¿Sabía que…

…la división del conjunto $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 \}$ en los subconjuntos $S_1=\{1,4,6,7,10,11,13,16 \}$ y $S_2=\{2,3,5,8,9,12,14,15 \}$ nos conduce a unas propiedades muy curiosas? Lo vemos:

$S_1$ y $S_2$ son disjuntos (es decir, no tienen elementos comunes).
Por construcción, si unimos los elementos de $S_1$ y $S_2$ obtenemos el conjunto $S$ de partida.
Todos los pares $\{1,2 \},\{3,4 \}, \ldots , \{15,16 \}$ tienen exactamente un elemento en $S_1$ y otro en $S_2$ .
Tanto en $S_1$ como en $S_2$ hay exactamente cuatro números pares y cuatro números impares.
La suma de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de los elementos de $S_2$ .

Y lo que es más sorprendente:

La suma de los cuadrados de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de los cuadrados de los elementos de $S_2$ .

Y por si no teníamos suficiente:

La suma de los cubos de los elementos de $S_1$ también es igual a la suma de los cubos de los elementos de $S_2$ .

Pero la cosa no queda ahí. Se puede hacer algo parecido con cualquier conjunto de números que contenga una cantidad de elementos que sea una potencia de 2 comenzando desde el 1. Y además se van añadiendo propiedades a las que ya teníamos. Por ejemplo, si tomamos $S=\{1,2, \ldots , 31,32 \}$ y lo dividimos en los siguientes subconjuntos:

$S_1=\{1,4,6,7,10,11,13,16,18,19,21,24,25,28,30,31 \}$

$S_2=\{2,3,5,8,9,12,14,15,17,20,22,23,26,27,29,32 \}$

obtenemos las siguientes curiosas propiedades:

La suma de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de los de $S_2$ .
La suma de los cuadrados de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de los cuadrados de los de $S_2$ .
La suma de los cubos de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de los cubos de los de $S_2$ .

La suma de las potencias cuartas de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de las potencias cuartas de los de $S_2$ .

Y si seguimos la cosa aumenta. Para $S=\{1,2, \ldots ,63,64 \}$ podemos encontrar una subdivisión en dos conjuntos del estilo a las anteriores con la que se cumple todo lo comentado en el caso anterior además de cumplirse también para las potencias quintas. Y así sucesivamente: para $S=\{1,2, \ldots ,127,128 \}$ añadimos lo mismo para las potencias sextas, para $S=\{1,2, \ldots ,255,256 \}$ añadimos la misma propiedad para las potencias séptimas…

La verdad es que me ha sorprendido esta propiedad de los conjuntos cuya cantidad de elementos es una potencia de dos. ¿Alguien podría darle explicación a esta sorprendente curiosidad?

Visto en Wild About Math!.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de September de 2009
Categorías: ¿Sabía que ...? | Imprime este post

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Trackback | 3 Sep, 2009

Bitacoras.com
winfred | 3 de September de 2009 | 15:08

¿ que patron de seleccion se utiliza para obtener los dos conjuntos ? no lo consigo ver.
Enhorabuena por el blog
Oriol | 3 de September de 2009 | 15:45

Y que logica o serie logica usas en la separacion del conjunto en esos subconjunto, no sera que estas forzando el resultado??
Oriol | 3 de September de 2009 | 15:51

De echo los subgrupos son iguales y al expresar en el segundo subgrupo un numero menor o mayor que en primero subgrupo, la siguiente cifra del subgrupo corrige de forma inversa esa diferència. Siendo par el numero de cifras que tiene el grupo y los subgrupos estas siempre estaran compensadas entre si.

es muy lògico, pues no se porque te sorprendieron los resultados.

de echo si pruebas lo mismo con otras cifras haciendo la misma separación de subgrupos obtendràs los mismos resultados, si aún así te sorprende pues…es que no lo entendiste.
^DiAmOnD^ | 3 de September de 2009 | 17:07

Oriol, eso explica que la suma de los elementos de cada conjunto sea la misma, pero no explica que lo sean las sumas de los cuadrados, de los cubos, de las potencias cuartas…

Igual es muy evidente y yo no lo veo, pero me parece curioso que si tomamos el conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8 \}$ coincidan las sumas de los cuadrados de los elementos de cada conjunto pero las de los cubos no y si tomamos el conjunto $\{1,2, \ldots , 15,16 \}$ coincidan también las de los cubos pero no las de las potencias cuartas, y así sucesivamente.
Omar-P | 3 de September de 2009 | 17:33

S1 es la posición del enésimo 1 en la secuencia Thue-Morse. S2 es su complemento.
fede | 3 de September de 2009 | 17:49

Cierto, Omar. Estamos ante la aplicación de la secuencia de Thue-Morse al problema de Prouhet-Tarry-Escott.
Trackback | 3 Sep, 2009

Curiosidades sobre las potencias de dos
fede | 3 de September de 2009 | 19:20

Lo mismo sucede si sumamos o restamos a todos los elementos de $S_1, S_2$ una misma constante c.

La siguiente demostración está tomada de Savchev-Andreescu, “Mathematical miniatures”.

Sea $X_k$ el conjunto de los $n \in \{0,1,2, \cdots, 2^{k+1}-1 \}$ que tienen un número par de unos en su representación binaria, y $Y_k$ el conjunto de de los $n \in \{0,1,2, \cdots, 2^{k+1}-1 \}$ que tienen un número impar de unos en binario.

Observamos que $X_{k+1} = X_k \cup ( 2^{k+1} + Y_k)$ y $Y_{k+1} = Y_k \cup ( 2^{k+1} + X_k)$

Teorema. Si $f(x)$ es un polinomio de grado $\le k$ , $\displaystyle \sum_{n \in X_k} f(n) = \sum_{n \in Y_k} f(n)$

La prueba es por inducción sobre k. Si k=0, f(x) es constante y el resultado es trivial.
Sea g(x) un polinomio de grado $\le k+1$ . Entonces $f(x) = g(x + 2^{k+1}) - g(x)$ es
un polinomio de grado $\le k$ y, por la hipótesis de inducción tenemos

$\displaystyle \sum_{n \in X_k} f(n) = \sum_{n \in Y_k} f(n)$ , es decir,

$\displaystyle \sum_{n \in X_k} g(n) + \sum_{n \in Y_k} g( 2^{k+1} + n) = \sum_{n \in Y_k} g(n) + \sum_{n \in X_k} g( 2^{k+1} + n)$ .

Pero por la observación inicial esto es equivalente a
$\displaystyle \sum_{n \in X_{k+1}} g(n) = \sum_{n \in Y_{k+1}} g(n)$ ,
y tenemos demostrado el teorema.

Si $X_k^{(c)} = X_k + c, \ \ Y_k^{(c)} = Y_k + c$ , de forma que los conjuntos $S_1, S_2$ del post son $X_k^{(1)}, Y_k^{(1)}$ , tenemos

$\displaystyle \sum_{n \in X_{k}^{(c)}} f(n) = \sum_{n \in X_{k}} f(n+c) = \sum_{n \in Y_{k}} f(n+c) = \sum_{n \in Y_{k}^{(c)}} f(n)$ .
M | 3 de September de 2009 | 20:30

Preciosa demostración, fede. Gracias.
Naka Cristo | 5 de September de 2009 | 11:49

¿Cómo sabes $\sum_{n \in X_{k}} f(n+c) = \sum_{n \in Y_{k}} f(n+c)$ ?
Porque hasta entonces solo tienes probado $\displaystyle \sum_{n \in X_k} f(n) = \sum_{n \in Y_k} f(n)$
fede | 5 de September de 2009 | 12:19

Naka Cristo, $f(x+c)$ es un polinomio $h(x)$ del mismo grado que $f(x)$ y se ha demostrado que para cualquier polinomio $h(x)$ de grado $\le k$ , $\displaystyle \sum_{n \in X_{k}} h(n) = \sum_{n \in Y_{k}} h(n)$
Naka Cristo | 5 de September de 2009 | 19:59

Ah, claro. Se me había ido la cabeza al final.

Muy buena demostración.
Milhaud | 10 de September de 2009 | 02:58

Gran entrada, y grandes comentarios con perfectas explicaciones. Esta curiosidad me ha dejado fascinado.
Trackback | 8 Oct, 2009

Una demostración visual sobre números naturales y secuencias contadoras | Gaussianos