Demostración sin palabras de la fórmula para calcular el área de un círculo

Pues eso, lo que dice el título. Una única imagen. Una demostración clara, concisa e irrefutable de la fórmula para calcular el área de un círculo a partir de la expresión de la longitud de su circunferencia. Ahí va:

Ha quedado claro, ¿a que sí?


La imagen corresponde a este pdf de la MAA, del cual tuve conocimiento gracias a @MathUpdate.


Bueno, por si no ha quedado suficientemente claro vamos a ponerle alguna palabra a esta demostración. Partimos de un círculo de radio R, por lo que la longitud de la circunferencia exterior es 2 \pi R. Para cada punto representamos círculos concéntricos dentro del círculo inicial, y después cortamos por un radio y abrimos el círculo hasta que la circunferencia exterior quede como una línea recta. Lo que nos queda es que nuestro círculo se ha convertido en un triángulo, del cual podemos calcular el área, que es \frac{\mbox{base} \cdot \mbox{altura}}{2}.

Pero realizar este cálculo es sencillo. ¿Cuál es la base? Pues 2 \pi R, la longitud de la circunferencia exterior inicial. ¿Cuál es la altura? Pues R, el radio del círculo inicial. Por tanto tenemos que el área de ese triángulo, que es precisamente el área del círculo inicial, es

A=\cfrac{2 \pi R \cdot R}{2}=\pi R^2

que es precisamente la fórmula que conocemos.

Bonita demostración, ¿verdad?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

40 Comentarios

  1. Viendo los 4 primeros pasos no he entendido nada, pero al ver el último lo he pillado 🙂

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  2. Qué bella demostración!!!! Muy elegante, muy simple, muy contundente…

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  3. Excelente demostración. Jamás se me hubiera ocurrido. Gracias totales Gaussianos!!!!
    Rubén

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  4. la mejor demostracion que he visto aca, excelente no era necesario la explicacion posterior

    slds desde guayaquil

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  5. Como dice Imanol Pérez, con el párrafo como último toque le he entendido a todo, gracias Gaussianos…

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  6. Ignacio, una maravilla el geogebra. Tendremos que aprender a hacer esas cosas que haces.

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  7. Ummm, ¿y no será una casualidad que funcione? Lo digo porque al deformar de ese modo la circunferencia, estás cambiando el diferencial de área. En este caso funciona, claro, pero parece un método de demostración muy fiable. Por ejemplo, con ese método uno podría pensar que la integral \int_{A_{xy}} f(x,y) \mathrm{d}x,\mathrm{d}y se transforma en polares a \int_{A_{\rho \theta}}f(\rho,\theta) \mathrm{d} \rho,\mathrm{d} \theta, y no es verdad.

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  8. Paco, no veo lo que pones, pero yo creo que el método no tiene problemas. Haciendo tender el número de coronas circulares a infinito, claro. Si lo piensas, no es más que una suma de Riemann.

    Equivale a calcular el área del círculo como:

    S = \int_0^R 2 \pi r dr = \pi R^2

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  9. Bueno, hay una cosa que no queda clara. Las imágenes dan algo como obvio, sin serlo, y es que los extremos de las líneas se van a alinear en una línea recta, y no curva, que igual hubiera podido ser, ¿no?

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  10. también funciona por ejemplo para cualquier polígono regular…

    área = (perímetro * apotema) / 2 = (base*altura)/2

    (si extiendes y formas un triángulo de base=perímetro y altura=apotema)

    Y si pensamos en la circunferencia como polígono de infinitos lados perímetro=2 pi R y apotema= R.

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  11. Ignacio, claro, escrito de palabra está muy claro, pero en los dibujos, sobre todo en el tercero, no queda nada claro que las líneas deben organizarse de esa manera y no de cualquier otra.

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  12. No termino de aclararme sobre si me gusta la demostración o no, es correcta, pero hay un pero que le tengo que poner y es que se me ocurren demostraciones similares que serían erróneas y es difícil explicar porque esa es errónea y esta válida. Por ejermplo podemos considerar un rectángulo. En uno de los lados cortos añadimos medio círculo de diámetro el lado y por el otro lado corto, en vez de añadirlo lo restamos quedando una figura de mismo área (axb si a es el lado corto y b el lado largo). Ahora bien, podemos rellenar el rectángulo por semicircunferencias “paralelas” a las que hay en los extremos. Ahora cogemos cada semicircunferencia y fijamos el punto que cae a mitad de la altura del rectángulo (suponiendo que la base es el lado largo) y la estiramos, formano un rectángulo con un lado igual a b y el otro lado igual a pixa/2 y por tanto de área abxpi/2. Por tanto

    ab=abxpi/2

    lo que obviamente no puede ser. Obviamente lo que he hecho está mal, pero no soy capaz de explicar de forma sencilla por qué una prueba vale y la otra no. Espero que se haya entendido el ejemplo que he dado.

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  13. El perímetro del círculo se convierte en la base del triángulo ahhh. Divertido =/

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  14. Exelente demostración, recuerdo haberla visto en una clase de la preparatoria como un comentario.
    Quiero añadir que hay un leve error en tu explicación, justo al final : “Por tanto tenemos que el área de ese triángulo, que es precisamente el área…”.

    El triángulo no tiene área, sino su región triangular, dado que el triángulo rectilíneo es la unión de los segmentos dos a dos para tres puntos cualesquiera no colineales.
    Al menos no es un gran error pero siempre he aprendido a ser riguroso, sobretodo en la ♥ Matemática ♥ .

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  15. Excelente
    Vicente Meavilla, en su libro “Aprendiendo matemáticas con los grandes maestros”, atribuye esta demostración a Abraham bar Hiia, conocido también como Savasorda

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  16. Excelente. Me pregunto si sirve para hallar el valor de pi, sería interesante.

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  17. Yo también estoy con Paco.
    Creo que si este método funciona realmente, y no es una casualidad, podría extrapolarse al caso de una elipse, lo que proporcionaría una expresión muy simple del perímetro de la misma. Y si no recuerdo mal, era una integral bastante compleja. (Además, si no me he equivocado en el proceso, la expresión del perímetro no dependería de uno de los semiejes, lo cual es absurdo). De aquí que crea que se trata de una maravillosa coincidencia.

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  18. Juanjo, la clave está en que las tiras sean de ancho constante, medido por la perpendicular común a los lados “largos”. En el círculo que se desenrolla lo son en todo momento, pero en la elipse y en el ejemplo de zurditorium, no.

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  19. La demostración visual es muy agradable y conduce a un resultado correcto. De todas las formas y sin ánimo de pontificar, creo que eso no garantiza que la demostración sea correcta.
    El argumento visual y dinámico que utiliza está basado en una transformación que deforma regiones del plano, no se trata de movimientos rígidos ni de transformaciones afines, y, por tanto, tengo la sensación de que no debería aceptarse.
    Otra cosa bien distinta es utilizar la imagen inicial y la final y razonar directamente sobre ellas. Como señala Ignacio Larrosa los extremos de los segmentos están alineados debido a la proporcionalidad entre longitud de la circunferencia y radio (resultado conocido antes de los Elementos). Lo que hay que demostrar es la igualdad de las áreas de las coronas circulares y los correspondientes trapecios isósceles, para lo que hay que usar argumentos arquimedianos (con uso del axioma de exhaución) y es un asunto no complicado, pero un poco más farragoso.

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  20. Rectificar es de sabios.
    He estado meditando sobre este problema, y, finalmente, creo que la demostración es válida. El autor ha elegido una transformación que en todo momento mantiene invariantes las áreas de las regiones en las que transforma las coronas.
    Eso se debe a las características del movimiento que consiste en desenrollar la circunferencia de forma que el extremo que se mueve sigue la trayectoria de la involuta de la circunferencia.

    Un applet interactivo para visualizar el asunto en: http://www.geogebratube.org/material/show/id/3491

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  21. Carlos,

    El que el extrmo que se mueve describa una involuta de la circunferencia nos garantiza que su longitud no cambia. Diriamos casi más bien que recorre una involuta porque la longitud es constante. Pero para que el área de las tiras permanezca constante, lo que necesitamos tambien es que su anchura sea uniforme y no cambie al estirarla.

    Esto lo poedmos hacer con el círculo, pero no con la elipse. De ahí que no podamos relacionar el área/perímetro de la elipse por integración/derivación, como si puede hacerse en el caso del círculo, y que en definitiva es lo que se hace en esta demostración visual.

    En el caso de la elipse, no la podemos descomponer en coronas elípticas de anchura constante.

    Lo que si que cambia al estirar las delgadas coronas circulares a una tira rectangular son los extremos: inicialmente eran ortogonales a los lados longitudinales y luego no. Pero la diferencia es de segundo orden, y se disipa cuando hacemos tender a cero el grosor de las tiras. Igual que sucede con una suma de Riemman, que en definitiva es lo que se está haciendo.

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  22. Ignacio,
    Estoy totalmente de acuerdo, la clave está en la anchura constante de las regiones que se obtienen al deformar las coronas circulares (además de la constancia de las longitudes).
    El autor de la demostración visual lo pensó muy bien y eligió un tipo de transformación a la que no se puede poner pegas.
    Mi desconfianza inicial fue consecuencia de una construcción que hice con Geogebra, usando otro movimiento distinto para pasar del estado inicial al final y basado en un movimiento giratorio tipo cicloide que sí implicaba modificación de anchura en la fase de transición.
    ¡Demostración para “El Libro” de Paul Erdos!

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  23. genial, aun que no muy riguroso, no entiendo porque se asume que los extremos de los segmentos serán colineales, independiente de cuan abierta esta la circunferencia. he intentado aplicar el método para el perímetro de la elipse, puesto que el área es conocida, pero no sale resultado, ni aproximado. reitero, genial, pero no riguroso.

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  24. Enrique tienes las respuestas en los mensajes anteriores. Los extremos están siempre alineados porque las longitudes de los arcos, de igual amplitud angular, son proporcionales a los radios. En la elipse no funciona porque no puedes retirar una tira de anchura constante, a lo largo de la normal al perímetro, y que el conjunto que quede sea semejante al original.

    Esta es mi propia versión: http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/DemVisualAreaCirc.html

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  25. ¡excelente!, siempre me había preguntado el origen de la ecuación del área del círculo.

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  26. Nada mal, pero le veo un problema ¿Por qué los puntos en los extremos de las circunferencias, al estar totalmente abiertas, unidos forman segmentos? ¿Por qué no una especia de curva? Si entendemos esto, el problema está resuelto, porque entonces sabríamos que el arreglo de circunferencias abiertas es realmente un triangulo (una región limitada por tres segmentos que se cortan 2 a 2) y podríamos aplicar la fórmula archiconocida…
    Bueno yo lo veo así, la longitud L = 2(pi)R depende linealmente de R, y L/2 = (pi)R también depende linealmente de R; esto en una gráfica R vs L/2, quedaría como una recta, con una pendiente m = (1/pi); en la imagen aquí expuesta, la gráfica mencionada encajaría perfectamente con la primera mitad, pero como sabemos que son dos partes simétricas, pues eso, ya está más que demostrado que es un triangulo. Funciona.

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