Curiosidades del número 252

En Gaussianos ya hemos visto alguna vez que ciertos números poseen cualidades, digamos, curiosas (por ejemplo el 142857 y el 153). Vamos a ver algunas del número 252 que nos comenta merfat en Tres Decas y a contestar a alguna de sus preguntas:

  1. Es un número palíndromo o capicúa
  2. Escrito en una calculadora o en un reloj digital se lee igual si lo giramos 180º
  3. Es el menor número que puede escribirse a la vez como suma de 3, de 7, de 8 y de 9 números naturales consecutivos:

    252=83+84+85
    252=33+34+35+36+37+38+39
    252=28+29+30+31+32+33+34+35
    252=24+25+26+27+28+29+30+31+32

  4. Es suma de 6 números primos consecutivos:

    252=31+37+41+43+47+53

  5. Su cuadrado es también muy curioso:
    252 \cdot 252=63504=144 \cdot 441=12^2 \cdot 21^2
  6. En el post original merfat nos reta a que escribamos el 252 como suma de 4 cuadrados de dos formas distintas. Vamos a expresarlo como suma de 4 cuadrados de varias formas más:

    252=1^2+7^2+9^2+11^2
    252=2^2+4^2+6^2+14^2
    252=2^2+2^2+10^2+12^2
    252=1^2+1^2+9^2+13^2
    252=1^2+1^2+5^2+15^2
    252=4^2+6^2+10^2+10^2
    252=6^2+6^2+6^2+12^2

    Así a bote pronto no se me ocurren más. Si tenéis alguna vosotros escribidla en un comentario.

Y dejo una de las preguntas de merfat para vosotros: ¿qué ángulo forman las manecillas del reloj cuando éste marca las 2:52?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

39 Comentarios

  1. Como el número de representaciones como suma de números consecutivos es el número de divisores impares distintos de 1 (fácil de demostrar) y los divisores impares de 252 son 3, 7, 9, 21 y 63, falta una representación como suma de 21 números consecutivos:
    252 = 2+3+4+….+20+21+22.

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  2. 134 me sale a mí también…

    Ángulo de la manecilla de la horaria: 2 horas más la parte equivalente de los 52 minutos en una hora.
    Ángulo de la manecilla del minutero: 60-52 minutos. Expresándolo:

    (\frac{2}{12} + \frac{52}{60 \times 12} + \frac{8} {60}) \times 360 = 134

    ¿No es correcto?

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  3. El 252 es un número al que le tengo cariño especial, porque aparte de ser mi cumpleaños (25/2) también es el número de páginas de mi tesis doctoral.

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  4. La manecilla de la hora señala al 2 (10 minutos), la manecilla de los minutos señala dos minutos mas del 10 (equivalente a menos 8 minutos), lo que hace una diferencia entre las dos manecillas de 18 minutos, o lo que es lo mismo, de 42 minutos (según que angulo veamos entre ambas manecillas 60=18+42 ), haciendo una equivalencia entre minutos y grados obtenemos:

    42(min)*6(º/min)=252º

    Siento lo mal que me he explicado, pero estoy medio dormido. Creo que el resultado es correcto

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  5. pues si, salen 134º.

    108º seria el resultado en el caso de que la manecilla de las horas no se moviera del dos, pero al avanzar de forma proporcional al minutero se va acercando al 3 poco a poco y esto hace que el angulo a las 2:52 sea de 134º.

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  6. Bueno, pero supongo que la gracia está en dejar la manecilla de las horas en el 2 xD, y así sale 252º que es el número del que hablamos 😀

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  7. Hola, en el primer comentario de este post, fede comentaba que

    “el número de representaciones como suma de números consecutivos es el número de divisores impares distintos de 1 (fácil de demostrar)”.

    Me parece de interés general que la prueba de este hecho figure aquí. ¿Podría alguien incluirla?

    Es decir, demostrar tres cosas:

    1) si un número N es una potencia de 2, entonces no se puede expresar como suma de naturales consecutivos;

    2) todo divisor impar (distinto de 1) de un número natural N define una secuencia de naturales consecutivos que suman N;

    3) y el recíproco de lo anterior: toda secuencia de naturales que sumen N define (en el mismo sentido que en 2)) un divisor impar de N.

    La demostración del resultado es muy interesante ya que nos permite construir todas las secuencias que sumadas dan el número de partida.

    Este resultado nos dice también que si N=2^\nu\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_s^{\alpha_s} entonces hay (\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_s+1)-1 formas de expresar N como suma de naturales consecutivos.

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  8. Domingo, no valdría con demostrar 2) y 3) ?
    Para nuestra informacion historica, la proposicion aparece en Sylvester (1884) segun la historia de T. de Numeros de Dickson (vol 2, pag 139).

    El resultado es curioso porque efectivamente da como corolarios (creo):

    — un numero es potencia de 2 si y solo si no es representable como suma de 2 o mas enteros consecutivos

    — un numero es primo impar si y solo si es impar y es representable de una unica forma como suma de 2 o mas enteros consecutivos

    — si un numero es representable como suma de 7 numeros consecutivos y como suma de 9 numeros consecutivos (como 252) es representable por lo menos de otras 3 formas como suma de numeros consecutivos.

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  9. En el comentario anterior, donde dice enteros o numeros debe decir enteros positivos, obviamente….

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  10. Sí tienes razón ,fede. De hecho 3) implica 1).

    Sin embargo 3) me parece la más complicada de probar (o al menos a mí fue la más me costó) y 1) la más sencilla.

    ¿Podríamos escribir en este post las demostraciones de los apartados 1), 2) y 3), así como la del tercer corolario que indica fede? Creo que está a nuestro alcance.

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  11. Bueno, ahí va una prueba del siguiente resultado:

    “Sea N un número natural.

    a) Cada divisor impar n\neq 1 de N define una secuencia de naturales consecutivos que suman N.

    b) Además, divisores distintos n_1,n_2 de N definen secuencias distintas.”

    Veamos que sí.

    a) Pongamos N=n\cdot m y n=2k+1, con k\geq 1.

    La secuencia -k, -k+1, \ldots, -1, 0, 1,\ldots, k-1, k suma cero. Sumando m a cada término obtenemos la secuencia:

    -k+m, -k+m+1, \ldots, -1+m, m, m+1, \ldots, k-1+m, k+m

    que suma m\cdot(2k+1)=N.

    La secuencia anterior podría contener números negativos, sin embargo, en tal caso, éstos se cancelarían con sus opuestos quedando una subsecuencia de enteros positivos (que empezaría en k-m+1 y acabaría en k+m) que evidentemente sigue sumando N (pues la suma no se altera al suprimir un número y su opuesto).

    b) Imaginemos que tenemos dos divisores impares de N. Llamémoslos n_i=2k_i+1\geq 3, con k_i\geq 1, i=1,2. Supongamos que k_1\neq k_2 (es decir n_1\neq n_2).

    Si ambos divisores definieran la misma suma (en el sentido de la prueba a)), entonces se tendría que

    k_1+m_1=k_2+m_2,

    donde m_1, m_2 son los cocientes de la división de N entre sus respectivos divisores. Multiplicando esta última igualdad por n_1\cdot n_2 sigue que

    n_1n_2k_1+n_2N=n_1n_2k_2+n_1N

    n_1n_2(k_1-k_2)=N(n_1-n_2)=2N(k_1-k_2).

    Ya que hemos asumido que k_1\neq k_2 debería ser entonces que 2N=n_1n_2 pero esto es absurdo ya que obtenemos un número que por un lado es par y por otro impar.

    Por reducción al absurdo sigue que la secuencias que definen divisores distintos son secuencias distintas.

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  12. Pruebo el recíproco del anterior:

    “Sea N\geq 1.

    a) Si existen a,r\geq 1 tales que a+(a+1)+\ldots+(a+r)=N, entonces existe n\geq 3 divisor impar de N.

    b) La secuencia definida por el divisor n en el sentido de la proposición del post previo coincide con a,(a+1),\ldots,(a+r).

    Veamos que sí.

    a) Sumando la secuencia (progresión aritmética) vemos que N=\frac{(r+1)(2a+r)}{2}. Esta expresión nos indica que N contiene un divisor impar, ya que si r es par entonces r+1 es impar y divide a N; y si r es impar entonces 2a+r es impar y dividiría a N.

    b) Partamos de la expresión N=\frac{(r+1)(2a+r)}{2}.

    i) Si r\geq 1 es par, entonces poniendo r+1=2r_1+1, con r_1\geq 1, tenemos que N=(2k+1)\cdot m con k=r_1 y m=a+r_1. La secuencia que define el factor impar sería

    -k+m,\ldots,k+m que es precisamente a, \ldots, a+2r_1, siendo r=2r_1.

    ii) Si r\geq 1 es impar, poniendo r=2r_1+1, con r_1\geq 0, tenemos que N=(r_1+1)(2(a+r_1)+1)=m(2k+1), donde aquí el factor impar que se considera es 2a+r=2(a+r_1)+1 y además m=(r_1+1) y k=(a+r_1). La secuencia que define esta descomposición de N corresponde según la prueba del post anterior a:

    -(a+r_1)+(r_1+1), -(a+r_1)+(r_1+1)+1,\ldots,(a+r_1)+(r_1+1)

    que simplificada queda

    -a+1,\ldots a+2r_1+1 (=a+r).

    Suprimiendo los términos negativos (y sus opuestos), nos quedamos con la secuencia a,a+1,\ldots, a+r, como se quería demostrar.

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  13. Lo que se ha probado en los dos posts previos es que las expresiones de un número natural dado como suma de naturales consecutivos están en correspondencia biyectiva con los factores impares (distintos de 1) del número en cuestión.

    Lo interesante de la prueba es que es constructiva. Dado un número y sus divisores impares permite construir todas las secuencias de naturales consecutivos que sumadas dan el número original.

    \textbf{Alguien se atreve a hallar todas las expresiones del numero 2007 como suma de enteros consecutivos?}

    Como corolario final se tiene que:

    “Si N=2^\nu\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_s^{\alpha_s} entonces N se expresa de (\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_s+1)-1 formas distintas como suma de naturales consecutivos.”

    En particular se tienen los corolarios de fede:

    – un número es potencia de 2 sii tiene 0 expresiones como suma de naturales consecutivos.

    – un número es primo impar sii se expresa de forma única como suma de naturales consecutivos.

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  14. Bueno, 10 se expresa de forma única (1+2+3+4) y no es primo impar … 🙂

    Y otra demostración de 3):
    A cada representación con sumandos consecutivos de N asociamos un divisor impar de la siguiente forma:

    Si el número de sumandos es impar, ese número de sumandos es divisor impar porque la suma es el numero de sumandos multiplicado por el sumando del medio.

    Si el número de sumandos es par, extendemos la secuencia incluyendo números por delante hasta el 1 y luego el cero y tantos negativos como positivos hayamos añadido. En total añadimos un número impar de nuevos sumandos que se cancelan y tenemos una nueva secuencia con un numero impar de sumandos (en Z) y ese numero es un divisor por lo mismo de antes. ( suma = numero de elementos por termino central )

    Los divisores impares así asociados a diferentes sumas de naturales consecutivos son diferentes pues dos sumas de numeros consecutivos con el mismo numero de sumandos no pueden ser diferentes si suman lo mismo.

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  15. Mmmm interesante por decir lo menos. Son bastante curiosos estos números especiales.
    Miren, les contaré de todas maneras una consideración, que cuando traté de resolver el problema, suponiendo que la manecilla no avanza proporcionalmente (pues sino sería 134º), sino que a cada hora el horario “salta” a la hora siguiente, aun así no da 252º.

    Si me pillan algún error favor avisarme.

    * El reloj tiene 12 horas (números)
    * Como el total son 360º, pues corresponderán 30º a cada número (imagínense una pizza cortada en 12 trozos, cada trozo con un número)
    * En un reloj, los números suelen estar en la mitad del ángulo de su sección circular (su “trozo de piza)”, o sea, están sobre la bisectriz del ángulo del mismo.
    * Por ende, al estar apuntado el horario exactamente al 2 (justo al medio) dividiría a la sección en dos secciones de 15 grados.
    *Luego, el ángulo que separa al minutero del horario sería 15º + (30×8)º + 12º. El 30×8 corresponde a las 8 secciones de 30º entre el 2 y el 11 (sin tomar ni el 2 ni el 11) y el 12º corresponde a los 2 minutos que están dentro de la sección del 11, o sea (2’*360º)/60’=12º
    * Y esto ¿Qué nos da? Bueno, pues un ángulo de 267º.

    Aparentemente no hay nada de particular aquí … pero sigamos.

    Claro está, en este caso fui más “físico” que matemático, pues en condiciones reales, el pundo medio del dibujo donde está escrito el número, correspondería a la bizectriz del sector circular de ese número.

    Ahora lo curioso. Sumemos los dígitos de 267. Nos da 2+6+7=15

    ¿Qué obtenemos si a 267 le restamos 15?

    Parece que la magia de este número está en todas partes.

    Un saludo desde Chile.

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  16. fede, más generalmente, quería decir que el hecho de que un natural se exprese de forma única como suma de naturales consecutivos es equivalente a que dicho natural sea de la forma N=2^\nu\cdot p, con p primo impar. Esto en particular se aplica a tu ejemplo con el 10.

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  17. Ya puestos, una consideración sobre las representaciones cono suma de 4 cuadrados.
    Si consideramos como diferentes las soluciones con términos en diferente orden, las soluciones para 252 del post generan 24+24+12+12+12+12+4 = 100 diferentes permutaciones que son solución. Si además consideramos soluciones con términos en Z, multiplicamos la cifra anterior por 16 porque cada término de los 4 de cada solución puede ser positivo o negativo. Tenemos en el post entonces 1600 soluciones en Z, si no me he equivocado.

    Pero es un teorema el hecho de que el numero de estas soluciones para cualquier numero es 8 veces la suma de los divisores que no son múltiplos de 4, es decir para un numero par es 24 veces la suma de los divisores impares.
    Para 252, sería (1+3+7+9+21+63) * 24 = 104*24 = 2496.

    De donde se concluye que quedan 2496-1600 = 896 representaciones de 252 como suma de 4 cuadrados (en Z) por desvelar.

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  18. También podemos saber, sin obtenerlas, que las representaciones que faltan de 252 como suma de 4 cuadrados tienen todos los términos impares.

    Porque es un teorema que el número de representaciones como suma de 4 cuadrados en que los términos son impares positivos de un numero de la forma 4*impar (como 252 = 4*63), es la suma de los divisores impares, que en el caso de 252 es 104.
    Pero las soluciones con todos los términos impares que figuran en el post: (1,7,9,11), (1,1,9,13) y (1,1,5,15) generan, considerando como soluciones diferentes las obtenidas permutando el orden de los términos, 24+12+12=48 soluciones.
    Por tanto faltan 104-48=56 para llegar a las 104 que hay en total.
    Pero estas soluciones que faltan dan lugar a 16*56 soluciones en que los términos pueden ser positivos o negativos, y como 16*56 = 896, agotan todas las soluciones que faltan según el comentario anterior.

    Por tanto todas las soluciones que faltan tienen los terminos impares.
    Espero que no haya quedado demasiado confuso.

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  19. Para las sumas de 4 cuadrados, tanteando de encuentran las soluciones:
    (15,3,3,3), (3,9,9,9), (11,11,3,1), (11,9,5,5) y (13,7,5,3).

    Estas generan 4+4+12+12+24 = 56 soluciones, si consideramos el orden de los términos, y por lo dicho en comentario anterior agotan todas las soluciones que faltan.
    Por tanto hay 12 representaciones esencialmente diferentes de 252 como suma de 4 cuadrados: las 7 que figuran en el post y las 5 que aparecen en este comentario.

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  20. Y qué ángulo forman las manecillas del reloj a las 3 y 15?

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  21. ANGULO DE LAS MANECILLAS A LAS TRES Y CUARTO.
    La aguja horaria está entre las 3 y las 4, exactamente a 97,5º de las 12. La minutera está exactamente en las 3, a 90º de las 12. Por lo tanto entre ellas forman un ángulo de 7,5º.
    Me parece demasiado sencillo. ¿Hay truco?.

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  22. porque la suma de tres numeros concecutivos resulta un múltiplo de tres?… se pide demostracion

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  23. ¿ cual de estos numeros no tiene divisor de 1 y del mismo numero?

    23 – 8 – 18 – 27 – 5 – 19.

    ayudenme por favor

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  24. alguien me puede ayudar por favor ¿ cual de estos numeros no tiene divisor de 1 y del mismo numero?

    23 8 18 27 5 19

    por favor ayuda no encuentro la respuesta

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  25. Jaime:
    No entiendo bién tu pregunta, ya que todos los números naturales son divisibles por sí mismos y por la unidad. En cuanto a los números que presentás vemos que 5, 19 y 23 son números primos, es decir tienen sólo 2 divisores, por lo tanto son unicamente divisibles por sí mismos y por la unidad. Los restantes números son compuestos ya que tienen más de 2 divisores. Espero que te haya servido este comentario.

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  26. hola!alguien me puede decir cual es la mitad de 2 elevado a 215?gracias!

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  27. La mitad de {2}^{215} es {2}^{214} ya que \frac{{2}^{215}}{2}  es lo mismo que \frac{{2}^{215}}{{2}^{1}} = {2}^{215-1}={2}^{214} .
    Por otra parte la mitad de 2, que es \frac{2}{2}={1}  elevado a cualquier número real es 1. Por tanto \left ( \frac{2}{2} \right )    ^{215}={1} .
    Supongo que tu duda iba más por la solución de arriba, pero he escrito la otra solución para que veas lo que cambia un número a otro por unos simples paréntesis.

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  28. URGENTE:
    Expresa los numeros 54 y 85 como la suma de cuatro cuadrados.

    Rapido

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  29. necesito saber cual es la mitad de 2 elevado a 215 como habia puesto un chico antes en forma de fraccion

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  30. La respuesta a el angulo que forma la hora 2:52 es 252° realizado de la siguiente manera:

    la hora en el cuadrante de un reloj esta representada por
    1 = 30°
    2 = 60°
    3 = 90°
    4 = 120°
    5 = 150°
    6 = 180°
    7 = 210°
    8 = 240°
    9 = 270°
    10 = 300°
    11 = 330°
    12 = 360°

    Cada minuto representa 6°

    Conclusión :
    Si realizamos la resta entre 312° que representan los 52 minutos menos 60° que representa las 2 horas, nos da como resultado 252°

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