Esos curiosos dados

Introducción

Comenzamos la semana con un tema bastante curioso que vamos a introducir mediante un juego. Supongamos que tenemos a nuestra disposición los siguientes dados:

El juego en cuestión consiste en lo siguiente:

Vosotros tomáis uno de los tres dados y después yo tomo uno de los dos que quedan. A continuación tiráis vuestro dado y yo el mío. Gana la tirada quien saque mayor puntuación.

Juego sencillo y además elegís primero. La pregunta es:

¿Qué dado escogeríais para tener mayor probabilidad de ganar el juego a la larga, es decir, después de un número grande de tiradas?

Dados no transitivos

La respuesta es bien sencilla: no existe una elección óptima. Esto es, no hay forma de elegir un dado que supere a la larga a los otros dos. La razón es que estos dados no son transitivos.

Veamos qué es la propiedad transitiva:

Dada una relación binaria R definida en un conjunto (donde ARB significa A está relacionado con B), se dice que R cumple la propiedad transitiva si a partir de que ARB y de BRC entonces se tiene que ARC.

Un ejemplo sencillo de esto se da en el conjunto de las personas con la relación binaria altura, ya que si una persona A es más alta que otra persona B y a su vez esta persona B es más alta que una tercera persona C entonces tenemos que A es más alto que C. Y un ejemplo que no la cumple es el típico Piedra, Papel, Tijera, donde tijera gana a papel, papel gana a piedra pero tijera no gana a piedra, sino al contrario.

Vamos a ver que estos dados no cumplen dicha propiedad. Comparemos el dado 1 (ganadas en rojo) con el dado 2 (ganadas en verde) analizando el siguiente cuadro, que nos dice qué dado gana según los resultados de cada una de las tiradas:

Como podemos ver a la larga la probabilidad de ganar con el dado 1 es de \textstyle{\frac{20}{36}=\frac{5}{9}}. Veamos qué ocurre ahora comparando el dado 2 (ganadas en verde) con el dado 3 (ganadas en azul):

Vemos que a la larga el dado 2 ganará al dado 3 en 24 de cada 36 partidas, es decir, que entre ellos el dado 2 tiene una probabilidad de \textstyle{\frac{24}{36}=\frac{2}{3}} de ganar.

Teniendo en cuenta que el dado 1 gana al dado 2 y que el dado 2 gana al dado 3, si estos dados cumplieran la propiedad transitiva tendríamos que el dado 1 gana al dado 3. Pero:

Esto es, el dado 1 no gana al dado 3. De hecho el dado 3 tiene una probabilidad de \textstyle{\frac{24}{36}=\frac{2}{3}} de ganar al dado 1.

Por ello el juego que os planteé al principio no es justo, ya que si vosotros elegís primero yo siempre tendré la posibilidad de elegir un dado que tenga mayor probabilidad de ganar que el vuestro.

Este conjunto de dados no transitivos no es ni mucho menos el único con esta característica. El precusor de esta idea parece ser Bradley Efron, matemático estadounidense nacido en 1938, que los ideó para resaltar una clase de paradojas probabilísticas que no cumplen la transitividad (en realidad lo que ocurre con estos dados no es una paradoja matemática, pero sí una paradoja de la intuición). Los conjuntos ideados por Efron para este propósito estaban formados por cuatro dados cada uno. El primero de ellos era el siguiente:

Los otros dos eran:

\lbrace 2,3,3,9,10,11 \rbrace
\lbrace 0,1,7,8,8,8 \rbrace
\lbrace 5,5,6,6,6,6 \rbrace
\lbrace 4,4,4,4,12,12 \rbrace

y

\lbrace 1,2,3,9,10,11 \rbrace
\lbrace 0,1,7,8,9,9 \rbrace
\lbrace 5,5,6,6,7,7 \rbrace
\lbrace 3,4,4,5,11,12 \rbrace

En cada uno de ellos puede comprobarse que no se cumple la propiedad transitiva, al igual que ocurría con los tres anteriores.

Pero entre todos los conjuntos con cuatro dados no transitivos que he podido ver la propuesta de Shirley Quimby es la más original:

Como se puede ver en las caras de los dados están utilizados todos los números del 1 al 24 sin ninguna repetición. En este caso el segundo jugador tiene también una probabilidad de \textstyle{\frac{2}{3}} de ganar al que escoge primero.

Bonus

Una última curiosidad sobre este tipo de dados. Particularizando en el primer conjunto comentado, el de los dados 1,2 y 3, hemos visto que el 1 gana al 2, que el 2 gana al 3 y que el 3 gana al 1. Supongamos ahora que el juego consiste en lanzar una dado no una vez sino dos y sumar después las dos puntuaciones obtenidas. En este caso el segundo jugador sigue teniendo ventaja, ya que en este juego el conjunto de dados tampoco cumple la propiedad transitiva, pero aquí las ventajas de cada dado se invierten. Es decir, en este juego el dado 2 gana al 1, el dado 3 gana al 2 y el 1 al 3. Curioso, ¿verdad?


Si estáis interesados en poseer un juego de dados no transitivos podéis fabricarlos vosotros o comprarlos a través de internet. Sí, evidentemente se venden juegos de dados no transitivos en la web. Concretamente Carlos, de El Hombre de los Dados, encontró en Grand Illusions un juego de tres dados y otro de cuatro.


¿Conocéis más conjuntos de dados no transitivos? ¿Y más datos sobre este tipo de dados? ¿Sabéis si el hecho de que las ventajas se inviertan al sumar la puntuación de dos tiradas ocurre siempre? ¿Y si son más las tiradas que se suman? Los comentarios, como siempre, son vuestros.


Fuentes:

  • Mail de nuestro admirado comentarista y colaborador fede.
  • Ruedas, Vida y otras diversiones matemáticas, de Martin Gardner.
  • Nontransitive Dice en la Wikipedia (en inglés).
  • El Hombre de los Dados: Carlos nos habla sobre dados transitivos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. Sobre probabilidades no transitivas tuve un libro que detallaba eso mismo pero con cartas, tres montones y tres cartas para cada uno. Y daba como resultado ganador en un porcentaje de hasta cinco a uno el escoger siempre el montón siguiente al elegido por el contrario. Si escogía el 1, nosotros el 2, y si era el 3, nosotros el 1. Parece ser que esa teoría se aplica mucho en las listas de candidatos en política.

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  2. Gracias por este interesante Post. Tan acostumbrados estamos a que en los números se cumpla la propiedad transitiva que, al menos en mi caso, no prestamos atención a estos caso. Muy didactico para los niños el ejemplo de piedra, tijera y papel.

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  3. Tengo una consulta. ¿Por qué cuando realizo una simulación sobre el resultado de estos dados, siempre el dado 1 obtiene un resultado ligeramente superior a los otros dos dados?
    ¿Acaso es un error del software al generar números pseudo aleatorios?

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  4. Buscando con un programa se encuentra que los dados con caras
    A= {3,7,8} B={4,11,11} C={5,5,7} forman un conjunto cíclico tanto tirando 1 vez como sumando los resultados de tirar 2 veces cada dado y la relación no se invierte al tirar 2 veces cada dado.

    ( Un dado de 3 caras {a,b,c} es equivalente a un dado de 6 caras { a,a,b,b,c,c}. )

    Por otro lado los 3 dados A= {1, 6, 14} B={ 2, 7, 12} C={ 3, 5, 13} forman un conjunto cíclico tanto tirando 1 dado como tirando 2 dados, la relación se invierte al tirar 2 dados, y la probabilidad de que un dado gane al siguiente (y el último al primero) es siempre la misma (4/9 si se tira un dado y 42/81 si se tiran 2 dados).

    Además se pueden insertar dados en el ciclo anterior para obtener ciclos tan largos como queramos con esa propiedad.
    (Con valores racionales en sus caras, que podemos convertir en enteros multiplicando)

    Para obtener, por ejemplo un ciclo de 5 dados con las probabilidades anteriores posemos hacer:
    A= { 1, 6, 4 } B = { 2, 7, 12 } C= {2.01, 7.01, 11.98 } D = { 2.02, 7.02, 11.96 } E= { 3, 5, 13}

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  5. Errata. El primer conjunto de dados que menciono en el comentario anterior debe ser:
    A= {3,7,18} B={4,11,11} C={5,5,17}

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  6. Alonso,
    seguramente en la simulación consideraste los resultados numéricos que dan los dados… (y luego sumando o calculando la media)
    Y eso te sale mayor en el dado 1 porque la media del dado 1 ([4+4+4+4+11+11]/6 =19/3 = 6,333… ) es ligeramente superior a la de los otros (36/6 = 6)

    Pero que la media sea superior no significa que gane más veces. En este caso, el último dado gana 4 de cada 6 veces a ese dado que tiene media superior.

    No es extraño: si tienes un dado que tiene 6000 en una cara y 0 en las cinco restantes te ganaré con un dado normal 5 de cada 6 veces (cuando tu dado saque cero)… tener 6000 en una cara sube mucho la media pero es igual de efectivo a la hora de ganar que tener un 7.

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  7. Acid,
    Muchas gracias por tu respuesta. Efectivamente, estaba sumando los resultados obtenidos en los tres dados. Al final, la sumatoria del dado 1 superaba a las sumatorias de los otros dos.
    He realizado la simulación nuevamente, evaluando solo si gana o pierde, en las tres combinatorias de dados y efectivamente he obtenido el mismo resultado que se indica en el post: el dado 1 tiene más probabilidades de ganarle al dado 2, el dado 2 tiene más probabilidades de ganarle a dado 3, y el dado 3 tiene más probabilidades de ganarle al 1, por lo cual no existe una elección óptima de dados.
    En realidad es un ejercicio muy interesante.
    Muchas gracias.

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  8. Hola, está muy interesante este artículo.
    Yo creo que (en los tres primeros dados), está claro que si tu oponente escoge después de ti, a la larga vas a perder más veces que él, pero la solución óptima (para perder lo menos posible) sería escoger el dado 2, ya que, a la hora de perder, el porcentaje de partidas perdidas será menor que escogiendo el dado 1 ó el 3.

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  9. Creo entender q pones el juego de piedra papel tijeras como ejemplo de cumplir la propiedad transitiva cuando no lo es ¿no?

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  10. Norby, no, no era así, aunque es cierto que la forma en la que estaba escrito podía llevar a error. Ya lo he cambiado. Gracias por el aviso 🙂

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  11. У арабов есть хорошая поговорка: то, что случилось один раз, может больше никогда не случиться, а то, что случилось дважды — непременно случится и в третий раз. Выбор всегда, конечно, за тобой: уйти, оставаться с изменщиком, смириться или устраивать сцены. Но главное не вини себя в том, что ты в чем-то не такая, что не удовлетворяешь его.

    http://www.chudomart.ru/ http://fast-people.ru/

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