Cubitos blancos y negros

Vamos con el problema de la semana. Ahí va:

Un cubo de n \times n \times n está construído con cubitos de 1 \times 1 \times 1, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de n \times 1 \times 1, de 1 \times n \times 1 y de 1 \times 1 \times n hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente 0) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la siguiente ilustración se muestra una posible rebanada del cubo 6 \times 6 \times 6 (formada por 6 subprismas de 1 \times 6 \times 1):

Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de n \times 1 \times 1, 1 \times n \times 1 y 1 \times 1 \times n haya exactamente un cubito negro.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. En la representación te falta un cubito negro, en la posición (6,2) poniendo el origen (1,1) en el cubito de abajo a la izquierda.
    En un cubo de nxnxn hay exáctamente 2n^2 cubitos negros según las condiciones del problema.

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  2. Numero los cubos con 0 y 1 de modo que no haya dos números iguales adyacentes.
    En cada subprisma un cubo negro tiene un 0 y el otro un 1 porque su distancia es impar.
    Si substituyo todos los cubos negros que tienen un 1 por un cubo blanco, queda un cubo negro en cada subprisma.

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  3. Mmonchi,
    creo que lo que dices no es válido.
    Contraejemplo:
    Sea n=4
    Veamos una rebanada:

    0101
    1010
    0101
    1010

    Donde 1 representa donde están los negros. (y no me refiero a África)

    Además, este diagrama coincide con el que has propuesto, si no te entendí mal.
    En cada subprisma todos los negros tienen un 1 y no como dijiste tú (dijiste que uno de ellos debía ser 0 y el otro 1)
    Si sustituyes todos los negros que tienen 1 por uno blanco quedarán 0 negros en cada subprisma.

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  4. Acido,
    si no entendí mal el problema, la configuración que tu propones es inválida. Dice que entre los cubitos negros “hay un número PAR (posiblemente 0) de cubitos blancos ” y tu configuración no lo respeta (entre cada negro hay 1 solo blanco).
    ç

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  5. Ah, de acuerdo… no había entendido esa parte del enunciado. Y por eso tampoco entendí por qué Mmonchi aseguraba tan tajantemente que la distancia entre cubitos negros era impar jejeje

    Enhorabuena, Mmonchi.

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  6. Hola,

    en la fila 5 ¿no falta un cubo de color negro?

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  7. En el enunciado dice: “en cada uno de los subprismas de nx1x1, 1xnx1 y de 1x1xn hay exactamente dos cubitos negros”.
    Por tanto, en cada cubo nxnxn hay 2n cubos negros.
    El primer caso simple sería para n=2.
    Que me queda la primera cara// y la segunda cara de la siguiente manera:
    01 // 10
    10 // 01
    Total= 4 cuadrados negros y 4 blancos.
    Para n = 3, una posible solución
    La primera// segunda y tercera cara
    000 // 001 // 100
    011 // 000 // 000
    000 // 010 // 100
    Total= 6 cuadrados negros y 21 blancos.

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  8. Otra forma de resolver:
    Suponemos unos ejes coordenados orientados con las aristas, con el lado de cubito como unidad y con origen en el centro de cualquier cubito.
    Sumamos las coordenadas del centro de cada cubito negro y pasamos a blanco cada cubito cuya suma sea par. También funciona si los que cambiamos son los de suma impar.

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  9. Juan Carlos,

    En cada subprisma hay 2, pero el cubo se completa con n^2 subprismas (habiendo 3 formas diferentes de componerlo: subprismas en dirección x de tipo nx1x1, en dirección y de tipo 1xnx1 ó en dirección z de tipo 1x1xn). Así que en total hay 2*n^2 cubitos negros.

    Para n=2 sería así cada rebanada:

    11
    11

    sería la rebanada z=1
    y la rebanada z=2 también tiene 4 negros que hacen 8 = 2*2^2

    Si haces como propones

    01
    10

    resultaría que el subprisma z=1, y=1 (x pertenece a {1, 2}) que sería de tipo nx1x1
    es 10 y sólo tiene un cubito negro.

    Para n=3 se pueden formar cubos que tengan 2 cubitos negros en cada arista, que serían 2*3^2 = 18 cubitos negros de un total de 27 pero ninguno puede ser del tipo propuesto en el problema.

    De hecho, si no me equivoco no se pueden cumplir las condiciones del problema para ningún n impar.

    También creo que se pueden cumplir las condiciones del problema cuando no exigimos que los cubitos negros estén o no separados por un número par de blancos. Quizá no siempre pero al menos para n par… pero la demostración podría ser algo más complicada. ¿Alguien se anima? jejeje

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  10. Para n par siempre hay solución. La demostración es constructiva:

    Tomo un subprisma de nxnx1 con n par y lo numero con ceros y unos no consecutivos. Marco de negro un cero y elimino su fila y su columna, y repito el proceso hasta marcar n cubos. Llamo solución S.1.0 (primera solución en ceros) al conjunto obtenido de n celdas pintadas de negro. Comienzo de nuevo marcando ceros que no estén previamente marcados de negro hasta construir la solución S.2.0. Sigo hasta la última que será la S.n/2.0, con la que estarán todos los ceros marcados de negro. Ahora repito el proceso con los unos, encontrando las soluciones S.1.1, S.2.1, hasta la S.n/2.1.

    Para pintar el cubo de nxnxn tomo los n subprismas de nxnx1 y en cada uno de ellos pinto los cubos de negro utilizando una solución de la familia S.X.0 y otra de la familia S.X.1, usando dos veces seguidas cada subprisma.

    De este modo construyo un cubo en el que cada prisma nxnx1 tiene dos negros por fila y columna (uno de la solución S.X.0 y otro de la solución S.X.1) que además tienen un número par de cubos entre ellos (porque su distancia es impar, al estar uno en un 0 y el otro en un 1). Los prismas 1x1xn tienen todos dos cubos negros sin ninguno en medio ya que uso las soluciones de forma consecutiva.

    Para n impar este proceso no funciona, y creo también que no existe solución.

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  11. Para n impar no hay solución porque no la hay para subprismas de nxnx1.

    Tomamos un subprisma de nxnx1 y numeramos los cubos con unos y ceros no consecutivos, de modo que los de las esquinas tengan un 0. Vamos a buscar una solución en cubos con unos. Comenzamos pintando de negro un cubo con 1 de la primera fila y tachamos su fila y su columna. Hacemos lo mismo en la segunda fila, y así sucesivamente. Cuando tachamos una fila par, tachamos una columna impar y al revés, cuando tachamos una fila impar tachamos una columna par. Al tachar las primeras n-1 filas hemos tachado (n-1)/2 filas pares y (n-1)/2 filas impares, luego hemos tachado también (n-1)/2 columnas pares y (n-1)/2 columnas impares. El último cubo que queda está en una fila impar y en una columna impar. Pero los cubos de fila impar y columna impar tienen un 0, luego no es posible hallar una solución.

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  12. Para n impar las condiciones del problema no se cumplen, con lo que no tiene sentido buscar solución con n impar.
    Tendría sentido demostrar que, efectivamente, para n impar no se puede realizar una disposición con las condiciones del enunciado. Basta con probarlo para una rebanada del tipo nxnx1 (o 1xnx1 0 nx1xn), o lo que es lo mismo, para el caso de la cuadríacula nxn con n impar.

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  13. Ácido, si no exigimos que la distancia entre cubitos negros sea par, creo que el problema se puede formular para n impar, por ejemplo, una disposición de cubitos negros para el caso 3x3x3 sería la siguiente:
    Pongo X cuando es negro y 0 cuando es blanco, estas serían 3 rebanadas de 3x3x1:

    X0X XX0 0XX
    XX0 0XX X0X
    0XX X0X XX0

    Y una solución (en este caso) sería:

    00X X00 0X0
    X00 0X0 00X
    0X0 00X X00

    Por otra parte, para n par, con las distancias pares es claro que hay solución (la propuesta por Mmonchi en su primer comentario). También existiría solución para casos en los que la distancia entre cubitos no sea par ya que:
    1. Si intercambiamos dos rebanadas cualesquiera seguimos teniendo dos cubitos en cada prisma.
    2. Intercambiando rebanadas podemos llegar a disposiciones con distancias impares entre cubitos.

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  14. Si Acido, tienes razón.
    He confundido, estaba pensando en una rebanada de 1xnxn, no de nx1x1.

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  15. MarcoTac,
    bien visto todo lo que dices.

    Aunque creo que no aseguras mucho.

    * Que hay casos con n impar que cumplen que todos los subprismas tienen 2 cubitos negros (y alguna distancia entre cubos negros no impar, no separados por un número par de cubos blancos).

    A esto añadiría:
    ** para todo n, aunque sea impar, se pueden formar cubos donde todos los subprismas tengan 2 cubitos negros.

    * Que de esos casos de n impar, hay alguno que permite la condición final: pasar de 2 cubitos por subprisma a 1 cubito por subprisma.

    La pregunta aquí es: ¿es posible en todos los casos?
    Y otra segunda pregunta: si es posible, ¿se puede detallar un método sencillo para hacerlo? ¿cuál método?

    * Que para n par hay muchos casos (intercambiando rebanadas) donde no se cumple la condición de distancia de cubitos negros pero sí se cumple la condición final.

    La pregunta aquí es: ¿todos los casos de n par se pueden obtener a base de permutaciones de rebanadas partiendo de uno que cumpla la primera condición (de distancias de cubitos negros)?
    Si la respuesta es afirmativa ya tendríamos demostrado que para n par siempre podremos cumplir la condición final (pasar de 2 cubitos negros por subprisma a 1).
    Y, además tendríamos el método sencillo para hacerlo. Bastaría saber las permutaciones que llevan a uno que cumpla la primera condición (de distancias de cubitos negros), eliminar los negros según el método de Mmonchi ó JJGJJG (que es el mismo método con otras palabras) en ese que lo cumple y deshacer las permutaciones. Las permutaciones creo que son fáciles de encontrar: tomar un cubo negro que no cumpla la distancia en un subprisma y permutar la rebanada del otro cubo negro a una distancia que sí, hasta acabar con todos si es que es posible.

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