De unos a unos

El problema de la semana va de números formados únicamente por unos, los llamados repunit (por Gaussianos ya ha aparecido algún repunit, por ejemplo aquí). Vamos con él:

Sabiendo que un repunit es un número natural tal que sus dígitos en base 10 son todos unos, encontrar todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes reales tales que si $n$ es un repunit también lo es $f(n)$ .

A por él.

Sin comentarios

Trackback | 9 Jun, 2009

Bitacoras.com
Alberto Cid | 9 de June de 2009 | 15:14

Conjeturo que los únicos polinomios que lo cumplen son:

fm(x) = 10^m * x + repunit de m cifras (m=0,1,2…)
(ej: x, 10*x+1, 100*x+11, …)

y también

f(x) = 1

Aunque no se me ocurre ahora cómo demostrar que no hay más soluciones…
M | 9 de June de 2009 | 17:53

Hay más. Entre los constantes no solo tenemos $f(x)=1$ , sino también cualquier $f(x)=rep[m]$ , $m\geq 1$ . También tenemos por ejemplo $f(x)=9x^2+2x$ , $f(x)=90x^2+20x+1$ o $f(x)=81x^3+27x^2+3x$ .
Maestrillo | 9 de June de 2009 | 20:10

Me parece mal decirlo, pero el Google es una tentación irresistible. He encontrado la solución por ahí y, sinceramente, me marea.
epi | 9 de June de 2009 | 21:49

Basta tener en cuenta que el repunit de $m$ unos es $rep[m]:=(10^m-1)/9$ , y así $9\cdot rep[m]+1=10^m$ . Por tanto, si quiero enviar el $rep[m]$ al $rep[n]$ , con $n\geq m$ , basta considerar que

$(10^r(9rep[m]+1)^s-1)/9=rep[m\cdot s+r]$

y solo tendremos que ajustar los enteros $r,s$ .

En definitiva los polinomios pedidos son $p_{r,s}(x)=\cfrac{10^r(9x+1)^s-1}{9}$ , con $s\geq 0$ y $r\geq 1$ .
Alberto Cid | 9 de June de 2009 | 22:55

O_O

Fui muy atrevido, jajaja
gaussianos | 10 de June de 2009 | 02:30

Enohrabuena epi, solución correcta .
epi | 10 de June de 2009 | 18:13

Realmente la solución no estaba completa. Acabo de darme cuenta de que he dejado en el tintero otras soluciones con coeficientes fraccionarios (por ejemplo, $p(x)=\frac{9x^2+2x-1}{10}$ ). La omisión viene de asumir que íbamos a emparejar $rep[m]$ con un $rep[n]$ con $n\geq m$ , y claro que podemos considerar $n<m$ . Para ello solo hay que considerar que se debe tener $m\cdot s+r\geq 1, \;\forall m\geq 1$ ; es decir, que obtenemos los polinomios de arriba, pero con $s\geq 0$ y $r+s\geq 1 \;(r\geq 1-s)$ .

Por otro lado, faltaba probar que no hay más polinomios aparte de los indicados.

Supongamos un polinomio $p(x)$ de grado $s$ que aplica cualquier repunit en otro repunit. En particular, tomando $m$ suficientemente grande, dado que el polinomio es de grado $s$ , el número de cifras de $p(rep[m])$ será $s\cdot m+r$ , donde $r$ será un número entero determinado por el coeficiente director del polinomio (es decir, que el término de mayor grado es el que discrimina el número de cifras para valores suficientemente grandes). Para este grado $s$ y este entero $r$ tendríamos dos polinomios (el supuesto $p(x)$ y el arriba definido $p_{s,r}(x)$ ) que aplican, para $m$ suficientemente grande, repunits en repunits del mismo número de cifras ( $s\cdot m+r$ ). Por el teorema fundamental del álgebra, deben ser iguales.
Mägo | 10 de June de 2009 | 23:16

Tambien $f(x)= x$ cumple que si $x$ es un repunit $f(x)$ tambien lo es.
De igual forma se puede definir una función $f:R\rightarrow Z$ como sigue
$f(x)= [abs(x)](10^{n+1} + 1)$ en donde $10^{n+1}$ es la menor potencia de $10$ mayor que la maxima potencia de $10$ que aparece en la expasión decimal de $x$ , y $[|x|]$ indica que primero obtenemos $abs(x)$ y despues buscamos el mayor entero menor igual que $abs(x)$
Por ejemplo se tiene que $f(-11.37) = 1111$

No se si mi notacion sea la correcta , por favor haganme saber si he cometido algun error.
epi | 10 de June de 2009 | 23:49

Mägo, $f(x)=x=p_{0,1}(x)$ ya había aparecido. El otro ejemplo que has puesto no es un polinomio, aunque lleva por definición el $rep[n]$ en el $rep[2n]$ , y consigues el mismo efecto que con el polinomio $p_{0,2}(x)=x(9x+2)$ , que en definitiva es la versión polinomial de tu ejemplo (ya que $9x+1$ es potencia de diez).
Mägo | 11 de June de 2009 | 05:34

Oh! cierto, no me percate de que $f(x)$ tenía que ser un polinomio, perdon.

La proxima vez tendre mas cuidado cuando lea el enunciado del problema.

Gracias epi.
Mägo | 14 de June de 2009 | 01:45

Tengo una duda, hay repunits negativos?
Mägo | 14 de June de 2009 | 01:47

Perdon por el comentario anterior, si es repunit es natural, perdon, prometo ya no hacer comentarios “ilustres”.