¿Sabía que…

…la división del conjunto S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 \} en los subconjuntos S_1=\{1,4,6,7,10,11,13,16 \} y S_2=\{2,3,5,8,9,12,14,15 \} nos conduce a unas propiedades muy curiosas? Lo vemos:

  • S_1 y S_2 son disjuntos (es decir, no tienen elementos comunes).
  • Por construcción, si unimos los elementos de S_1 y S_2 obtenemos el conjunto S de partida.
  • Todos los pares \{1,2 \},\{3,4 \}, \ldots , \{15,16 \} tienen exactamente un elemento en S_1 y otro en S_2.
  • Tanto en S_1 como en S_2 hay exactamente cuatro números pares y cuatro números impares.
  • La suma de los elementos de S_1 es igual a la suma de los elementos de S_2.

Y lo que es más sorprendente:

  • La suma de los cuadrados de los elementos de S_1 es igual a la suma de los cuadrados de los elementos de S_2.

Y por si no teníamos suficiente:

  • La suma de los cubos de los elementos de S_1 también es igual a la suma de los cubos de los elementos de S_2.

Pero la cosa no queda ahí. Se puede hacer algo parecido con cualquier conjunto de números que contenga una cantidad de elementos que sea una potencia de 2 comenzando desde el 1. Y además se van añadiendo propiedades a las que ya teníamos. Por ejemplo, si tomamos S=\{1,2, \ldots , 31,32 \} y lo dividimos en los siguientes subconjuntos:

S_1=\{1,4,6,7,10,11,13,16,18,19,21,24,25,28,30,31 \}

y

S_2=\{2,3,5,8,9,12,14,15,17,20,22,23,26,27,29,32 \}

obtenemos las siguientes curiosas propiedades:

  • La suma de los elementos de S_1 es igual a la suma de los de S_2.
  • La suma de los cuadrados de los elementos de S_1 es igual a la suma de los cuadrados de los de S_2.
  • La suma de los cubos de los elementos de S_1 es igual a la suma de los cubos de los de S_2.

Y:

  • La suma de las potencias cuartas de los elementos de S_1 es igual a la suma de las potencias cuartas de los de S_2.

Y si seguimos la cosa aumenta. Para S=\{1,2, \ldots ,63,64 \} podemos encontrar una subdivisión en dos conjuntos del estilo a las anteriores con la que se cumple todo lo comentado en el caso anterior además de cumplirse también para las potencias quintas. Y así sucesivamente: para S=\{1,2, \ldots ,127,128 \} añadimos lo mismo para las potencias sextas, para S=\{1,2, \ldots ,255,256 \} añadimos la misma propiedad para las potencias séptimas…

La verdad es que me ha sorprendido esta propiedad de los conjuntos cuya cantidad de elementos es una potencia de dos. ¿Alguien podría darle explicación a esta sorprendente curiosidad?

Visto en Wild About Math!.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. ¿ que patron de seleccion se utiliza para obtener los dos conjuntos ? no lo consigo ver.
    Enhorabuena por el blog

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  2. Y que logica o serie logica usas en la separacion del conjunto en esos subconjunto, no sera que estas forzando el resultado??

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  3. De echo los subgrupos son iguales y al expresar en el segundo subgrupo un numero menor o mayor que en primero subgrupo, la siguiente cifra del subgrupo corrige de forma inversa esa diferència. Siendo par el numero de cifras que tiene el grupo y los subgrupos estas siempre estaran compensadas entre si.

    es muy lògico, pues no se porque te sorprendieron los resultados.

    de echo si pruebas lo mismo con otras cifras haciendo la misma separación de subgrupos obtendràs los mismos resultados, si aún así te sorprende pues…es que no lo entendiste.

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  4. Oriol, eso explica que la suma de los elementos de cada conjunto sea la misma, pero no explica que lo sean las sumas de los cuadrados, de los cubos, de las potencias cuartas…

    Igual es muy evidente y yo no lo veo, pero me parece curioso que si tomamos el conjunto \{1,2,3,4,5,6,7,8 \} coincidan las sumas de los cuadrados de los elementos de cada conjunto pero las de los cubos no y si tomamos el conjunto \{1,2, \ldots , 15,16 \} coincidan también las de los cubos pero no las de las potencias cuartas, y así sucesivamente.

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  5. Cierto, Omar. Estamos ante la aplicación de la secuencia de Thue-Morse al problema de Prouhet-Tarry-Escott.

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  6. Lo mismo sucede si sumamos o restamos a todos los elementos de S_1, S_2 una misma constante c.

    La siguiente demostración está tomada de Savchev-Andreescu, “Mathematical miniatures”.

    Sea X_k el conjunto de los n \in \{0,1,2, \cdots, 2^{k+1}-1 \} que tienen un número par de unos en su representación binaria, y Y_k el conjunto de de los n \in \{0,1,2, \cdots, 2^{k+1}-1 \} que tienen un número impar de unos en binario.

    Observamos que X_{k+1} = X_k \cup ( 2^{k+1} + Y_k) y Y_{k+1} = Y_k \cup ( 2^{k+1} + X_k)

    Teorema. Si f(x) es un polinomio de grado \le k, \displaystyle \sum_{n \in X_k} f(n) = \sum_{n \in Y_k} f(n)

    La prueba es por inducción sobre k. Si k=0, f(x) es constante y el resultado es trivial.
    Sea g(x) un polinomio de grado \le k+1. Entonces f(x) = g(x + 2^{k+1}) - g(x) es
    un polinomio de grado \le k y, por la hipótesis de inducción tenemos

    \displaystyle \sum_{n \in X_k} f(n) = \sum_{n \in Y_k} f(n), es decir,

    \displaystyle \sum_{n \in X_k} g(n) + \sum_{n \in Y_k} g( 2^{k+1} + n) = \sum_{n \in Y_k} g(n) + \sum_{n \in X_k} g( 2^{k+1} + n).

    Pero por la observación inicial esto es equivalente a
    \displaystyle \sum_{n \in X_{k+1}} g(n) = \sum_{n \in Y_{k+1}} g(n),
    y tenemos demostrado el teorema.

    Si X_k^{(c)} = X_k + c, \ \ Y_k^{(c)} = Y_k + c, de forma que los conjuntos S_1, S_2 del post son X_k^{(1)}, Y_k^{(1)} , tenemos

    \displaystyle \sum_{n \in X_{k}^{(c)}} f(n) = \sum_{n \in X_{k}} f(n+c) = \sum_{n \in Y_{k}} f(n+c) =  \sum_{n \in Y_{k}^{(c)}} f(n).

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  7. Naka Cristo, f(x+c) es un polinomio h(x) del mismo grado que f(x) y se ha demostrado que para cualquier polinomio h(x) de grado \le k, \displaystyle \sum_{n \in X_{k}} h(n) = \sum_{n \in Y_{k}} h(n)

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  8. Gran entrada, y grandes comentarios con perfectas explicaciones. Esta curiosidad me ha dejado fascinado.

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