Comments on: Curiosidades sobre algunas funciones complejas http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: renato jesus http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comment-13401 renato jesus Sat, 20 Mar 2010 19:31:41 +0000 http://gaussianos.com/?p=2209#comment-13401 muy interesante el post,excelente!! muy interesante el post,excelente!!

]]> By: zplot http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comment-13400 zplot Tue, 23 Feb 2010 12:39:27 +0000 http://gaussianos.com/?p=2209#comment-13400 Las magnitudes físicas no necesariamente son reales. Es pura convención. me explico: La física lo que hace es asociar una magnitud física a la estructura matemática más conveniente en cada caso, lo cual no siempre es el cuerpo de los reales. Los números reales no olvidemos que son un conjunto de números que cumplen una serie de axiomas, nada más. Ejemplos de magnitudes físicas asociadas a entes matemáticos diferentes de los reales: El plano puede asociarse a los complejos, las rotaciones en 3D a las matrices ortogonales 3x3, las rotaciones en 2d a SO(2), el estado de una partícula a un vector de un espacio de Hilbert, las simetrías de un polihedro a un elemento de un grupo finito, etc. Exactamente igual de convencional es el cuerpo de los reales que cualquier otra estructura matemática. Decir que las magnitudes físicas son todas reales no tiene demasiado sentido si se analiza su significado en detalle. Las magnitudes físicas no necesariamente son reales. Es pura convención. me explico: La física lo que hace es asociar una magnitud física a la estructura matemática más conveniente en cada caso, lo cual no siempre es el cuerpo de los reales. Los números reales no olvidemos que son un conjunto de números que cumplen una serie de axiomas, nada más. Ejemplos de magnitudes físicas asociadas a entes matemáticos diferentes de los reales: El plano puede asociarse a los complejos, las rotaciones en 3D a las matrices ortogonales 3×3, las rotaciones en 2d a SO(2), el estado de una partícula a un vector de un espacio de Hilbert, las simetrías de un polihedro a un elemento de un grupo finito, etc.

Exactamente igual de convencional es el cuerpo de los reales que cualquier otra estructura matemática. Decir que las magnitudes físicas son todas reales no tiene demasiado sentido si se analiza su significado en detalle.

]]> By: smart http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comment-13399 smart Tue, 09 Feb 2010 15:23:06 +0000 http://gaussianos.com/?p=2209#comment-13399 Carlos, desconozco el tema de tu PFC y me gustaría si pudieras dar más información. En general me resulta fascinante cómo determinados problemas del "mundo real" han de pasar por el plano complejo para poder ser resueltos (Hadamard Dixit) y finalmente retornar a la realidad. Estoy de acuerdo con Roldan en que en las magnitudes físicas son todas reales. Carlos, desconozco el tema de tu PFC y me gustaría si pudieras dar más información. En general me resulta fascinante cómo determinados problemas del “mundo real” han de pasar por el plano complejo para poder ser resueltos (Hadamard Dixit) y finalmente retornar a la realidad.

Estoy de acuerdo con Roldan en que en las magnitudes físicas son todas reales.

]]> By: Tito Eliatron http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comment-13398 Tito Eliatron Tue, 09 Feb 2010 10:25:23 +0000 http://gaussianos.com/?p=2209#comment-13398 Voy a recomendar a mis alumnos de Métodos Matemáticos de la Física II este post. Que en este parcial nos llevaremos 5 semanas con la variable Compleja Voy a recomendar a mis alumnos de Métodos Matemáticos de la Física II este post. Que en este parcial nos llevaremos 5 semanas con la variable Compleja

]]> By: toniii http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comment-13397 toniii Mon, 08 Feb 2010 22:22:42 +0000 http://gaussianos.com/?p=2209#comment-13397 La propiedad que comentas al final de $latex z^{w}=e^{w log(z)}$ la solemos usar bastante al resolver indeterminaciones de sucesiones del tipo $latex \infty^{0}, 0^{0}, 1^{\infty}$ .... Para que quedara claro que no es exclusivo de números complejos, que también se puede aplicar a, por ejemplo, sucesiones La propiedad que comentas al final de z^{w}=e^{w log(z)} la solemos usar bastante al resolver indeterminaciones de sucesiones del tipo \infty^{0}, 0^{0}, 1^{\infty} …. Para que quedara claro que no es exclusivo de números complejos, que también se puede aplicar a, por ejemplo, sucesiones

]]> By: Ricardo http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comment-13396 Ricardo Mon, 08 Feb 2010 16:00:21 +0000 http://gaussianos.com/?p=2209#comment-13396 <blockquote>El logaritmo complejo también sigue cumpliendo las propiedades del logaritmo real, además de seguir siendo la función inversa de la exponencial compleja.</blockquote> Hay que tener mucho cuidado con este enunciado, ya que solo es cierto si consideramos al logaritmo como una función <b>multivaluada</b>. Por ejemplo, la identidad clásica $latex \log(x^2) = 2\log x$, válida para todo $latex x$ positivo si $latex \log$ es el logaritmo natural, es falsa para la rama principal del logaritmo: si $latex z = -x < 0$, entonces $latex \log (z^2) = \log (x^2) = 2 \log x$, pero $latex 2\log z = 2\log x + 2\pi i$. De la misma forma para la función exponencial, aunque es cierto que $latex e^{\log z} = z$, es falso que $latex \log (e^z) = z$. Así que el logaritmo complejo no es precisamente una función inversa para la exponencial.

El logaritmo complejo también sigue cumpliendo las propiedades del logaritmo real, además de seguir siendo la función inversa de la exponencial compleja.

Hay que tener mucho cuidado con este enunciado, ya que solo es cierto si consideramos al logaritmo como una función multivaluada. Por ejemplo, la identidad clásica \log(x^2) = 2\log x, válida para todo x positivo si \log es el logaritmo natural, es falsa para la rama principal del logaritmo: si z = -x < 0, entonces \log (z^2) = \log (x^2) = 2 \log x, pero 2\log z = 2\log x + 2\pi i.

De la misma forma para la función exponencial, aunque es cierto que e^{\log z} = z, es falso que \log (e^z) = z. Así que el logaritmo complejo no es precisamente una función inversa para la exponencial.

]]> By: roldan http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comment-13395 roldan Mon, 08 Feb 2010 15:25:34 +0000 http://gaussianos.com/?p=2209#comment-13395 a mi lo que mas sorprendio del calculo complejo es que el comportamiento de una funcion sobre los numeros complejos afecte a su comportamiento como funcion real, es decir que el comportamiento de ciertas fuciones reales necesite de su estudio como funcion compleja para comprender su comportamiento. Posiblemente esto esto relacionado con las profundas conexiones que hay entre algebra, topologia y analisis. Respecto a la exponecial y las funciones trigonometricas fijaos que exp(iz), cos(z), sen(z) satisfacen la misma ecuacion diferencial lineal de 2 orden luego no pueden ser linealmente independientes. Para obtener los coeficientes basta tener en cuenta que cos(0)=1 y sen(0)=0. El coeficiente del coseno se obtiene directo, el otro derivando. De hecho el mejor punto de partida me parece definir exp(z) como la funcion cuya derivada es igual a ella misma, y en 0 vale 1. Como consecuencia de ello, es analitica en todo C y ademas podemos obtener el resto de funciones como combinaciones lineales de ella y obtener sus expresiones en forma de serie. En fisica, todas las medidas son numeros reales, incluso en cuantica, de ahi que debes quedarte con la rama principal del logaritmos. Otra cosa más rara fue lo que le ocurrio a Dirac que su ecuacion predecia estados fisicamente imposibles y luego resulto que acaba de postular la antimaateria. a mi lo que mas sorprendio del calculo complejo es que el comportamiento de una funcion sobre los numeros complejos afecte a su comportamiento como funcion real, es decir que el comportamiento de ciertas fuciones reales necesite de su estudio como funcion compleja para comprender su comportamiento.
Posiblemente esto esto relacionado con las profundas conexiones que hay entre algebra, topologia y analisis.
Respecto a la exponecial y las funciones trigonometricas fijaos que
exp(iz), cos(z), sen(z) satisfacen la misma ecuacion diferencial lineal de 2 orden luego no pueden ser linealmente independientes.
Para obtener los coeficientes basta tener en cuenta que cos(0)=1 y sen(0)=0. El coeficiente del coseno se obtiene directo, el otro derivando.
De hecho el mejor punto de partida me parece definir exp(z) como la funcion cuya derivada es igual a ella misma, y en 0 vale 1.
Como consecuencia de ello, es analitica en todo C y ademas podemos obtener el resto de funciones como combinaciones lineales de ella y obtener sus expresiones en forma de serie.

En fisica, todas las medidas son numeros reales, incluso en cuantica, de ahi que debes quedarte con la rama principal del logaritmos.
Otra cosa más rara fue lo que le ocurrio a Dirac que su ecuacion predecia estados fisicamente imposibles y luego resulto que acaba de postular la antimaateria.

]]> By: josejuan http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comment-13394 josejuan Mon, 08 Feb 2010 15:18:09 +0000 http://gaussianos.com/?p=2209#comment-13394 "Carlos", estoy con "orlin" y creo que, o algo no has visto, o intentas ver algo que no existe. Por ejemplo, si tenemos la identidad $latex y=\cos x$ y fijas el valor de $latex y$, entonces existen infinitas soluciones (valores de $latex x$) posibles. Si no nos sirve cualquier valor (de los "válidos") de $latex x$, entonces es que nos falta alguna ecuación (p.e $latex 0\preceq x\prec \pi $) o que no hemos terminado el trabajo. Pero, por ejemplo, si se trata de buscar el ángulo que debe tener cierto cañón (por decir algo) cualquier $latex x$ nos valdrá (será solución válida), aunque quizás no sea muy cómodo decir que $latex x=498572.123$ y sea mejor decir $latex x=1.\,\allowbreak 368\,9$. El cuidado que debe tenerse, viene de que no es lo mismo a la hora de realizar los cálculos tomar una solución u otra, es decir, como solución son todas válidas, pero para hacer según que operación no. Siguiendo con el ejemplo, si $latex y=0.707\,11$ entonces, cualquier solución de la forma $latex x=2\pi N\pm \frac{\pi }{4}$ es válida (con N entero) sin embargo, si dicho ángulo debemos sumarlo a otro (o restarlo) ¡entonces ya no podemos tomar cualquier ángulo!, por decirlo de alguna forma, al sumar (restar, ...) dichos ángulos, éstos deberán pertenecer a la "misma familia de soluciones" (por supuesto no es lo mismo a un ángulo dado sumar $latex \frac{\pi }{4}$ o sumar $latex -\frac{\pi }{4}$ aun cuando ambos valores son solución de la ecuación inicial). “Carlos”, estoy con “orlin” y creo que, o algo no has visto, o intentas ver algo que no existe.

Por ejemplo, si tenemos la identidad

y=\cos x

y fijas el valor de y, entonces existen infinitas soluciones (valores de x) posibles.

Si no nos sirve cualquier valor (de los “válidos”) de x, entonces es que nos falta alguna ecuación (p.e 0\preceq x\prec \pi ) o que no hemos terminado el trabajo.

Pero, por ejemplo, si se trata de buscar el ángulo que debe tener cierto cañón (por decir algo) cualquier x nos valdrá (será solución válida), aunque quizás no sea muy cómodo decir que x=498572.123 y sea mejor decir x=1.\,\allowbreak 368\,9.

El cuidado que debe tenerse, viene de que no es lo mismo a la hora de realizar los cálculos tomar una solución u otra, es decir, como solución son todas válidas, pero para hacer según que operación no.

Siguiendo con el ejemplo, si y=0.707\,11 entonces, cualquier solución de la forma x=2\pi N\pm \frac{\pi }{4} es válida (con N entero) sin embargo, si dicho ángulo debemos sumarlo a otro (o restarlo) ¡entonces ya no podemos tomar cualquier ángulo!, por decirlo de alguna forma, al sumar (restar, …) dichos ángulos, éstos deberán pertenecer a la “misma familia de soluciones” (por supuesto no es lo mismo a un ángulo dado sumar \frac{\pi }{4} o sumar -\frac{\pi }{4} aun cuando ambos valores son solución de la ecuación inicial).

]]> By: orlin http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comment-13393 orlin Mon, 08 Feb 2010 13:59:43 +0000 http://gaussianos.com/?p=2209#comment-13393 En mi opinión, los resultados físicos deben ser independientes de la rama del logarítmo (fase del número complejo), a no ser que ese comportamiento se pueda definir en algún tipo de condición inicial o de contorno. En mi opinión, los resultados físicos deben ser independientes de la rama del logarítmo (fase del número complejo), a no ser que ese comportamiento se pueda definir en algún tipo de condición inicial o de contorno.

]]> By: Carlos http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comment-13392 Carlos Mon, 08 Feb 2010 13:28:29 +0000 http://gaussianos.com/?p=2209#comment-13392 Tratar de obtener magnitudes físicas a través de medidas y ecuaciones que requieran la utilizacion del logaritmo de un numero complejo se vuelve un autentico quebradero de cabeza. ¿Cómo se puede determinar cual es la rama adecuada del logaritmo cuando varias (incluso infinitas) soluciones del mismo producen resultados fisicamente posibles? Esta pregunta está retrasando un tiempo indefinido mi proyecto de fin de carrera sobre metamateriales. Tratar de obtener magnitudes físicas a través de medidas y ecuaciones que requieran la utilizacion del logaritmo de un numero complejo se vuelve un autentico quebradero de cabeza.

¿Cómo se puede determinar cual es la rama adecuada del logaritmo cuando varias (incluso infinitas) soluciones del mismo producen resultados fisicamente posibles?

Esta pregunta está retrasando un tiempo indefinido mi proyecto de fin de carrera sobre metamateriales.

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