Demostrando “directamente” la no numerabilidad de los números trascendentes

Que el conjunto de los números trascendentes es un conjunto no numerable es un hecho bastante conocido, y hasta diría que sencillo de demostrar. De hecho, en este mismo blog ya hemos publicado alguna demostración del mismo, aunque dicha prueba es, por decirlo de alguna manera, “indirecta” (en realidad se demuestra que el conjunto de los números algebraicos sí es numerable, por lo que el de los trascendentes no puede serlo). Hoy vamos a ver una prueba “directa” de la no numerabilidad de los trascendentes.

Pero comencemos por el principio. Aunque podría apostar a que la mayoría de los lectores de este blog saben qué es un número algebraico y un número trascendente, creo que no está de más recordarlo. A saber:

– Un número real \alpha es un número algebraico si existe algún polinomio de grado finito cuyos coeficientes sean todos números enteros

p(n)=a_nx^n+ \ldots+ a_1x+a_0

que tenga a \alpha como raíz (es decir, tal que p(\alpha)=0).

– Un número real \beta es un número trascendente si no es algebraico (es decir, si no existe ningún polinomio con las características descritas antes que lo tenga como raíz).

Todo número real puede clasificarse como algebraico (si existe tal polinomio) o trascendente (si no existe dicho polinomio). Por tanto, el conjunto \mathbb{R} de los números reales puede expresarse como la unión del conjunto \mathbb{A} de los números algebraicos y el conjunto \mathbb{T}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{A} de los números trascendentes.

La demostración habitual de la no numerabilidad de los números trascendentes parte del conocido hecho de que los números reales forma un conjunto no numerable. Teniendo en cuenta esto, se demuestra que el conjunto de los números algebraicos sí es numerable y de ahí se deduce que el de los trascendentes (el resto de número reales) no puede serlo, con lo que la demostración está terminada.

Pero, como decíamos al principio, esto no es una demostración “directa”, no demostramos directamente que los trascendentes son no numerables, sino que los algebraicos sí lo son, y nuestro objetivo se obtiene como consecuencia de esto.

Pero el caso es que dicha prueba “directa” existe, y hoy la vamos a ver aquí. Comencemos definiendo la siguiente función del intervalo [0, + \infty) en los números trascendentes

f:[0,+ \infty) \longrightarrow \mathbb{R} \backslash \mathbb{A}

de la siguiente forma:

f(x) =     \begin{cases}        \pi+x              & \mbox{, si } \pi+x \not\in \mathbb{A}   \\        \pi-x              & \mbox{, si } \pi+x \in \mathbb{A}     \end{cases}

Veamos para comenzar que nuestra función f(x) está bien definida (es decir, que para todo valor de x obtenemos un número trascendente). Si x es un número mayor o igual que cero tal que \pi+x no es algebraico entonces no hay problema, ya que el valor de la función es el propio \pi+x, que como hemos dicho antes no es algebraico (y por tanto es trascendente). Ahora, si x es un número mayor o igual que cero tal que \pi+x sí que es algebraico, entonces \pi-x debe ser obligatoriamente trascendente. ¿Por qué? Muy sencillo. Si \pi-x también fuera algebraico en este caso, y usando que

  • Si sumamos dos algebraicos obtenemos un algebraico.
  • Si dividimos un algebraico entre un número entero obtenemos un algebraico.

tendríamos que

\pi=\cfrac{(\pi+x)+(\pi-x)}{2}

sería algebraico, pero ya sabemos que en realidad \pi es un número trascendente. Por tanto, si \pi+x es algebraico entonces \pi-x no lo es, y en consecuencia la función f(x) está bien definida.

Nos falta el toque final, pero para ello necesitamos comentar algo antes. El intervalo [0,+ \infty) es un conjunto no numerable, por lo que si encontramos otro conjunto que contenga como subconjunto algo tan grande como dicho intervalo entonces ese otro conjunto también será no numerable. Pues eso mismo es lo que vamos a hacer: demostrar que dentro del conjunto \mathbb{R} \backslash \mathbb{A} de los números trascendentes hay un conjunto tan grande como el intervalo [0,+ \infty). Y eso lo vamos a ver comprobando que nuestra función f(x) es inyectiva, pero antes de nada vamos a definir dicha propiedad de ciertas funciones:

Una función g:A \longrightarrow B es inyectiva si dados x,y \in A, el hecho de que f(x)=f(y) implica que x=y.

En otras palabras, si x \ne y, entonces f(x) \ne f(y). Es decir, el conjunto B tiene un elemento por cada uno de los elementos de A, por lo que, dicho informalmente, B tiene al menos tantos elementos como tiene A.

Veamos que nuestra función es inyectiva:

Sean x,y \in [0,+ \infty) y supongamos que f(x)=f(y). Hay tres casos:

  1. Tanto \pi+x como \pi+y son algebraicos

    Entonces f(x)=\pi-x y f(y)=\pi-y, por lo que de f(x)=f(y) tenemos que \pi-x=\pi-y. De aquí, restando \pi a ambos lados y multiplicando después la expresión completa por -1 llegamos a donde queríamos, x=y.

  2. Tanto \pi+x como \pi+y son trascendentes

    Entonces f(x)=\pi+x y f(y)=\pi+y, por lo que de f(x)=f(y) tenemos que \pi+x=\pi+y. De aquí, restando \pi a ambos lados llegamos también a que x=y.

  3. Uno de ellos, por ejemplo \pi+x, es algebraico y el otro, \pi+y, es trascendente

    Entonces f(x)=\pi-x y f(y)=\pi+y. De f(x)=f(y) tenemos que \pi-x=\pi+y, y restando \pi a ambos lados obtenemos que -x=y. Pero tanto x como y son mayores o iguales que cero, por lo que la única posibilidad real de que esto ocurra es que ambos sean cero, por lo que también llegamos a que x=y.

Es decir, sean cuales sean x,y \in [0,+ \infty) se tiene que partiendo de f(x)=f(y) obtenemos que x=y. Por tanto f(x) es inyectiva, y esto en nuestro caso significa que el conjunto \mathbb{R} \backslash \mathbb{A} de los números trascendentes contiene un conjunto no numerable, por lo que él mismo es también no numerable.


Espero que la demostración que os traigo hoy os haya parecido interesante, y también espero que si conocéis alguna otra demostración que siga esta línea la compartáis con nosotros en los comentarios.


Fuente: la página de Facebook de The American Mathematical Monthly. Yo lo vi en la página de Facebook de Matgazine.


Esta entrada es la primera aportación de Gaussianos a la edición 4.12310562561 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro amigo Cuentos Cuánticos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

19 Comentarios

  1. Me gustó el hecho de que la prueba sea usando cosas elementales.
    Me sacó una sonrisa :).
    Saludos.

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  2. Me ha gustado, pero la inyección resulta mucho más obvia. Basta con observar que, en ese intervalo, \pi + x arroja valores mayores que \pi , mientras que \pi - x menores. Es imposible que haya ‘colisiones’. La única salvedad es el caso de f(x)= \pi, pero es evidente que eso sólo es posible si x=0.

    Con la misma idea se puede buscar una función compuesta por dos funciones que no compartan ninguna imagen en toda la recta real, y así darnos el gustazo de demostrarlo con el intervalo (- \infty ,+ \infty) , que no es que sea más valido, ni más riguroso… pero mola.

    Por ejemplo:

    f(x) = \begin{cases} \pi+2^x & \mbox{, si } \pi+2^x \not\in \mathbb{A} \\ \pi-2^x & \mbox{, si } \pi+2^x \in \mathbb{A} \end{cases}

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  3. AeR, muchas gracias, aquí estamos de nuevo :).

    Romi, fíjate, un tema tan complejo como éste demostrado de una forma tan elemental :).

    sive, muy buen aporte. No es más válido, pero es muy interesante :).

    Dani, muchas gracias. He vuelto para quedarme de nuevo :).

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  4. Gracias DIAMOND por volver. Espero que estas merecidas vacaciones te hayan sentado muy bien.

    No he pensado mucho en el problema, pero siguiendo el razonamiento de la demostración pienso que en la función que se crea tanto por DIAMOND como por Sive se podría sustituir el número \pi por cualquier otro valor a / a sea trascendente, lo cual daría mayor elegancia si cabe a la demostración.

    Por cierto, es la primerea vez que consigo editar algo con latex aunque sea tan sencillo como el núnero \pi. Vamos aprendiendo

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  5. Paseándome por el blog he encontrado un problema que propuso Dani el 31 de enero de 2010 en la entrada “Monstruos numéricos” y es el siguiente:

    Problema: ¿Cuál es la probabilidad de elegir 3 puntos al azar en una circunferencia y que caigan todos en una misma semicircunferencia?

    Me he interesado en él y creo haberlo resuelto.

    Coloquemos dos puntos al azar en la circunferencia y llamemos x e y a las fracciones de longitud de la misma en que queda dividida. Tenemos que x + y = 1. O sea: y = 1 – x.
    Sea x el mayor de los dos.
    Es fácil ver que, elegido un x, la probabilidad de que un tercer punto divida a x en dos valores, uno de los cuales sea mayor que 1/2 sería la solución para ese valor de x.
    Dicha probabilidad es fácil ver que es 2 – 1 / x, ya que el punto debe estar a una distancia igual o mayor que media circunferencia de cada uno de los extremos del arco x, es decir distará de otro extremo x – 1 / 2 como máximo.

    La probabilidad total para todos los valores posibles de x será igual a la integral definida entre 1/2 y uno de (2 – 1 / x) dx dividida por el intervalo 1/2, 1.

    Dicha integral vale 2x- Lx y la probabilidad será pues

    2 + L(1/4) = 0,6137…

    Mediante una simulación con EXCEL he comprobado que la solución es correcta. El resultado es algo curioso.

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  6. Comparto con vosotros un error que yo mismo cometí, después de leer este hilo. Al fin y al cabo, se supone que de los errores se aprende.

    Se me ocurrió que con esta demostración se podía probar la no numerabilidad de los indefinibles.

    Basta con cambiar \pi por otro símbolo cualquiera (por ejemplo, \tau) que represente un número indefinible cuyo valor, obviamente, no podemos precisar. Es fácil ver que la función estaría bien definida, puesto que si tanto \tau + x como \tau - x son definibles, tendríamos que \tau sería la media aritmética de dos números definibles, es decir, que estaría bastante bien definido.

    El resto del razonamiento sería prácticamente igual, con lo que demostraríamos directamente la no numerabilidad de los números indefinibles, sin necesidad de demostrar la numerabilidad de los definibles.

    Pero después vi el error. ¿Alguien más lo ve?

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  7. Me encanta esta demostración.
    Aunque la demostración es sencilla, enhorabuena al que dió con la función.

    Estoy interesado en cualquier función que aporte algo.

    Un ejemplo, la función f del intervalo [0,1] en el intervalo (0,1) definida por f(0)=1/2, f(1/n)=1/n+2, si n es natural y f(x)=x en otro caso, es una biyección. Observar que para conseguir dicha biyección se parte de la función identidad y se redefine esta en un conjunto numerable de puntos, sin la intervención del infinito eso no sería posible.

    Me interesa cualquier información sobre la a veces llamada función de Cauchy:
    f(x)= e^-1/x^2, f(0)=0.Dónde x es real, pero también me interesa cuando x sea complejo.

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  8. gaussianos y a quien le interese. El error de del que hablaba es bastante sutil, es normal que a bote pronto no lo veas. Precisamente por eso lo quería compartir. Tardé bastante tiempo en darme cuenta de que me había colado un gol por toda la escuadra a mí mismo.

    En realidad, la demostración en sí es correcta, el error está en la conclusión, cuando escribí:

    “… con lo que demostraríamos directamente la no numerabilidad de los números indefinibles, sin necesidad de demostrar la numerabilidad de los definibles.”

    Eso es incorrecto, porque la “demostración” necesita que exista al menos un número indefinible (el que llamé \tau ). Pero resulta que la existencia de los indefinibles, se prueba contando los definibles, comprobando que forman un conjunto numerable, y por tanto, forzosamente existen reales indefinibles.

    Es resumen, el error consiste en que estoy usando de forma implícita la premisa que quería evitar.

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  9. sive, pues sí que es sutil el asunto…

    Y digo yo, ¿no hay otra forma de demostrar que existen números indefinibles?

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  10. Sive, no tengo totalmente claro qué es un número indefinible. Intuyo que es un número que “no sabemos” definir con una expresión en la que intervengan símbolos matemáticos y números definibles.
    De hecho, cada vez que asignamos un símbolo o una expresión a un número trascendente desconocido hasta ese momento, lo estamos “rescatando” para convertirlo es definible.

    Supongamos que definimos un nuevo conjunto de números:

    Llamemos “meta-algebraico” a un número “m” si existe algún polinomio con un número finito de términos cuyos coeficientes y exponentes sean todos algebraicos o pertenezcan al conjunto de los trascendentes conocidos, que tenga como raíz a “m”.

    Los valores que pueden adoptar tanto los coeficientes como los exponentes de dichos polinomios forman un conjunto numerable.

    Si pudiéramos probar que el conjunto de sus raíces también es numerable demostraríamos que hay números no definibles y tu razonamiento se volvería correcto.

    Pido perdón si mi ignorancia me ha inducido a decir algún disparate. Espero algún comentario al respecto.

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  11. gaussianos me sorprendería muchísimo que existiera alguna prueba que demuestre la existencia de los indefinibles sin probar antes la numerabilidad de los definibles… pero en realidad no lo sé con certeza.

    JJGJJG aunque tu prueba fuera correcta, si lo he entendido bien, estarías probando la numerabilidad de los definibles, que es justo lo que quería evitar.

    De todos modos no es correcto el planteamiento porque los indefinibles no son exactamente eso.

    Un número real es definible si podemos describir en lenguaje castellano (o el que corresponda en cada caso) una propiedad que cumpla únicamente el número en cuestión.

    Eso incluye los números definidos mediante operaciones matemáticas de todo tipo, pero también otros. Algunos de ellos ni siquiera son computables.

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  12. ¿Qué tal una demostración de corte logicista?

    Toda definición consta de una cantidad finita de símbolos, tomados de un vocabulario de extensión, también, finita. Por ende, el conjunto de las definiciones (y, con ello, el de los números definibles) es numerable.
    Curiosamente, esto también demuestra que no sólo el conjunto de los números, sino el de todos los objetos matemáticos definibles es numerable.

    http://eltopologico.blogspot.com.ar/2010/01/paradojas-del-infinito-i.html

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  13. ¿Y no es el mismo conjunto el de los indefinibles y el de los trascendentes?

    Todos los trascendentes que conozco se apoyan en algún tipo de desarrollo infinito, no en un bloque de símbolos finito (frase en algún idioma). Por su parte, los algebraicos, siempre llevan asociado un polinomio, ésa es su frase. Me parece una cuestión que no se ha tratado y que parece bastante plausible.

    Un saludo.

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  14. No Samuel, \pi es trascendente, y se puede definir fácilmente como la razón entre la circunferencia y el diámetro.

    Que un número sea definible o no, no tiene nada que ver con la forma en que calculemos su valor. Ni siquiera tiene que ver con que podamos o no calcularlo.

    Por ejemplo, imagina que vivimos en un universo alternativo, en el que sabemos que la razón entre circunferencia y diámetro es constante, y llamamos a esta constante \pi

    Hasta aquí bien, pero ahora imagina también que en ese universo es imposible calcular su valor, y solo podemos saber que está entre 3 y 4.

    Aún así, en ese universo raro, Pi estaría perfectamente definido.

    Lo sorprendente del caso (o a mí me lo parece al menos) es que no hace falta salirse de este universo para encontrar números perfectamente definidos pero no computables. Por ejemplo, la constante de Chaitin.

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  15. Puntualizo mi comentario anterior. Cuando escribí:

    “Que un número sea definible o no, no tiene nada que ver con la forma en que calculemos su valor. Ni siquiera tiene que ver con que podamos o no calcularlo.”

    Me refería a que el hecho de no poder calcular con una precisión prefijada arbitraria un número, no implica que el número es indefinible.

    Lo contrario si es cierto, un número calculable de este modo (computable, se llama) es siempre definible, porque el propio algoritmo para obtenerlo sirve como definición.

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