Demostración sobre números armónicos

El problema de la semana nos lo envía Abraham usando nuestro formulario de contacto. Ahí va:

Los números armónicos $H_j$ se definen, para $j=1,2,3 \ldots$ , de la siguiente forma:

$H_j=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+ \dots + \cfrac{1}{j}$

A partir de esto, demostrar la siguiente desigualdad:

$H_{2^n} \ge 1+ \cfrac{n}{2}$

A por él.

12 comentarios

Gulliver | 29 de November de 2010 | 09:40

Cada vez son más difíciles
Trackback | 29 Nov, 2010

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luis | 29 de November de 2010 | 09:47

No tengo latex. Os hago un esbozo:

Se demuestra por inducción. El truco es que 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 (=1/2).
Luego 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 (=1/2).
Los dos primeros sumados > (2**1) /2.

La inducción es igual para el término enésimo
josejuan | 29 de November de 2010 | 10:11

Si partimos de la acotación (Wiki)

$H_{n}\geq \gamma +\ln n$

y comparamos ésta expresión con la indicada

$\gamma +\ln 2^{n}\geq 1+\frac{n}{2}$

llegamos directamente a que debe ser

$n\geq \frac{1-\gamma }{\ln 2-\frac{1}{2}}=2.1889231$ …

y para los valores no demostrados, tenemos que

$H_{2^{0}}=1\geq 1+\frac{0}{2}$
$H_{2^{1}}=1+\frac{1}{2}\geq 1+\frac{1}{2}$
$H_{2^{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\geq 1+\frac{2}{2}$

por lo que queda demostrado para todo n>=0.
Vayapordios | 29 de November de 2010 | 10:46

Lo que dice Luis vale por una demostración. La demostración de que la serie armónica es no acotada suele pasar por establecer la desigualdad propuesta, al menos, ha sido así las veces que la he visto.

Si quieres un programa que te escriba en Latex yo he pillado MathType. Es básicamente el editor de ecuaciones del Word pero con añadidos como el que digo. Al final de los comentarios publicados te explican cómo meter lo que te da el programilla este.
reto | 29 de November de 2010 | 11:10

Una idea: ¿cuál es el error que se comete al aproximar por 1+n/2 cada Hsub2^n?
M | 29 de November de 2010 | 13:22

La demostración que ha indicado Luis es la célebre prueba de Nicolás de Oresme (parece ser la primera prueba de divergencia de la serie armónica). En cuanto a la cuestión que indica reto:

$H_n=log(n)+\gamma-\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \dfrac{B_k}{n^k}}$

(donde los $B_k$ ’s son los números de Bernoulli), y de ahí se ve que el error $H_{2^n}-1-\frac{n}{2}=n(log(2)-\frac{1}{2})+\gamma-1+\frac{1}{2^n}\mathcal{O}(1)$ , que tiende a infinito con n.
Trackback | 29 Nov, 2010

Bitacoras.com
Gulliver | 29 de November de 2010 | 13:49

$\displaystyle H_n = log(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2 k \ n^{2k}}$ según MathWorld
AM | 29 de November de 2010 | 17:42

Por inducción como indicaban anteriormente:

Podemos escribir
$\displaystyle H_j=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+ \dots + \cfrac{1}{j}=\sum_{i=1}^j \cfrac{1}{i}$

Suponemos que se cumple:
$\displaystyle H_{2^n} \ge 1+ \cfrac{n}{2}$

Comprobamos si se cumple:
$\displaystyle H_{2^{n+1}} \ge 1+ \cfrac{n+1}{2} = 1+ \cfrac{n}{2} + \cfrac{1}{2}$

Por otro lado sabemos que:
$\displaystyle H_{2^{n+1}} = H_{2^n} + \sum_{i=2^n +1}^{2^{n+1}} \cfrac{1}{i}$

Con lo cual sólo hay que demostrar que:
$\displaystyle \sum_{i=2^n +1}^{2^{n+1}} \cfrac{1}{i} \ge \cfrac{1}{2}$

Que es evidente ya que:
$\displaystyle \sum_{i=2^n +1}^{2^{n+1}} \cfrac{1}{i} \ge \sum_{i=2^n +1}^{2^{n+1}} \cfrac{1}{2^{n+1}} = \cfrac{2^n}{2^{n+1}} = \cfrac{1}{2}$
Nando | 29 de November de 2010 | 21:46

Sé que mi comentario está fuera de lugar pero necesito ayuda. Podrían darme un consejo para encontrar las soluciones de esta ecuación
$x^{3/2}=\int x^{x}dx$
en el intervalo [0,2]
Mikhe | 30 de November de 2010 | 01:05

Se demuestra por induccion:

-Caso $n=0$ :

$H_{2^{0} } \ge 1 + \frac{0}{2} \Rightarrow H_{1} = 1 \ge 1$

Tomamos cierta para un cierto $n$ :

$H_{2^{n} } \ge 1 + \frac{n}{2}$

Entonces hay que demostrar que la siguiente desigualdad tambien se cumple:

$H_{2^{n + 1} } \ge 1 + \frac{{n + 1}}{2}$

Empezamos:

$H_2 = 1 + \frac{1}{2} \Rightarrow H_2 - 1 = \frac{1}{2}$ (Esto lo sustituyo en la siguiente ecuación)

$1 + \frac{{n + 1}}{2} = 1 + \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \le H_{2^n } + \frac{1}{2} = H_{2^n } + H_2 - 1 \le H_{2^n } + H_2$

En este punto es donde me estanco… ya que necesito demostrar que:

$H_{2^n } + H_2 = H_{2^n \cdot 2} = H_{2^{n + 1} }$

Y yo veo que:

$H_{2^n \cdot 2} = \sum\limits_{i = 1}^{2^n \cdot 2} {\frac{1}{i} = \sum\limits_{i = 1}^{2^n } {\frac{1}{i} + \sum\limits_{i = 2^n + 1}^{2^{n + 1} } {\frac{1}{i}} } }$
Pero no se si voy por buen camino….

Alguien me ayuda..¿?