De unos a unos

El problema de la semana va de números formados únicamente por unos, los llamados repunit (por Gaussianos ya ha aparecido algún repunit, por ejemplo aquí). Vamos con él:

Sabiendo que un repunit es un número natural tal que sus dígitos en base 10 son todos unos, encontrar todos los polinomios f(x) con coeficientes reales tales que si n es un repunit también lo es f(n).

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. Conjeturo que los únicos polinomios que lo cumplen son:

    fm(x) = 10^m * x + repunit de m cifras (m=0,1,2…)
    (ej: x, 10*x+1, 100*x+11, …)

    y también

    f(x) = 1

    Aunque no se me ocurre ahora cómo demostrar que no hay más soluciones…

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  2. Hay más. Entre los constantes no solo tenemos f(x)=1, sino también cualquier f(x)=rep[m], m\geq 1. También tenemos por ejemplo f(x)=9x^2+2x, f(x)=90x^2+20x+1 o f(x)=81x^3+27x^2+3x.

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  3. Me parece mal decirlo, pero el Google es una tentación irresistible. He encontrado la solución por ahí y, sinceramente, me marea.

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  4. Basta tener en cuenta que el repunit de m unos es rep[m]:=(10^m-1)/9, y así 9\cdot rep[m]+1=10^m. Por tanto, si quiero enviar el rep[m] al rep[n], con n\geq m, basta considerar que

    (10^r(9rep[m]+1)^s-1)/9=rep[m\cdot s+r]

    y solo tendremos que ajustar los enteros r,s.

    En definitiva los polinomios pedidos son p_{r,s}(x)=\cfrac{10^r(9x+1)^s-1}{9}, con s\geq 0 y r\geq 1.

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  5. Realmente la solución no estaba completa. Acabo de darme cuenta de que he dejado en el tintero otras soluciones con coeficientes fraccionarios (por ejemplo, p(x)=\frac{9x^2+2x-1}{10}). La omisión viene de asumir que íbamos a emparejar rep[m] con un rep[n] con n\geq m, y claro que podemos considerar n<m. Para ello solo hay que considerar que se debe tener m\cdot s+r\geq 1, \;\forall m\geq 1; es decir, que obtenemos los polinomios de arriba, pero con s\geq 0 y r+s\geq 1 \;(r\geq 1-s).

    Por otro lado, faltaba probar que no hay más polinomios aparte de los indicados.

    Supongamos un polinomio p(x) de grado s que aplica cualquier repunit en otro repunit. En particular, tomando m suficientemente grande, dado que el polinomio es de grado s, el número de cifras de p(rep[m]) será s\cdot m+r, donde r será un número entero determinado por el coeficiente director del polinomio (es decir, que el término de mayor grado es el que discrimina el número de cifras para valores suficientemente grandes). Para este grado s y este entero r tendríamos dos polinomios (el supuesto p(x) y el arriba definido p_{s,r}(x)) que aplican, para m suficientemente grande, repunits en repunits del mismo número de cifras (s\cdot m+r). Por el teorema fundamental del álgebra, deben ser iguales.

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  6. Tambien f(x)= x cumple que si x es un repunit f(x) tambien lo es.
    De igual forma se puede definir una función f:R\rightarrow Z como sigue
    f(x)= [abs(x)](10^{n+1} + 1) en donde 10^{n+1} es la menor potencia de 10 mayor que la maxima potencia de 10 que aparece en la expasión decimal de x, y [|x|] indica que primero obtenemos abs(x) y despues buscamos el mayor entero menor igual que abs(x)
    Por ejemplo se tiene que f(-11.37) = 1111

    No se si mi notacion sea la correcta , por favor haganme saber si he cometido algun error.

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  7. Mägo, f(x)=x=p_{0,1}(x) ya había aparecido. El otro ejemplo que has puesto no es un polinomio, aunque lleva por definición el rep[n] en el rep[2n], y consigues el mismo efecto que con el polinomio p_{0,2}(x)=x(9x+2), que en definitiva es la versión polinomial de tu ejemplo (ya que 9x+1 es potencia de diez).

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  8. Oh! cierto, no me percate de que f(x) tenía que ser un polinomio, perdon.

    La proxima vez tendre mas cuidado cuando lea el enunciado del problema.

    Gracias epi.

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  9. Perdon por el comentario anterior, si es repunit es natural, perdon, prometo ya no hacer comentarios “ilustres”.

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