0,2\pi] se define  \cos x = \cos x', y \sin x = \sin x'.

    Una vez construidas las funciones coseno y seno de esta forma, es fácil calcular sus derivadas, así como las derivadas de sus inversas (restringiéndolas previamente a intervalos adecuados).

    También se demuestra, sin recurrir a dibujos, la fórmula del coseno y seno de una suma. Dicha demostración se basa en probar que si f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} es una función dos veces derivable tal que f''+f=0 entonces f(x)=f(0)\cos x+f'(0)\sin x. Probado esto, basta aplicarlo en el caso particular de f(x)=\cos(x+y) (fijado y\in\mathbb{R}).

    Lo dejo aquí, porque si no voy a terminar escribiendo todo el capítulo del Spivak… 🙂

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  11. Me parece genial, no conocía que había todas esas razones trigonométricas. Se los dire a mis alumnos para que lo pregunten a su profe de mates

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  12. Lo primero que he pensado es que sólo “existe” una relación trigonométrica. Supongamos que estamos en el primer cuadrante para evitar problemas de signos. Si tenemos el seno, podemos deducir el coseno. Con estos dos deducimos la tangente, y de estas tres se deducen el resto que se han explicado aquí. Por lo que en esencia sólo existe una relaión fundamental.

    Muy bonito el dibujo con todas ellas representadas 😀

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  13. ¿No habría que hacer mención a las razones trigonométricas hiperbólicas? El seno hiperbólico (senhx), coseno hiperbólico (coshx), etc…

    Ya sé que todas ellas se definen a partir de la exponencial, pero puestos a contar razones trigonométricas incluyamos todas.

    Lo que ya no tiene sentido, en mi opinión, es meternos en trigonometría esférica, puesto que se usa la plana para trabajar en ella.

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  14. Gran articulo!

    Aunque para mi gusto estaría mucho mas completo con una mención a las distintas relaciones inversas, las “arco” (arcoseno, arcocoseno, arcotangente…)

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  15. no quiero parecer un poco estúpido… pero yo recuerdo de mis tiempos mozos de instituto la arcotangente…. se me ha ido la cabeza? se utiliza otro nombre que no sea ese?

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  16. Siempre pensé que la tangente se representaba como la altura del triángulo o cateto opuesto al coseno cuando a este se le hacía coincidir con la unidad. En el gráfico sería el cateto opuesto al triangulo engendrado por el coseno y el verseno. Obviamente tiene mucho más sentido geométrico cómo lo expresas aquí.

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  17. GOB, eso mismo es lo que comento al final del artículo :).

    Terrio, paciencia, saldrán más adelante :).

    Ellyster y Juanlo, sí, faltaron las inversas de las trigonométricas, pero ya había suficiente post como para incluirlas también.

    Kakutani, sí, pero al igual que tú pienso que es mucho más intuitivo como lo he representado en el artículo :).

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  18. Un gustazo leer ciencia divertida. Me habría gustado ver la representación de las funciones porque es algo que recuerdo de la carrera que me ayudó mucho. Cuando estudié en el instituto no lo vimos y me pasé el tiempo memorizando, mientras que la función es mucho más intuitiva.

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  19. UNA NOTA HISTÓRICA SOBRE EL COSENO Y PI: Edmund Landau fue un eminente matemático judío-alemán quien en su cátedra de Göttingen definió –heterodoxamente en la Alemania de preguerra en 1934– el número π/2 como el número comprendido entre 1 y 2 tal que su coseno se anula. Esto hizo que Ludwig Bieberbach, gran matemático nazi, criticara la definición de Landau aduciendo un “estilo no germano de miembros de otra raza para imponer sus ideas” lo cual ocasionó a Landau la pérdida de su importante cargo. En la actualidad, la definición de Landau puede usarse sin objeciones en cualquier artículo riguroso de análisis.

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  20. Una consulta, existe alguna función de theta para conocer el angulo formado por la tangente y la horizontal. en la figura el vértice sería el punto E.

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