Curvatura de una función de una variable

Vamos con el post-respuesta a la encuesta que puse hace unos días.

Comencemos con los resultados, que en el momento en el que escribo, con 493 votos, son los siguientes:

Resultados encuesta

Y ahora os pongo la solución correcta:

Opción 1: La función de la primera gráfica es convexa y la de la segunda es cóncava

Y ahora vamos con la explicación:

Conjuntos convexos

Se dice que un subconjunto A del plano es convexo si para todo par de puntos a, b de A se tiene que el segmento que los une (que podemos definir como (1-t)a+tb, con t entre 0 y 1) está completamente contenido en A (Elyo ya habló de ella en este comentario). Por ejemplo, el siguiente conjunto es convexo:

Conjunto convexo

pero éste no lo es, ya que hay puntos para los cuales el segmento que los une se sale del propio conjunto:

Conjunto no convexo

Vamos ahora con el tema de las funciones.

Funciones cóncavas y convexas

1.- Se dice que una función de una variable f(x) es convexa en un intervalo si para todo par de puntos a, b de ese intervalo se tiene que (1-t)f(a)+tf(b) > f((1-t)a+tb), es decir, que el segmento que une dos puntos cualesquiera de la función en ese intervalo queda por encima de la función. O lo que es lo mismo: el conjunto que queda por encima de la misma es convexo según la definición anterior.

2.- Se dice que una función de una variable es cóncava en un intervalo si para todo par de puntos a, b de ese intervalo se tiene que (1-t)f(a)+tf(b) < f((1-t)a+tb), es decir, que el segmento que une dos puntos cualesquiera de la función en ese intervalo queda por debajo de la función. O lo que es lo mismo: el conjunto que queda por debajo de la misma es convexo según la definición anterior.

Otras definiciones que podemos encontrar equivalentes a éstas son:

1.- Una función es convexa en un intervalo si la tangente a la gráfica de la función en cada punto del intervalo queda por debajo de la propia función.

2.- Una función es cóncava en un intervalo si la tangente a la gráfica de la función en cada punto del intervalo queda por encima de la propia función.

Según tengo comprobado éstas son las definiciones más aceptadas en el mundo académico universitario. Por ejemplo, en Granada, donde yo estudié, se tomaban estas definiciones y en Ciudad Real, donde yo doy clase, también es así. En Bachillerato, hasta donde yo sé, hay más variedad. Yo he visto libros y profesores que toman las tres definiciones. Sería interesante que de una vez se utilizara el mismo criterio en todas las situaciones.

Un par de comentarios sobre cosas que se han dicho por aquí:

– El tema no depende de cómo se mire la función. Una función en un intervalo es cóncava o convexa (o las dos cosas si es una función lineal) y eso es independiente de cómo miremos la función. Si dependiera de cómo la miramos también podría depender el crecimiento o decrecimiento de la función ya que una función decreciente en un intervalo sería creciente si la miramos al revés. No es, bajo mi punto de vista, la forma correcta de afrontar el problema.

Víctor en este comentario da una posible solución que coincide con el método de cálculo mediante derivadas: curvatura positiva para las que tienen derivada segunda positiva y curvatura negativa para las que tienen derivada segunda negativa.

Espero que el tema haya quedado más claro ahora, aunque por desgracia seguirá siendo inevitable que a muchos de vosotros os lo enseñen de forma incorrecta. Para no equivocarse lo mejor es, como hemos dicho antes, el tema de las derivadas segundas. Y para terminar una regla mnemotécnica para que no se olvide:

– Segunda derivada positiva en un intervalo: Como es positivo tenemos una gran sonrisa. Por tanto dibujo como en la gráfica 1: CONVEXA.
– Segunda derivada negativa en un intervalo: Como es negativo estamos tristes. Por tanto dibujo como en la gráfica 2: CÓNCAVA.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

29 Comentarios

  1. Bueno, yo para esto siempre me había basado un poco en la etimología de los términos. Para mi cóncavo siemrpe ha tenido relación con un cuenco, con una cavidad, pero si tomamos la sección de un cuenco como gráfica de la función, se ajusta a la definición que das para una función convexa, así que parece que mi idea era erronea 🙂

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  2. “1.- Se dice que una función de una variable f(x) es convexa en un intervalo si para todo par de puntos a, b de ese intervalo se tiene que (1-t)f(a)+tf(b) > f((1-t)a+tb), es decir, que el segmento que une dos puntos cualesquiera de la función en ese intervalo queda por encima de la función. O lo que es lo mismo: el conjunto que queda por encima de la misma es convexo según la definición anterior.”

    Para t=0 y t=1 f(a)>f(a) y f(b)>f(b), hay que especificar que el intervalo es abierto.

    Por lo demás perfecto. Es mucho más interesante y didáctico verlos así. Podrías publicarlo o enviarlo a la autoridad competente para tener un criterio uniforme.

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  3. ¿Como q de forma incorrecta? las definiciones que has dado no son canon y se pueden aplicar al reves, y teniendo en cuenta que lo mas aceptado es la opción 2, como bien refleja la encuesta, lo lógico seria aceptar la 2 como criterio, a pesar que donde tu estudiaste te lo enseñaran al revés.
    Saludos

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  4. Voy a demostrar que a partir de:

    “Se dice que una función de una variable f(x) es convexa en un intervalo si para todo par de puntos a, b de ese intervalo se tiene que (1-t)f(a)+tf(b) > f((1-t)a+tb), es decir, que el segmento que une dos puntos cualesquiera de la función en ese intervalo queda por encima de la función. O lo que es lo mismo: el conjunto que queda por encima de la misma es convexo según la definición anterior.”(1)

    Se llega a que:

    “Una función es convexa en un intervalo si f”(x)>0 en dicho intervalo”(2)

    Por definición:
    f”(x)=lim (f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x))/dx^2
    dx–>0

    Para t=1/2, de (1) f(x+2dx)-f(x+dx)>f(dx/2)
    f(x+dx)-f(x)>f(dx/2)

    Por lo que

    f”(x)>lim (f(dx/2)-f(dx/2))/dx^2=0
    dx–>0

    f”(x)>0 c.q.d

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  5. no me han quedado igual las comas…
    f’´(x) es derivada segunda

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  6. Paco cierto, como lo he escrito debo especificar que el intervalo debe ser abierto.

    Por otro lado, para escribir derivada segunda utiliza el símbolo que hay en la tecla de cierre de interrogación y púlsalo dos veces: f”

    m la encuesta refleja eso. Donde yo estudié me lo enseñaron así, cierto, pero no sólo eso. Lo que quería reflejar es que en todos los sitios de renombre, por decirlo de alguna forma, que he consultado resulta que el criterio es ese. De hecho es la definición más coherente con la definición de conjunto convexo, y esa sí que está muy clara.

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  7. Asi como explicas es como yo entiendo normalmente las funciones: dependiendo de donde quede la tangente en ese punto. Esa misma definicion se puede extrapolar a mas variables retocandola un poquito y hablando del hiperplano tangente y arriba y debajo segun el sistema de coordenadas… Pero bueno, esto es harina de otro costal.

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  8. Sigues sin dar un criterio único. Por la misma razón podríamos haber cambiado la definición de “arriba” y “abajo”. No significa absolutamente nada.
    ¿Qué tal “una función es (localmente) convexa si el conjunto que encierra (por debajo, como lo encierran todas las funciones tradicionalmente) es convexo”? Y cóncava al contrario. No, no es tan sencillo ¿por qué la función cóncava debe tener su tangente sobre la función, y no al reves? Muy sencillo: porque adoptamos uno de los dos criterios. ¿Quieres que adoptemos el tuyo, en contra de la mayoría? Vale, tú haces esta página. Yo me sigo quedando con el mío.
    Es como si “dedujésemos” hacia dónde es “derecha” o “izquierda”. Una vez asumido, no podemos cambiarlo, pero hay que asumirlo.

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  9. Acerté 😀 . Creo que de hecho así es como me lo enseñaron, aunque claro de eso ya pasaron unos cuantos años…

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  10. No estoy de acuerdo. Sigo diciendo que es mucho más fácil mirar un diccionario de castellano e interpretar correctamente la definición que el diccionario da, teniendo en cuenta que una función de una variable tendemos a interpretarla en el espacio como una curva.

    Me pregunto cuál es la referencia de las definiciones que dais y si es lo suficientemente relevante para ser tomada como norma de fe, por encima de lo que el conocimiento del castellano nos impulse a pensar. Si en ambas cambiáis “cóncava” por “convexa” y “convexa” por “cóncava” seguirían siendo igualmente lógicas ambas (y compatibles con las definiciones referentes a subconjuntos del plano). Más aún si tenemos en cuenta el comentario que enlazáis y que ilustra perfectamente la ambigüedad del lenguaje al definir una función como convexa o cóncava ya que, como bien dice, lo único que no da pie a confusión es hablar de la concavidad de una región del plano, es decir, de un subconjunto que tiene la misma dimensión que el espacio de referencia: el plano en el que representamos la función. Si es cuestión de determinar la concavidad de regiones del plano, me gustaría saber cuál de las dos regiones en las que visualmente dividimos un plano cuando representamos una función ha de ser la que determine la concavidad de la curva que la representa en una determinada zona ¿La de “arriba” o la de “abajo”? ¿Por qué una y no la otra?

    El único argumento que dais es la definición esa que habéis puesto y que tiene la misma credibilidad que cualquier otra que pueda decir exactamente lo contrario. Pues vale.

    La comparación con el crecimiento o decrecimiento de una función no me parece adecuada, ya que ambos conceptos en la lengua castellana tienen una interpretación muy clara y fácilmente aplicable a lo que vemos en un plano. La definición de cóncavo y convexo es inevitablemente ambigua para estos casos y matemáticamente sólo se puede formalizar con una definición como la que dais, la cual, os guste o no, es completamente arbitraria.

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  11. yo kreo k este tema es algo k deberia tomarse x consenso,puesto k todas las teorias son validas si se explikan k se pongan de acuerdo aunk sea estadisticamente

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  12. Estoy de acuerdo con David (y otros): es arbitrario. Pero añadiría algo más: en un conjunto podemos definir “dentro” como los puntos que pertenecen al conjunto y todo el mundo estaría de acuerdo. Pero si consideramos una función como un conjunto de puntos, entonces, en las funciones no lineales (de una variable), el segmento que une dos puntos cualesquiera siempre tendrá puntos FUERA de la función, queden por arriba o queden por abajo: sólo las funciones lineales son convexas, todas las demás son cóncavas.

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  13. Es cierto, ¿como defines el conjunto de puntos que tiene q cumplir esas definiciones??, a mi la que se me ocurre es el conjunto definido por la integral a esas curvas, con lo que la respuesta correcta, siguiendo tus definiciones, sería la 2!!!!viva la 2!!:D

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  14. Yo también acerté! Lo que me extrañaba al ver las respuestas era que la mayoría votara la 2ª. La verdad es que es fácil determinar si es cóncava o convexa por el método de las tangentes, se ve rápidamente.

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  15. Vale, asi que si quiero que mi concepcion de concava y convexa sea la correcta solo tengo q pensar que es al reves de como yo pienso que es y acertaré XD. Sigo pensando que la opcion 2 es mas intuitiva, aunque todos sabemos que eso no siempre da la solucion correcta 😀

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  16. Ninguna de las dos opciones es más “correcta” que la otra mientras no nos pongamos todos de acuerdo en escoger una. Así pues, como no estamos de acuerdo, no hay opción correcta :D.

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  17. Una sencilla regla nemotécnica: conVexa tiene la “v” antes que cóncaVa, por lo que es la que tiene forma de “V”… ¿coincide con tu definición no?

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  18. Si no contamos la definición en términos de derivadas, la que yo siempre, para funciones de 1 variable, es:
    Una función es convexa si dados x

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  19. Lo doy por impoxile, ¿será que por usar linux con simbolos (o como se llame) utf8 mo me admita el simbolo menor?

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  20. ups pon el signo menor separado con espacios de las letras que haya a los lados. A mí así me los acepta.

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  21. Esta definición es la correcta, según lo estudio yo, al menos.
    Lo del método de las tangentes no es bueno, pues está definición es aplicable a cualquier función real de R^n, y hablar de la recta tangente no tendría sentido.
    Lo unico que t pertenece al intervalo (0,1) para que sea estrictamente convexa (o concava)
    Enhorabuena por la página, me gusta mucho 🙂

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  22. por favor necesito ayuda!
    como se estudia la curvatura a partir de la grafica de y=f`(x).En el problema no me dan la expresion analitica de la funcion por lo que no se hallar la derivada segunda y por lo tanto no se estudiar la curvatura!!!!

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  23. si tienes la gráfica de f’ sabes dónde es creciente y dónde decreciente. Será cóncava si f’ es decreciente y convexa si f’ es creciente (usando las definiciones comentadas antes)

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  24. cuando vote en la encuesta dije jdr como la gente puede poner que son concava y convexa, me quede raro dije no se yo veo claro que la primera es convexa, haciendo lo de la pendiente se ve muy claro,

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  25. Antes de nada felicitarte por el blog. Lo he descubierto hace muy poco y lo estoy leyendo entero. En este caso me inclino por la opinión de m. Cuando dices qué tu definición se ajusta más a la definición de conjunto convexo obvias qué es sólo cuestión de convenio. Sí definimos curva convexa como aquella en la que el conjunto qué queda por debajo es convexo será consistente también con la definición de conjunto convexo y además con la definición mayoritaria aunque de menos “prestigio”.
    Yo he visto profesores usando los dos criterios y me inclino por cuestiones etimologicas también por el de la mayoritaria. Concavo sugiere cuenco, la forma de una curva en U.

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  26. Victor, sí, parece que la cuestión es solamente un convenio. Pero no entiendo por qué no se llega a consenso y se define la cuestión de una única forma, la que sea, pero una sola. Para mí es un auténtico misterio…

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