Pues eso, lo que dice el título. Una única imagen. Una demostración clara, concisa e irrefutable de la fórmula para calcular el área de un círculo a partir de la expresión de la longitud de su circunferencia. Ahí va:
Ha quedado claro, ¿a que sí?
La imagen corresponde a este pdf de la MAA, del cual tuve conocimiento gracias a @MathUpdate.
Bueno, por si no ha quedado suficientemente claro vamos a ponerle alguna palabra a esta demostración. Partimos de un círculo de radio 
Pero realizar este cálculo es sencillo. ¿Cuál es la base? Pues
que es precisamente la fórmula que conocemos.
Bonita demostración, ¿verdad?
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
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Sí que es sencilla sí… Quizá hasta la gente de la ESO la entienda.
Gracias por publicarlo.
[…] Demostración sin palabras de la fórmula para calcular el área de un círculo gaussianos.com/demostracion-sin-palabras-de-la-formula-pa… por adrianmugnoz hace nada […]
Viendo los 4 primeros pasos no he entendido nada, pero al ver el último lo he pillado 🙂
¡Qué chulada de demostración! Sería algo muy bonito para hacer en video, con las circunferencias hechas de cuerda o algo así…
Qué bella demostración!!!! Muy elegante, muy simple, muy contundente…
Excelente demostración. Jamás se me hubiera ocurrido. Gracias totales Gaussianos!!!!
Rubén
la mejor demostracion que he visto aca, excelente no era necesario la explicacion posterior
slds desde guayaquil
Como dice Imanol Pérez, con el párrafo como último toque le he entendido a todo, gracias Gaussianos…
Miguel Santander,
se puede ver una demostración similar «animada» aquí:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/TriangleFromCircle.gif
Si en un círculo desplegamos todos sus anillos circulares, y los consideramos como rectángulos, se forma un triángulo rectángulo de altura r y base 2πr.
A ver que os parece esta:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/DemVisualAreaCirc.html
Don Ignacio me gustaría aprender como realizar esas animaciones con geogebra, soy profesor de secundaria y me gustaria poder hacer algo parecido para demostrar areas de segmentos de parábolas, elipses, etc sin emplear integrales. Mis conocimientos de geogebra son muy elementales. ¿Me puede dar alguna indicación de como podría aprender? Muchísimas gracias y pido perdón si le molesto. Mi correo es miguel@galo.es
Miguel, supongo que en la mayor parte de las comunidades autónomas la consejería correspondiente ofrece cursos para el profesorado. la Sociedad Andaluza de Profesores de Matemáticas THALES también, aunque estos son de pago, pero económicos.
También puedes descargarte los ficheros y con la vista algebraica abierta y mostrando todos los objetos ocultos puedes con el ‘Protocolo de la construcción’ ir viendo paso a paso como se ha realizado.
Desde mi página http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/ no se pueden descargar los ficheros, porque están alojados realmente en la web de GeoGebra.
Pero en la web de GeoGebra, https://www.geogebra.org/, tienes miles de applets en los que puedes buscar por autor o contenido y bajarte el fichero ggb correspondiente.
Y para cualquier duda que tengas, mi correo es ilarrosa@mundo-r.com.
Muchísimas gracias por su amabilidad y paciencia.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Pues eso, lo que dice el título. Una única imagen. Una demostración clara, concisa e irrefutable de la fórmula para calcular el área de un círculo a partir de la expresión de la longitud de su circunferencia. Ahí va: ……
Ignacio, una maravilla el geogebra. Tendremos que aprender a hacer esas cosas que haces.
Anonadado me he quedado con la resulución
Ummm, ¿y no será una casualidad que funcione? Lo digo porque al deformar de ese modo la circunferencia, estás cambiando el diferencial de área. En este caso funciona, claro, pero parece un método de demostración muy fiable. Por ejemplo, con ese método uno podría pensar que la integral
se transforma en polares a 
, y no es verdad.
Paco, no veo lo que pones, pero yo creo que el método no tiene problemas. Haciendo tender el número de coronas circulares a infinito, claro. Si lo piensas, no es más que una suma de Riemann.
Equivale a calcular el área del círculo como:
[…] Visto aquí. […]
Bueno, hay una cosa que no queda clara. Las imágenes dan algo como obvio, sin serlo, y es que los extremos de las líneas se van a alinear en una línea recta, y no curva, que igual hubiera podido ser, ¿no?
Yo estoy con Paco.
…. ein?
también funciona por ejemplo para cualquier polígono regular…
área = (perímetro * apotema) / 2 = (base*altura)/2
(si extiendes y formas un triángulo de base=perímetro y altura=apotema)
Y si pensamos en la circunferencia como polígono de infinitos lados perímetro=2 pi R y apotema= R.
Fernando, las extremos quedan alineados porque la longitud de la circunferencia es proporcional al radio. La pendiente de los lados del triángulo final es justamente
[…] » noticia original […]
Ignacio, claro, escrito de palabra está muy claro, pero en los dibujos, sobre todo en el tercero, no queda nada claro que las líneas deben organizarse de esa manera y no de cualquier otra.
No termino de aclararme sobre si me gusta la demostración o no, es correcta, pero hay un pero que le tengo que poner y es que se me ocurren demostraciones similares que serían erróneas y es difícil explicar porque esa es errónea y esta válida. Por ejermplo podemos considerar un rectángulo. En uno de los lados cortos añadimos medio círculo de diámetro el lado y por el otro lado corto, en vez de añadirlo lo restamos quedando una figura de mismo área (axb si a es el lado corto y b el lado largo). Ahora bien, podemos rellenar el rectángulo por semicircunferencias «paralelas» a las que hay en los extremos. Ahora cogemos cada semicircunferencia y fijamos el punto que cae a mitad de la altura del rectángulo (suponiendo que la base es el lado largo) y la estiramos, formano un rectángulo con un lado igual a b y el otro lado igual a pixa/2 y por tanto de área abxpi/2. Por tanto
ab=abxpi/2
lo que obviamente no puede ser. Obviamente lo que he hecho está mal, pero no soy capaz de explicar de forma sencilla por qué una prueba vale y la otra no. Espero que se haya entendido el ejemplo que he dado.
El perímetro del círculo se convierte en la base del triángulo ahhh. Divertido =/
Exelente demostración, recuerdo haberla visto en una clase de la preparatoria como un comentario.
Quiero añadir que hay un leve error en tu explicación, justo al final : «Por tanto tenemos que el área de ese triángulo, que es precisamente el área…».
El triángulo no tiene área, sino su región triangular, dado que el triángulo rectilíneo es la unión de los segmentos dos a dos para tres puntos cualesquiera no colineales.
Al menos no es un gran error pero siempre he aprendido a ser riguroso, sobretodo en la ♥ Matemática ♥ .
[…] Demostración sin palabras de la fórmula para calcular el área de un cír… […]
Excelente
Vicente Meavilla, en su libro «Aprendiendo matemáticas con los grandes maestros», atribuye esta demostración a Abraham bar Hiia, conocido también como Savasorda
[…] he visto esta entrada en un blog llamado Gaussianos en la que se explicaba cómo deducir la fórmula […]
Excelente. Me pregunto si sirve para hallar el valor de pi, sería interesante.
¡Excelente!
Yo también estoy con Paco.
Creo que si este método funciona realmente, y no es una casualidad, podría extrapolarse al caso de una elipse, lo que proporcionaría una expresión muy simple del perímetro de la misma. Y si no recuerdo mal, era una integral bastante compleja. (Además, si no me he equivocado en el proceso, la expresión del perímetro no dependería de uno de los semiejes, lo cual es absurdo). De aquí que crea que se trata de una maravillosa coincidencia.
Esto lo demostró Aristóteles.
Perdón, quería decir Arquímedes.
Juanjo, la clave está en que las tiras sean de ancho constante, medido por la perpendicular común a los lados «largos». En el círculo que se desenrolla lo son en todo momento, pero en la elipse y en el ejemplo de zurditorium, no.
[…] en Gaussianos. Si te gusta, ¡compártelo! Tweet Esta entrada fue publicada en Curiosidades, […]
Las mejores demostraciones son las más simples y visuales, como ésta por ejemplo. Brillante.
Se merece que la haya incluido en el post que he publicado en mi blog hace un rato:
http://elmundoderafalillo.blogspot.com/2011/12/no-es-mio-pero-es-interesante-xxxix.html
Espero que te guste. Y feliz año 😉
La demostración visual es muy agradable y conduce a un resultado correcto. De todas las formas y sin ánimo de pontificar, creo que eso no garantiza que la demostración sea correcta.
El argumento visual y dinámico que utiliza está basado en una transformación que deforma regiones del plano, no se trata de movimientos rígidos ni de transformaciones afines, y, por tanto, tengo la sensación de que no debería aceptarse.
Otra cosa bien distinta es utilizar la imagen inicial y la final y razonar directamente sobre ellas. Como señala Ignacio Larrosa los extremos de los segmentos están alineados debido a la proporcionalidad entre longitud de la circunferencia y radio (resultado conocido antes de los Elementos). Lo que hay que demostrar es la igualdad de las áreas de las coronas circulares y los correspondientes trapecios isósceles, para lo que hay que usar argumentos arquimedianos (con uso del axioma de exhaución) y es un asunto no complicado, pero un poco más farragoso.
Rectificar es de sabios.
He estado meditando sobre este problema, y, finalmente, creo que la demostración es válida. El autor ha elegido una transformación que en todo momento mantiene invariantes las áreas de las regiones en las que transforma las coronas.
Eso se debe a las características del movimiento que consiste en desenrollar la circunferencia de forma que el extremo que se mueve sigue la trayectoria de la involuta de la circunferencia.
Un applet interactivo para visualizar el asunto en: http://www.geogebratube.org/material/show/id/3491
Carlos,
El que el extrmo que se mueve describa una involuta de la circunferencia nos garantiza que su longitud no cambia. Diriamos casi más bien que recorre una involuta porque la longitud es constante. Pero para que el área de las tiras permanezca constante, lo que necesitamos tambien es que su anchura sea uniforme y no cambie al estirarla.
Esto lo poedmos hacer con el círculo, pero no con la elipse. De ahí que no podamos relacionar el área/perímetro de la elipse por integración/derivación, como si puede hacerse en el caso del círculo, y que en definitiva es lo que se hace en esta demostración visual.
En el caso de la elipse, no la podemos descomponer en coronas elípticas de anchura constante.
Lo que si que cambia al estirar las delgadas coronas circulares a una tira rectangular son los extremos: inicialmente eran ortogonales a los lados longitudinales y luego no. Pero la diferencia es de segundo orden, y se disipa cuando hacemos tender a cero el grosor de las tiras. Igual que sucede con una suma de Riemman, que en definitiva es lo que se está haciendo.
Ignacio,
Estoy totalmente de acuerdo, la clave está en la anchura constante de las regiones que se obtienen al deformar las coronas circulares (además de la constancia de las longitudes).
El autor de la demostración visual lo pensó muy bien y eligió un tipo de transformación a la que no se puede poner pegas.
Mi desconfianza inicial fue consecuencia de una construcción que hice con Geogebra, usando otro movimiento distinto para pasar del estado inicial al final y basado en un movimiento giratorio tipo cicloide que sí implicaba modificación de anchura en la fase de transición.
¡Demostración para «El Libro» de Paul Erdos!
[…] hemos visto varias, por ejemplo en estos dos posts. Pero quizás una de las más llamativas fue la demostración sin palabras de la fórmula para calcular el área de un círculo. Bien, pues hoy os la traigo en […]
[…] https://gaussianos.com/demostracion-sin-palabras-de-la-formula-para-calcular-el-area-de-un-circulo/ Share this:TwitterFacebookMe gusta:Me gustaSé el primero en decir que te gusta esta post. Esta entrada fue publicada en curiositats. Guarda el enlace permanente. ← Nassim Taleb: “La ruptura del euro no es para tanto”, la situación de EEUU es más alarmante,Datos macroeconómicos, economía y política – Expansión.com […]
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[…] conjunto de Mandelbrot, Vicente Muñoz nos habló sobre Planito y la forma del Universo, vimos una demostración sin palabras sobre la fórmula para calcular el area de un círculo, os presente el teorema de Van Aubel, vimos la relación entre acertar el Gordo de Navidad y el […]
[…] complejos) entren directamente por los ojos. Por aquí ya han pasado unas cuantas, como la del área del círculo (y también en vídeo), o la que relacionaba segmento y recta, y muchas más, como las que podéis […]
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muy práctico y sencillo…
genial, aun que no muy riguroso, no entiendo porque se asume que los extremos de los segmentos serán colineales, independiente de cuan abierta esta la circunferencia. he intentado aplicar el método para el perímetro de la elipse, puesto que el área es conocida, pero no sale resultado, ni aproximado. reitero, genial, pero no riguroso.
Enrique tienes las respuestas en los mensajes anteriores. Los extremos están siempre alineados porque las longitudes de los arcos, de igual amplitud angular, son proporcionales a los radios. En la elipse no funciona porque no puedes retirar una tira de anchura constante, a lo largo de la normal al perímetro, y que el conjunto que quede sea semejante al original.
Esta es mi propia versión: http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/DemVisualAreaCirc.html
¡excelente!, siempre me había preguntado el origen de la ecuación del área del círculo.
Nada mal, pero le veo un problema ¿Por qué los puntos en los extremos de las circunferencias, al estar totalmente abiertas, unidos forman segmentos? ¿Por qué no una especia de curva? Si entendemos esto, el problema está resuelto, porque entonces sabríamos que el arreglo de circunferencias abiertas es realmente un triangulo (una región limitada por tres segmentos que se cortan 2 a 2) y podríamos aplicar la fórmula archiconocida…
Bueno yo lo veo así, la longitud L = 2(pi)R depende linealmente de R, y L/2 = (pi)R también depende linealmente de R; esto en una gráfica R vs L/2, quedaría como una recta, con una pendiente m = (1/pi); en la imagen aquí expuesta, la gráfica mencionada encajaría perfectamente con la primera mitad, pero como sabemos que son dos partes simétricas, pues eso, ya está más que demostrado que es un triangulo. Funciona.
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