Curiosidades sobre algunas funciones complejas

Introducción

Como ya hemos visto en alguna ocasión los números complejos son un conjunto fascinante donde además ciertas propiedades de los números reales dejan de cumplirse o cambian de forma. Un ejemplo claro de ello es la imposibilidad de definir en \mathbb{C} un orden total coherente con las operaciones y con el orden de los números reales, hecho que vimos en este artículo.

Las funciones definidas sobre los números complejos tampoco se salvan de esto. Generalmente cumplen muchas de las propiedades que cumplen las correspondientes en \mathbb{R}, pero habitualmente aparece algún detalle que hace perdamos algo (o que ganemos). En este artículo vamos a ver tres funciones complejas y las compararemos con las reales para que se aprecien dichos cambios.

Seno y coseno complejos

Las dos primeras funciones complejas que vamos a presentar son el seno y el coseno complejos. Vamos a definirlas:

\begin{matrix} sen(z)=\cfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \\ cos(z)=\cfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \end{matrix}

Quien no las conociera seguro que está sorprendido (al menos yo me sorprendí de que estas definiciones fueran tan extrañas). De hecho sería normal intentar buscar qué diabólico artificio matemático ha hecho que dos funciones trigonométricas sencillas en los números reales deriven en estas definiciones en los números complejos. Y también sería lógico no encontrarlo. Vamos a darle luz al asunto.

La clave de estas estas definiciones es la fórmula de Euler (cuya demostración vimos en este artículo):

e^{iz}=cos(z)+i sen(z)

Sustituimos en ella z por -z

e^{-iz}=cos(z)-i sen(z)

Y ahora operamos en cada una de las expresiones anteriores. Para la primera:

\begin{matrix} \cfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\cfrac{cos(z)+isen(z)-cos(z)+isen(z)}{2i}= \\ =\cfrac{2isen(z)}{2i}=sen(z) \end{matrix}

Y para la segunda:

\begin{matrix} \cfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cfrac{cos(z)+isen(z)+cos(z)-isen(z)}{2}= \\ =\cfrac{2cos(z)}{2}=cos(z) \end{matrix}

Por tanto las dos definiciones son coherentes.

Evidentemente por ello también se cumple que son coherentes con el seno y coseno reales (es decir, que cuando las utilizamos para calcular el seno o el coseno de un número real el resultado es el mismo que si realizáramos el cálculo de la manera habitual). Pero esto no significa que mantengan las mismas propiedades.

Sabemos que el seno y el coseno reales están acotados entre -1 y 1 (es decir, el seno y el coseno de un número real no pueden tomar ningún valor que no esté entre -1 y 1). Pero en los números complejos perdemos esta acotación. Las funciones seno y coseno complejos no están acotadas. Por ello existen números complejos cuyo coseno es 2, 3, etc.

De todas formas no lo hemos perdido todo. Generalmente las identidades trigonométricas que se cumplen en los números reales sí se mantienen en los números complejos. Por ejemplo, la famosa identidad

cos^2 (z)+sen^2 (z)=1

se sigue manteniendo en \mathbb{C}. Las fórmulas relativas al coseno y al seno de una suma también se cumplen en los números complejos.

Logaritmo complejo

La última función compleja de la que vamos a hablar es el logaritmo complejo. Partiendo de que de todo número complejo z se puede calcular su módulo, |z|, y su argumento principal, arg(z) (como vimos en este artículo), el logaritmo complejo se define de la siguiente forma:

log(z)=ln(|z|)+i(arg(z)+2k \pi); \; \mbox{con } k \in \mathbb{Z}

Para empezar, ya no hay sólo un logaritmo, sino que hay infinitos (porque un número complejo tiene infinitos argumentos). De todas formas, por norma general suele considerar la que se denomina rama principal del logaritmo (o simplemente logaritmo principal), que es el siguiente:

log(z)=ln(|z|)+i arg(z)

Lo primero de lo que nos damos cuenta a partir de esta definición es que el logaritmo complejo se es una extensión razonable del logaritmo neperiano real en el sentido de que los dos dan el mismo resultado al aplicarlos a un número real positivo (recordemos que el logaritmo neperiano real sólo está definido para los números reales positivo y que arg(z)=0, si z \in \mathbb{R}^+). Pero además hemos ganado lo siguiente:

Podemos calcular el logaritmo complejo de todo número complejo distinto de cero.

En particular, podemos calcular el logaritmo complejo de un número real negativo. El resultado, evidentemente, no será un número real, pero bueno, al menos lo podemos calcular. De hecho, dado x < 0[/latex], su logaritmo complejo tiene el siguiente valor:    <p align="center">[latex]log(x)=ln(-x)+i \pi

ya que el argumento principal de un número real negativo es \pi.

El logaritmo complejo también sigue cumpliendo las propiedades del logaritmo real, además de seguir siendo la función inversa de la exponencial compleja. Estos hechos nos sirve para poder definir la potencia compleja.

Dados z,w \in \mathbb{C}, se define z^w como sigue:

z^w=e^{wlog(z)}

Esta definición de la potencia compleja hace que dicha función sea bastante manejable.


¿Conocéis más propiedades curiosas o interesantes de estas funciones? ¿Y otras funciones complejas dignas de mención? Los comentarios, como siempre, son vuestros.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.