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Curiosidades sobre algunas funciones complejas

Introducción

Como ya hemos visto en alguna ocasión los números complejos son un conjunto fascinante donde además ciertas propiedades de los números reales dejan de cumplirse o cambian de forma. Un ejemplo claro de ello es la imposibilidad de definir en \mathbb{C} un orden total coherente con las operaciones y con el orden de los números reales, hecho que vimos en este artículo.

Las funciones definidas sobre los números complejos tampoco se salvan de esto. Generalmente cumplen muchas de las propiedades que cumplen las correspondientes en \mathbb{R}, pero habitualmente aparece algún detalle que hace perdamos algo (o que ganemos). En este artículo vamos a ver tres funciones complejas y las compararemos con las reales para que se aprecien dichos cambios.

Seno y coseno complejos

Las dos primeras funciones complejas que vamos a presentar son el seno y el coseno complejos. Vamos a definirlas:

\begin{matrix} sen(z)=\cfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \\ cos(z)=\cfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \end{matrix}

Quien no las conociera seguro que está sorprendido (al menos yo me sorprendí de que estas definiciones fueran tan extrañas). De hecho sería normal intentar buscar qué diabólico artificio matemático ha hecho que dos funciones trigonométricas sencillas en los números reales deriven en estas definiciones en los números complejos. Y también sería lógico no encontrarlo. Vamos a darle luz al asunto.

La clave de estas estas definiciones es la fórmula de Euler (cuya demostración vimos en este artículo):

e^{iz}=cos(z)+i sen(z)

Sustituimos en ella z por -z

e^{-iz}=cos(z)-i sen(z)

Y ahora operamos en cada una de las expresiones anteriores. Para la primera:

\begin{matrix} \cfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\cfrac{cos(z)+isen(z)-cos(z)+isen(z)}{2i}= \\ =\cfrac{2isen(z)}{2i}=sen(z) \end{matrix}

Y para la segunda:

\begin{matrix} \cfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cfrac{cos(z)+isen(z)+cos(z)-isen(z)}{2}= \\ =\cfrac{2cos(z)}{2}=cos(z) \end{matrix}

Por tanto las dos definiciones son coherentes.

Evidentemente por ello también se cumple que son coherentes con el seno y coseno reales (es decir, que cuando las utilizamos para calcular el seno o el coseno de un número real el resultado es el mismo que si realizáramos el cálculo de la manera habitual). Pero esto no significa que mantengan las mismas propiedades.

Sabemos que el seno y el coseno reales están acotados entre -1 y 1 (es decir, el seno y el coseno de un número real no pueden tomar ningún valor que no esté entre -1 y 1). Pero en los números complejos perdemos esta acotación. Las funciones seno y coseno complejos no están acotadas. Por ello existen números complejos cuyo coseno es 2, 3, etc.

De todas formas no lo hemos perdido todo. Generalmente las identidades trigonométricas que se cumplen en los números reales sí se mantienen en los números complejos. Por ejemplo, la famosa identidad

cos^2 (z)+sen^2 (z)=1

se sigue manteniendo en \mathbb{C}. Las fórmulas relativas al coseno y al seno de una suma también se cumplen en los números complejos.

Logaritmo complejo

La última función compleja de la que vamos a hablar es el logaritmo complejo. Partiendo de que de todo número complejo z se puede calcular su módulo, |z|, y su argumento principal, arg(z) (como vimos en este artículo), el logaritmo complejo se define de la siguiente forma:

log(z)=ln(|z|)+i(arg(z)+2k \pi); \; \mbox{con } k \in \mathbb{Z}

Para empezar, ya no hay sólo un logaritmo, sino que hay infinitos (porque un número complejo tiene infinitos argumentos). De todas formas, por norma general suele considerar la que se denomina rama principal del logaritmo (o simplemente logaritmo principal), que es el siguiente:

log(z)=ln(|z|)+i arg(z)

Lo primero de lo que nos damos cuenta a partir de esta definición es que el logaritmo complejo se es una extensión razonable del logaritmo neperiano real en el sentido de que los dos dan el mismo resultado al aplicarlos a un número real positivo (recordemos que el logaritmo neperiano real sólo está definido para los números reales positivo y que arg(z)=0, si z \in \mathbb{R}^+). Pero además hemos ganado lo siguiente:

Podemos calcular el logaritmo complejo de todo número complejo distinto de cero.

En particular, podemos calcular el logaritmo complejo de un número real negativo. El resultado, evidentemente, no será un número real, pero bueno, al menos lo podemos calcular. De hecho, dado x < 0, su logaritmo complejo tiene el siguiente valor:

log(x)=ln(-x)+i \pi

ya que el argumento principal de un número real negativo es \pi.

El logaritmo complejo también sigue cumpliendo las propiedades del logaritmo real, además de seguir siendo la función inversa de la exponencial compleja. Estos hechos nos sirve para poder definir la potencia compleja.

Dados z,w \in \mathbb{C}, se define z^w como sigue:

z^w=e^{wlog(z)}

Esta definición de la potencia compleja hace que dicha función sea bastante manejable.

¿Conocéis más propiedades curiosas o interesantes de estas funciones? ¿Y otras funciones complejas dignas de mención? Los comentarios, como siempre, son vuestros.

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Autor: ^DiAmOnD^  |  Publicado el 8 de febrero de 2010
Categorías: Números complejos  |  Imprime este post Imprime este post

15 comentarios

  1. Jones, Francisco | 8 de febrero de 2010 | 09:39

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    Ese gran hombre que fue Leonhard Euler…

  2. josejuan | 8 de febrero de 2010 | 10:14

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    En R, una función puede no ser derivable, serlo un número finito de veces o serlo infinitas veces. Si una función es derivable una única vez en el plano complejo, entonces, es derivable infinitas veces en la recta real.

    Otra que no relaciona los reales con los complejos pero que a mí me sorprendió la primera vez que la ví fué la teoría local y global de Cauchy, me pareció fantástica esa forma de exprimir información local/global para obtener información global/local. Por poner un ejemplo, si tenemos un camino cerrado \Gamma en el plano complejo, entonces, para cualquier punto ‘a’ del plano complejo que no pertenezca a \Gamma, la siguiente integral nos devuelve el número de vueltas que dicho camino realiza alrededor del punto ‘a’, por supuesto el resultado de dicha integral ¡siempre es entera!.

    Ind_{\Gamma }(a)=\int_{\Gamma }\frac{dz}{z-a}

  3. bibliotranstornado | 8 de febrero de 2010 | 10:23

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    En «El camino de la realidad», Penrose destaca la multievaluación de la función logaritmo como una de sus características más interesantes.

    Y la has ninguneado vilmente.

    ¡Feliz carnaval!

  4. Marco! | 8 de febrero de 2010 | 13:06

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    El coseno complejo no debería tener como denominador 2i en vez de 2 ?

    Me causó bastante asombro ver que las funciones trigonométricas complejas y las funciones trigonométricas hiperbólicas son las mismas, sólo que unas en C y otras en R..

    Interesante :P Y yo que nunca entendí para qué servía el seno hiperbólico..

    Saludos

  5. Marco! | 8 de febrero de 2010 | 13:08

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    Ah, que gil, no dije nada, está bien :p Dije una boludé

  6. Carlos | 8 de febrero de 2010 | 15:28

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    Tratar de obtener magnitudes físicas a través de medidas y ecuaciones que requieran la utilizacion del logaritmo de un numero complejo se vuelve un autentico quebradero de cabeza.

    ¿Cómo se puede determinar cual es la rama adecuada del logaritmo cuando varias (incluso infinitas) soluciones del mismo producen resultados fisicamente posibles?

    Esta pregunta está retrasando un tiempo indefinido mi proyecto de fin de carrera sobre metamateriales.

  7. orlin | 8 de febrero de 2010 | 15:59

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    En mi opinión, los resultados físicos deben ser independientes de la rama del logarítmo (fase del número complejo), a no ser que ese comportamiento se pueda definir en algún tipo de condición inicial o de contorno.

  8. josejuan | 8 de febrero de 2010 | 17:18

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    “Carlos”, estoy con “orlin” y creo que, o algo no has visto, o intentas ver algo que no existe.

    Por ejemplo, si tenemos la identidad

    y=\cos x

    y fijas el valor de y, entonces existen infinitas soluciones (valores de x) posibles.

    Si no nos sirve cualquier valor (de los “válidos”) de x, entonces es que nos falta alguna ecuación (p.e 0\preceq x\prec \pi ) o que no hemos terminado el trabajo.

    Pero, por ejemplo, si se trata de buscar el ángulo que debe tener cierto cañón (por decir algo) cualquier x nos valdrá (será solución válida), aunque quizás no sea muy cómodo decir que x=498572.123 y sea mejor decir x=1.\,\allowbreak 368\,9.

    El cuidado que debe tenerse, viene de que no es lo mismo a la hora de realizar los cálculos tomar una solución u otra, es decir, como solución son todas válidas, pero para hacer según que operación no.

    Siguiendo con el ejemplo, si y=0.707\,11 entonces, cualquier solución de la forma x=2\pi N\pm \frac{\pi }{4} es válida (con N entero) sin embargo, si dicho ángulo debemos sumarlo a otro (o restarlo) ¡entonces ya no podemos tomar cualquier ángulo!, por decirlo de alguna forma, al sumar (restar, …) dichos ángulos, éstos deberán pertenecer a la “misma familia de soluciones” (por supuesto no es lo mismo a un ángulo dado sumar \frac{\pi }{4} o sumar -\frac{\pi }{4} aun cuando ambos valores son solución de la ecuación inicial).

  9. roldan | 8 de febrero de 2010 | 17:25

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    a mi lo que mas sorprendio del calculo complejo es que el comportamiento de una funcion sobre los numeros complejos afecte a su comportamiento como funcion real, es decir que el comportamiento de ciertas fuciones reales necesite de su estudio como funcion compleja para comprender su comportamiento.
    Posiblemente esto esto relacionado con las profundas conexiones que hay entre algebra, topologia y analisis.
    Respecto a la exponecial y las funciones trigonometricas fijaos que
    exp(iz), cos(z), sen(z) satisfacen la misma ecuacion diferencial lineal de 2 orden luego no pueden ser linealmente independientes.
    Para obtener los coeficientes basta tener en cuenta que cos(0)=1 y sen(0)=0. El coeficiente del coseno se obtiene directo, el otro derivando.
    De hecho el mejor punto de partida me parece definir exp(z) como la funcion cuya derivada es igual a ella misma, y en 0 vale 1.
    Como consecuencia de ello, es analitica en todo C y ademas podemos obtener el resto de funciones como combinaciones lineales de ella y obtener sus expresiones en forma de serie.

    En fisica, todas las medidas son numeros reales, incluso en cuantica, de ahi que debes quedarte con la rama principal del logaritmos.
    Otra cosa más rara fue lo que le ocurrio a Dirac que su ecuacion predecia estados fisicamente imposibles y luego resulto que acaba de postular la antimaateria.

  10. Ricardo | 8 de febrero de 2010 | 18:00

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    El logaritmo complejo también sigue cumpliendo las propiedades del logaritmo real, además de seguir siendo la función inversa de la exponencial compleja.

    Hay que tener mucho cuidado con este enunciado, ya que solo es cierto si consideramos al logaritmo como una función multivaluada. Por ejemplo, la identidad clásica \log(x^2) = 2\log x, válida para todo x positivo si \log es el logaritmo natural, es falsa para la rama principal del logaritmo: si z = -x < 0, entonces \log (z^2) = \log (x^2) = 2 \log x, pero 2\log z = 2\log x + 2\pi i.

    De la misma forma para la función exponencial, aunque es cierto que e^{\log z} = z, es falso que \log (e^z) = z. Así que el logaritmo complejo no es precisamente una función inversa para la exponencial.

  11. toniii | 9 de febrero de 2010 | 00:22

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    La propiedad que comentas al final de z^{w}=e^{w log(z)} la solemos usar bastante al resolver indeterminaciones de sucesiones del tipo \infty^{0}, 0^{0}, 1^{\infty} …. Para que quedara claro que no es exclusivo de números complejos, que también se puede aplicar a, por ejemplo, sucesiones

  12. Tito Eliatron | 9 de febrero de 2010 | 12:25

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    Voy a recomendar a mis alumnos de Métodos Matemáticos de la Física II este post. Que en este parcial nos llevaremos 5 semanas con la variable Compleja

  13. smart | 9 de febrero de 2010 | 17:23

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    Carlos, desconozco el tema de tu PFC y me gustaría si pudieras dar más información. En general me resulta fascinante cómo determinados problemas del “mundo real” han de pasar por el plano complejo para poder ser resueltos (Hadamard Dixit) y finalmente retornar a la realidad.

    Estoy de acuerdo con Roldan en que en las magnitudes físicas son todas reales.

  14. zplot | 23 de febrero de 2010 | 14:39

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    Las magnitudes físicas no necesariamente son reales. Es pura convención. me explico: La física lo que hace es asociar una magnitud física a la estructura matemática más conveniente en cada caso, lo cual no siempre es el cuerpo de los reales. Los números reales no olvidemos que son un conjunto de números que cumplen una serie de axiomas, nada más. Ejemplos de magnitudes físicas asociadas a entes matemáticos diferentes de los reales: El plano puede asociarse a los complejos, las rotaciones en 3D a las matrices ortogonales 3×3, las rotaciones en 2d a SO(2), el estado de una partícula a un vector de un espacio de Hilbert, las simetrías de un polihedro a un elemento de un grupo finito, etc.

    Exactamente igual de convencional es el cuerpo de los reales que cualquier otra estructura matemática. Decir que las magnitudes físicas son todas reales no tiene demasiado sentido si se analiza su significado en detalle.

  15. renato jesus | 20 de marzo de 2010 | 21:31

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    muy interesante el post,excelente!!

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