Dando la vuelta a la tortilla

Respecto al ordenador he oído una y mil veces decir: “les guste o no a los matemáticos, el ordenador está ahí”. Yo no estoy de acuerdo con esta afirmación. Nos gusta el ordenador y lo usamos. Más, vuelvo la frase por pasiva y respondo que “les guste o no el ordenador, las matemáticas están ahí”.

B. Eckman

INFINITUM. Citas matemáticas

Ya vimos hace un tiempo algo relacionado con esto. ¿Qué os parece la frase?

Por cierto, ¿alguien sabe quién es B. Eckman?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

22 Comentarios

  1. Típico problema (creo yo) de radicalismos.

    Existen personas (supongo matemáticos) que piensan que apoyarse sobre los ordenadores para hacer matemáticas NO SON matemáticas y otras personas que lo defienden a capa y espada.

    Como siempre en éstos casos (creo yo) no todo es blanco ni negro, los ordenadores son herramientas como cualquier otra y si alguien sabe sacarle provecho ¡pues perfecto!.

    En cualquier caso y guste o no, creo (desde mi agudísima ignorancia) que el uso de los ordenadores (al menos como herramientas CASE [mal llamadas CASE]) empiezan a ser y serán imprescindibles para que un humano (y no éstos extraterrestres que nos llegan de vez en cuando y emiten uno de esos teoremas que nos dejan flipando) pueda realizar su trabajo sin perder el juicio en ello.

    Saludos.

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  2. Hola a todos,

    Me parece que la frase es divertida, pero la “polémica” es absurda: la informática nace del razonamiento matemático y no se concibe hoy en día un matemático que no se apoye en la informática para su trabajo. Es tan importante para las matemáticas que haya informáticos creando herramientas nuevas y potentes como para la informática que haya departamentos de computación fuertes en las facultades de matemáticas, cosa que por desgracia no es tan común como debería.

    El mundo ya hoy en día no se entiende sin ordenadores, y, por suerte cada vez más, tampoco sin matemáticos.

    Saludos!

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  3. Me parece genial la frase. Lo explica perfectamente, a los matemáticos nos gustan los ordenadores y los usamos (incluso mejor que los informáticos ;-)). Sin embargo, aunque no existieran los ordenadores, las matemáticas seguirían estando ahí y seguirían desarrollándose. Las matemáticas son la ciencia subyacente de otras ciencias, de las cuales se nutre, por lo que la simbiosis es perfecta, aunque es una simbiosis en la que el resto de ciencias son el huésped de las matemáticas, y sin las matemáticas no son nada.

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  4. Buenas, es la 1ª vez que escribo, aunque llevo un tiempo ojeando este foro con entusiasmo.

    Estoy básicamente de acuerdo con los primeros comentarios que se han hecho. Creo que no hay motivo para la polémica!

    Los ordenadores son fundamentalmente HERRAMIENTAS que nos ayudan a realizar operaciones aritmetico-lógicas de una forma más eficiente. Son herramientas lógicas (software) y físicas (hardware).

    Por su parte, las matemáticas, sin duda están en la base misma de la informática. Para ver esto, sólo hay que fijarse en algunos de los pioneros en este campo (Von Neumann, Turing, etc.). Claro que Von Neumann más que matemático, era un extraterrestre…

    Eso sí, creo que es importante también reconocer la labor de otras ciencias, como por ejemplo la física, que evidentemente constituye la base del hardware, sin el cuál el dichoso software no iría a ningún lado. Y a modo de curiosidad, los fundamentos de los Sistemas Operativos (que son la base del resto del Software) fueron proporcionados por muchos físicos (véase Dijkstra, Tanenbaum, etc.).

    Por supuesto, habrá quien piense que la física a su vez surge de las matemáticas. Y quien diga que todas las ciencias surgen de las matemáticas.

    MI opinión es que las matemáticas son otra HERRAMIENTA, sólo que esta vez, puramente lógica: Se han usado en prácticamente todas las ciencias, y por ello probablemente no se habrían desarrollado otras ciencias sin las matemáticas. Y pienso que el razonamiento contrario también es válido: no habría matemáticas sin otras ciencias. Aunque actualmente se puede decir que las matemáticas tienen una entidad propia indiscutible.

    Por último, pienso que la informática también ha retroalimentado bastante a las matemáticas (retroalimentación entre HERRAMIENTAS…). Y no sólo hablo de fractales, autómatas celulares, o herramientas que facilitan enormemente el entendimiento de las matemáticas (por ej., Matlab o Mathematica) sino también de elegantes demostraciones que se han ayudado y basado extensamente en el uso de programas informáticos (por ej., el teorema de los 4 colores).

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  5. Hola Rafa, yo también es el primer día que escribo aquí.

    Entiendo lo que quieres decir, y tienes razón en bastantes cosas, pero no estoy al completo de acuerdo contigo.

    Es cierto que las matemáticas y la informáticas son herramientas, pero también son objetos de estudio por sí mismas desde el momento en el que hay gente que se dedica a ello simplemente por el placer de comocer más, y no sólo como medio para avanzar en otros campos. En realidad, si aplicamos este razonamiento a cualquier otro campo, podríamos decir que la física es la herramienta de la que se nutre la química para explicar las reacciones entre elementos, que a su vez es la herramienta de la biología,etc.

    Además, no es cierto que se pueda decir que las matemáticas tengan una entidad propia sólo actualmente: hay quien se dedica a las matemáticas por las matemáticas al menos desde que lo empezó a hacer Pitágoras.

    Por cierto, que en este momento estoy estudiando Teoría de Juegos y casi que te confirmo lo de que Von Neumann venía de pasando Ganímedes, a la derecha. Aunque yo me quedo con Alan Turing, claro 😉

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  6. Javi, estoy de acuerdo con lo que dices. Quizá no me expresé bien:

    – No me parece incompatible que algo sea una herramienta, y que sea objeto de estudio por sí mismo.
    – También creo que las matemáticas tienen entidad propia desde hace mucho tiempo. Efectivamente cuando puse “actualmente”, se quedaba muy muy corto.

    En cuanto al uso del término “herramienta” para definir las matemáticas. Bueno, entiendo que haya otros puntos de vista al respecto 🙂 Lo que no quiero, es que se interprete como un término despreciativo. Cuando lo empleo, lo hago con el máximo respeto. Para mí, otra herramienta intrínsecamente humana es el razonamiento.

    Sí, yo también me quedo con Turing!

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  7. Me imaginaba que ibas por ahí, pero creí necesario precisar un poco.

    Por cierto, me ha gustado lo del razonamiento como herramienta, me lo apunto.

    Saludos!

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  8. (OFF-TOPIC)

    Primero perdón por los borrones (estoy probando pero se me escapa dar a publicar en lugar de vista previa).

    Segundo ¡¿cómo carajo se editan decentemente los post?!, me he leído “escribir-formulas-con-latex-en-gaussianos”, he ido a las dos páginas de ejemplos y muy pocos me funcionan.

    Por ejemplo (tomados de las páginas indicadas)

    $ latex \sqrt[3]{3}$ == \sqrt[3]{3}

    pero

    $ latex \log n^2$ == \log n^2

    voy probando y…

    $ latex \cos x$ == \cos x
    $ latex \pi^3$ == \pi^3
    $ latex \cos x^{2}$ == \cos x^{2}
    $ latex \displaystyle\int^5_1 2x\,dx = 24$ == \displaystyle\int^5_1 2x\,dx = 24
    $ latex \cos^2 x +\sin^2 x = 1$ == \cos^2 x +\sin^2 x = 1

    Sin embargo en el “TeXer” de dichas páginas sí funcionan, ¿qué hago mal?

    ¿Algún tutorial (o mejor un editor) decente y que sea compatible?

    10^10^10 gracias

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  9. Como ya han dicho antes, los ordenadores son una herramienta más de la que puede disponer un teórico de cualquier campo. Simplemente le facilita las cosas que puede analizar, reduciendo el tiempo que le costaría haciéndolo con lápiz y papel.

    Del mismo modo se puede argüir que las matemáticas se deberían hacer de cabeza, sin utilizar un lápiz con el que ayudarse para realizar cálculos o anotaciones.

    Estas discusiones se dan en cualquier estudio susceptible de agilizar procesos mecánicos; por ejemplo recientemente leí sobre las Tablas de finales de ajedrez. Es algo que toda la vida se ha estudiado y se han publicado libros al respecto que tanto teóricos como jugadores consultaban para analizar partidas jugadas o en desarrollo. Cuando la informática lo permitió comenzaron a utilizarse ordenadores para calcular finales y se hicieron sorprendentes descubrimientos que se les habían pasado por alto a muchos estudiosos del ajedrez. Esto, por supuesto, causa rechazo a algunos clasistas, que no aceptan el uso de tablas de finales generadas por ordenador.

    Un saludo.

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  10. Si la forma en que vemos al ordenador es como una herramienta, como un apoyo, como un asistente en la tarea del matemático, tanto en docencia como en investigación, entonces estoy de acuerdo con muchos de los comentarios anteriores: no hay enfrentamiento ordenadores vs. matemáticas, ambos se complementan y se realimentan, incluso creando una fuerte sinergia entre sí.

    No se debe desdeñar sin embargo, a priori, la posibilidad de que ese status cambie. Personalmente, no veo fácil que en docencia, sobretodo en la no universitaria, el ordenador pase de ser una pura herramienta de apoyo y de trabajo secundario. En Universidad, habría que evaluar muy seriamente el impacto de los CAS-Computer Algebra Systems( Y no CASE-Computer Asisted Software Environment, como creo que erroneamente los ha llamado antes JoseJuan; corrígeme si era otro el enfoque que querías darle). Es decir, mi pregunta sería ¿ Es un sistema CAS, vg. Derive, Mathematica, etc, un sistema eficaz, y un sistema eficiente, para que el proceso de enseñanza-aprendizaje mejore significativamente, más allá del uso como apoyo al docente, como herramienta para que el alumno clarifique algunas ideas o para que el alumno haga sus obligatorias “prácticas”?.

    ¿Y en investigación?. Más allá de los tópicos del teorema de los 4 colores y su demostración por ordenador ( Y no repetible por ser humano alguno, lo que plantea serias dudas acerca del concepto mismo de “demostración”, o al menos del consenso entre matemáticos para aceptarla como tal demostración), y de la conjetura de Robbins, tambien demostrada por ordenador, cabe preguntarse qué pasará si un ordenador consigue algún día no sólo demostraciones, si no si es posible que un ordenador realice algún tipo de actividad “creadora” de matemáticas: conjeturas, tanteos, demostraciones, conexiones con otras áreas, definiciones de nuevos conceptos, etc. Parece extraño, pero precisamente esa era una de las dos predicciones iniciales de la Conferencia Dartmouth de 1957 que se convirtió en origen de la Inteligencia Artificial ( Y de ahí quizás un origen de la aversión de los matemáticos más “puros” hacia la máquina); creo que la frase más famosa de aquella reunión fue la que dijo MaCarthy: “En breve, un ordenador ganará al campeón del mundo de Ajedrez, y será cápaz de realizar descubrimientos matemáticos genuinos”. Aunque con un fallo en tiempo ( no fue tan “en breve”), y con muchas matizaciones, la máquina ya ha ganado al ser humano en ajedrez. Actualmente ya hay lineas de investigación abiertas en “automatic mathematical discovering”, aunque me parece que el avance es lento; no parece fácil juntar “creatividad”+”conocimiento matemático”, aunque sea un objetivo con un dominio mucho más restringido que el inicial de la Inteligencia Artificial de hacer una máquina pensante. Hace poco, yo mismo citaba en el blog de “La máquina de Von neumann”, el libro de Simon Colton “Automated theory formation in pure mathematics”, de la Ed. Springer. Cabe pues, razonablemente, preguntarse que pasará si un programa de ordenador consigue algo de eso, con el status de la investigación matemática, y entonces sí, con la propia naturaleza de la pregunta “matemáticas vs. ordenador”, que era el origen de la cita de Eckman.

    Incidentalmente, por cierto es interesante conocer que la idea de métodos automatizados para el cálculo integral surge, entre otros, de la tesis doctoral de Slagle, a principios de la década de los 60, con un mecanismo de búsqueda, simple pero eficiente, que inicialmente se aplicaba a las integrales por partes y que luego ha sido uno de los ejemplos preferidos para introducir el tema de búsqueda en IA. Permanece aún en muchos libros actuales de IA. Además, desde los 80, investigadores como Jacques Calmet, vienen publicando ( en Springer) actas de congresos dedicados a la intersección de la IA con los sistemas CAS. Buena parte de los algoritmos creados a partir de la investigación en dicha área, los disfrutamos en Derive, Mathematica…..

    Saludos. ( Y perdón por lo largo que me ha quedado el comentario)

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  11. “juanjo”, ya maticé “mal llamadas CASE”, sin embargo, es común en el populacho denominar herramienta CASE a cualquier aplicación que ayude a realizar un trabajo (aunque no sea de software). Las herramientas CAS serían un subconjunto de éstas y yo quería indicar todas, aunque no encontré un término mejor…

    Tu comentario me ha parecido corto (por interesante) aunque no entiendo porqué realizas esa dicotomía entre el aspecto “como herramienta” y “como IA matemático”, desde mi punto de vista es lo mismo, únicamente cambia que tal de potente es la herramienta CASE (o CAS si lo prefieres), de otro modo, creo que deberías concretar la cuestión que dejas en el aire en varias frases (como en “…cabe preguntarse qué pasará si un ordenador consigue algún día…”), dicho de otra forma, ¿qué pasa con “qué pasará”?, ¿que la mente humana se atrofiará al delegar a esta IA el trabajo creativo?, … este planteamiento tiraría más a un post que hablara de robots, IA, evolución de la humanidad, etc… creo yo… y si algo nos demuestra la historia es que si algo puede hacerse, se hará (energía nuclear, modificación genética, cirugía estética, etc…) por muy polémicas que puedan ser, ¿porqué iva a ser diferente con la IA por mucho que a ciertos matemáticos les incomode que un trozo de hierro sea más “listo” que ellos?.

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  12. En la propaganda inicial del programa Derive, hacia principios de los 90, lo llamaban “Asistente Matemático”. En la misma linea, recuerdo haber leido algo incluso anterior, puede que de Macsyma o quizás de MLP ( creo que ese era el acróstico), el prototipo de lenguaje matemático inicial creado por Wolfram y que posteriormente daría origen a Mathematica.

    Pero mi distinción no es sólo de exactitud en los términos. Me refiero a que programas tales como Derive, Mathematica, Axiom, etc, son una herramienta en manos del matemático, en el sentido de los que hoy se podría llamar eufemisticamente “matemáticas aumentadas” ( por analogía con “realidad aumentada”). Esto es lo que creo que serían herramientas CAS ( o CASE, en el sentido que tu dices, y tienen razón, es cómo hablar de 4ª generación o 5ª generación, son términos imprecisos pero que en lenguaje usual se entienden).

    Por otra parte, programas cómo BACON, AM, EURISKO, etc, y los más recientes OTTER y MACE, más orientados a lo que en inglés se denomina “automated discovery in science”, y que si que estarían en la linea del objetivo de crear herramientas que no sólo sean ayuda en la tarea del matemático, sino que de forma autónoma puedan eventualmente “crear matemáticas”. Esa es la distinción entre lo que yo he llamado “herramienta” frente a IA matemático. Creo que, al respecto, encontrarás interesante el siguiente artículo de Simon Colton ( Y los que hay en su web académica):

    http://www.doc.ic.ac.uk/~sgc/papers/colton_cdck07.pdf

    http://www.doc.ic.ac.uk/~sgc/

    Respecto al enlace que aportas sobre la demostración de la conjetura de Robbins: OTTER es un demostrador de teoremas lógicos (ó de teoremas expresables lo más cerca posible de la lógica). Mi pregunta aquí sería la de si es posible llegar realizar programas capaces de “crear matemáticas”, no tan sólo en el sentido de demostrar. Digo esto porque en cierto modo, por ejemplo la demostración del teorema de los 4 colores, digamos que la parte “sucia” de cálculo intensivo es la que hace el programa, mientras que en buena medida, la parte más de inspiración, de puro “insight”, de guía, es la que realizan Appel y Haken. Creo que un buen programa de IA capaz de realizar descubrimientos matemáticos debería ser tambien capaz de asumir la parte de “insight” ( Esa que algunos dicen que corresponde a extraterrestes tipo Erdos, Von Neumann….).

    R. López de Mántaras( Que ha publicado algún artículo junto a Simon Colton) definía hace unos años la creatividad cómo “Una exploración de un espacio conceptual. Es como una combinación y transformación innovadora de ideas ya conocidas junto con una transgresión de las reglas” ( Seminario HAL-9000, UIMP, Valencia, 2001). Visto así parecería que aún queda un largo camino por recorrer. Sin embargo, una mirada al índice del libro de Colton, nos lleva a la sorpresa de que hay capítulos de “Inventig concepts”, “making conjectures “, “Settinlgs concepts”, “Settings conjectures”, precisamente en OTTER y MACE. Este es el tipo de investigación en IA matemática al que me refería. Es algo muy distinto del Derive Mathematica, etc. Y no soy experto en estas áreas ni mucho menos, por lo que, muy a mi pesar no puedo evaluar nada en ellas, ni mucho menos, predecir por donde puedan ir los tiros en el futuro; simplemente, me parecen muy interesantes.

    Desde hace tiempo, en este punto me queda una duda casi, casi filosófica, y es hasta que punto las demostraciones automáticas de teoremas que hacen estos programas como OTTER, llevan ó no implicitas en la propia estructura del programa “la demostración” que realizan partiendo de los axiomas iniciales del problema. (Quizás esto por mi cercanía al PROLOG; igual lo veo como un “logicismo” exagerado). Repito que no soy experto en el tema, y es probable que esté equivocado, pero me parece que un auténtico programa de IA matemática habría de balancear de forma distinta la parte de “demostración” con la parte de “creatividad matemática”.

    Coincido contigo, josejuan, en que si se puede hacer se hará. A lo que me refería con el “qué pasará” era a la opinión de los matemáticos, a la de la cita de B. Eckman. Y no, no creo que la mente se atrofie ni haya hordas de matemáticos luditas quemando ordenadores. Se tratará de una adaptación, supongo( y puede que surjan tensiones, insospechadas hoy día). Por poner una analogía muy, muy burda, será cómo la música, la industria musical y el p2p actual: la música sigue más viva que nunca, pero la industria musical ha de transformarse muy seriamente, ante la inevitabilidad de las descargas y la facilidad de copia….

    Saludos.

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  13. Buenas, tras una “puntualizacioncita”, os comento mi opinión:

    – El término CASE, hasta donde yo sé, significa Computer-Aided Software Engineering, y me temo que son herramientas de ayuda al diseño de programas, que poco o nada tienen que ver con las matemáticas.

    – Mi opinión es que el campo de la IA, actualmente, está a años luz de producir ningún tipo de “creatividad matemática”. Eso es algo que por el momento es exclusivamente humano.

    – ¿Por qué? Porque si apenas sabemos cómo funciona el cerebro humano, ¿Cómo leches queremos reproducirlo en una máquina? También creo que la gente que se dedica a la IA por el momento se pone metas menos ambiciosas (bueno, esto último es evidente). A veces, los nombres de programas rimbombantes no enmascaran más que… una elevada aspiración! (véase las “redes neuronales”, los “algoritmos genéticos”, el “simulated annealing”, etc.)

    – Los programas demostradores de teoremas, por el momento, son meras churreras de aplicación de reglas, cuya “inteligencia” básicamente se basa en 1) la representación del “conocimiento” que usan 2) los algoritmos heurísticos en que se basan. Ambos están diseñados por sus creadores. Por tanto, la verdadera inteligencia reside sin lugar a dudas en los diseñadores de los programas (matemáticos, físicos, ingenieros, biólogos, etc.).

    – Soñando un poco, ¿llegará un día en que los programas puedan “crear matemáticas”? Supongo que quien conteste que sí, es porque cree que llegará el día en que los ordenadores tengan aptitudes similares (o mejores) a los humanos. Los que respondan que no, pensarán probablemente que existe una barrera infranqueable entre humanos y máquinas. Bueno, yo pienso que la ciencia ya nos ha venido poniendo en nuestro sitio en los últimos siglos, así que extrapolando un poco, no veo raro que llegue el día en que un “ordenador” haga demostraciones con una elegancia similar o superior a la de cualquier humano. También creo, que dicho ordenador no tendrá por qué ser necesariamente lo que todos imaginamos hoy en día por “ordenador”.

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  14. “Rafa”, creo que tu punto de vista es demasiado crítico y exigente, y por tanto, niega algunos puntos cuando (desde mi punto de vista) son ciertos (o alcanzados).

    – “El término CASE…”: ya he matizado DOS VECES el uso del término, ¿alguien más quiere aseverar (otra vez) que CASE es únicamente orientado al desarrollo de software?

    – “Mi opinión es que el campo de la IA…”: habría que definir “creatividad matemática” y también (aun en el case de definirla) a quién se le atribuye tal propiedad, a la IA creativa o al humano que crea la IA creativa. Y este precisamente creo es el error en el que caen los críticos. Es decir, si mediante un algorítmo genético un programa es capaz de crear antenas (para radiofrecuencias) totalmente novedosas e inexplicables ¿no es eso creatividad? (existen cientos de ejemplos). ¿O es símplemente por lo “bruto” del método que menospreciamos los resultados?.

    – “¿Por qué? Porque si apenas sabemos cómo funciona el cerebro humano…”, aquí en gaussianos ya se ha comentado las cosas fascinantes que hacen las abejas sin saber realmente lo que hacen (¿o sí?). ¿Porqué entonces el uso de algorítmos probabilísticos (genéticos, heurísticos, redes neuronales, lógica difusa, …) no son válidos si sus resultados sí lo son?.

    – “Los programas demostradores de teoremas, por el momento, son meras churreras de aplicación de reglas…”, ¡claro! y TODA la matemática es una tautología (pone de relieve lo “evidente” a partir de unos pocos axiomas), esta afirmación me parece que trivializa algo que no es trivial.

    – “Soñando un poco, ¿llegará un día en que los programas puedan “crear matemáticas”? …”, lo dicho.

    Saludos 😉

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  15. En el estado actual de los ordenadores caseros, ellos no hacen matemáticas, pero nos ayudan bastante.
    En mi caso cuando los alumnos/as cuentan con máquinas primero les hago analizar las propiedades de ciertas funciones utilizando algunos software y luego los pongo a pensar sobre lo que observaron.
    Por ejemplo en función cuadrática hago que grafiquen con winfun (sencillo soft) y analicen lo que sucede a medida que vamos cambiando los coeficientes de los términos de la expresión.
    En el cálculo de los resultados de un sistema de ecuación, primero enseño un método a mano y luego les doy la casio 95 o la entrada a wolfram para que allí calculen, de esta manera me centro en el gran problema de nuestros alumnos/as: “el armado del sistema ante una situación problemática”.
    En Argentina, al menos, han pasado generaciones de docentes que sólo enseñaban la mecanización de los métodos de resolución, pero no el para que resolvemos esas cosas. Un pequeño grupo de docentes, desde el 2000 hemos comenzado a revertir la eso, primero nos centramos en la formalización de las situaciones problemáticas, luego la búsqueda de la solución y para esto existen buenos programas de computadora que calculan más rápido y eficiente que los humanos.

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