Demostrando el teorema de Pitágoras con la fórmula de Herón

El teorema de Pitágoras es uno de esos resultados matemáticos que no necesitan presentación. Todos conocemos este teorema y muchos lo aplicamos continuamente. Pero ¿cuánta gente es capaz de recordar así a bote pronto una demostración de este hecho? Bueno, sí, tenemos la que publicamos hace un tiempo en este blog. Pero hay muchas más.

Probablemente la fórmula de Herón sea menos conocida para el público en general. En este artículo vamos a ver una demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón.

La Fórmula de Herón

Herón de Alejandría fue un matemático e ingeniero griego que vivió en el siglo I a.C. Aunque no nos vamos a extender en su biografía comentar que fue más ingeniero que matemático, aunque en el campo de las Matemáticas escribió una obra llamada La Métrica donde estudió áreas y volúmenes de distintas superficies y cuerpos. Pero sin duda el aporte en Matemáticas más importante hecho por Herón fue la siguiente fórmula, conocida por fómula de Herón:

Teorema: (Fórmula de Herón)

Dado un triángulo cualquiera de lados a,b,c, y siendo s=\frac{a+b+c}{2} su semiperímetro se tiene que el área A de ese triángulo puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

Es decir, la fórmula de Herón relaciona directamente el área de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Demostración

Supongamos que las longitudes de los lados del triángulo son a,b,c y los ángulos opuestos a cada uno de los lados son A,B,C respectivamente. Por el teorema del coseno tenemos que:

cos(C)=\cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Por la identidad fundamental de la trigonometría (sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1) tenemos:

sen(C)=\sqrt{1-cos^2(C)}=\cfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{2ab}

Teniendo en cuenta que la altura de un triángulo de base a es bsen(C) y desarrollando a partir de la fórmula del área de un triángulo que conocemos (A=\frac{1}{2}(base)(altura)):

\begin{matrix} A=\cfrac{1}{2}(base)(altura)=\cfrac{1}{2}absen(C)=\cfrac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}= \\ =\cfrac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))}=\frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)}= \\ =\frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))((c +(a -b))((a +b) -c))((a +b) +c)}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{matrix}

También podéis ver una demostración geométrica de esta fórmula en este artículo en MathForum. Probablemente para el caso que nos ocupa sea más apropiadad que la analítica al no utilizar el teorema de Pitágoras ni la identidad fundamental de la trigonometría.

Demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón

Vamos ahora con la parte importante del artículo:

Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos son a,b y su hipotenusa es c. Entonces su área es A=\cfrac{1}{2}ab.

Siendo s=\cfrac{a+b+c}{2} el semiperímetro del triángulo rectángulo se tiene que s-a=\cfrac{-a+b+c}{2},s-b=\cfrac{a-b+c}{2} y s-c=\cfrac{a+b-c}{2}. Elevando al cuadrado la fórmula de Herón, sustituyendo estos datos en ella y multiplicando por 16 a ambos lados tenemos lo siguiente:

16A^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

Haciendo algunas operaciones sencillas llegamos a:

16A^2=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-(a^4+b^4+c^4)

Partiendo de la fórmula conocida del área de un triángulo rectángulo, elevando al cuadrado y multiplicando por 16 a ambos lados obtenemos lo siguiente:

16A^2=4a^2b^2

Igualando las dos expresiones llegamos a:

4a^2b^2=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-(a^4+b^4+c^4)

Pasando todos los términos al lado izquierdo y agrupando:

(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 + c^4 = 0

Aplicando la fórmula del cuadrado de una suma y sacando 2c^2 factor común:

(a^2+b^2)^2 - 2c^2(a^2+b^2)+ c^4 = 0

Y aplicando ahora la fórmula del cuadrado de una diferencia:

((a^2+b^2)-c^2)^2=0

Por tanto (a^2+b^2)-c^2=0 \rightarrow a^2+b^2=c^2, quedando así demostrado el teorema de Pitágoras.

Fuentes:

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36 comentarios

  1. Pasotaman | 16 de octubre de 2007 | 09:43

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    Interesante como siempre, aunque lo mata un poco el hecho que se se use la identidad fundamental de la trigonometría, que ya es el teorema de pitágoras normalizado (aunque por supuesto puede probarse de forma independiente partiendo de las series de Taylor del seno y el cose, p.ej.).

  2. Asier | 16 de octubre de 2007 | 14:45

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    Muy buena observación, Pasotaman, ¿cómo justificas eso, ^DiAmOnD^?

  3. Asier | 16 de octubre de 2007 | 15:03

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    Lo digo porque si aceptamos que \displaystyle \sin(\alpha)^2 + \cos(\alpha)^2 = 1, entonces, para un triángulo rectángulo con lados a, b y c, siendo a la base, c la hipotenusa, y \alpha el ángulo que forman a y c, tenemos:

    \displaystyle \sin(\alpha)^2 = \frac{b^2}{c^2}, \displaystyle \cos(\alpha)^2 = \frac{a^2}{c^2}

    y nos queda: \displaystyle \frac{b^2}{c^2}+ \frac{a^2}{c^2} = 1

    y por lo tanto: a^2 + b^2 = c^2, el teorema de Pitágoras.

  4. Domingo H.A. | 16 de octubre de 2007 | 21:06

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    No sé si han leído el libro “Euler. El maestro de todos los matemáticos”. Aparece la demostración simplificada que da Euler a la fórmula de Herón y otras demostraciones posteriores más simples. Lectura muy recomendable.

  5. Francisco | 16 de octubre de 2007 | 22:16

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    hola
    soy nuevo aquí comentando
    pero ya he estado visitando la pagina desde hace mucho
    me parece interesante todo lo que publican aquí
    ya que me gustan las matematicas
    no soy tan avanzado como ustedes
    pero he aprendido un poco de aqui
    jeje
    saludos

  6. ^DiAmOnD^ | 17 de octubre de 2007 | 03:09

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    Vaya, interesante cuestión Pasotaman. Vamos a ver, creo que el problema principal sería el siguiente:

    Con el teorema de Pitágoras probamos la validez de la identidad fundamental de la trigonometría. Después usamos ésta para demostrar la fórmula de Herón y para finalizar con ésta última probamos el teorema de Pitágoras. Evidentemente esto no sería posible. Pero el propio Pasotaman da la clave: para demostrar la identidad fundamental de la trigonometría no nos hace falta conocer el teorema de Pitágoras, podemos hacerlo por series de Taylor. Podéis verlo en la Wikipedia inglesa.

    De todas formas también es cierto que la demostración quedaría mejor sin utilizar esa identidad. He estado echando un ojo por ahí pero no he encontrado nada. Domingo por desgracia no he leído ese libro ni tengo acceso a él. Si tú puedes echarle un ojo mi mail está deseoso de recibir esa demostración :).

    Francisco me alegro de que te guste el blog. Sigue entrando, continuaremos por aquí :).

  7. Jones, Francisco | 17 de octubre de 2007 | 08:38

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    Aquí tienes la página web de la editorial donde se presenta el libro

    http://www.nivola.com/framelibro.asp?ref=12

  8. Asier | 17 de octubre de 2007 | 09:09

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    Desde mi punto de vista el problema es que se trata de demostrar un teorema sencillo partiendo de otro más complejo que de alguna manera ya lo incluye de manera intrínseca.

    Por eso para demostrar el teorema de Pitágoras lo ideal en mi opinión son las demostraciones básicas y visuales como la que ya se publicó.

    Utilizar las series de Taylor para probar la identidad fundamental de la trigonometría me parece una ‘burrada’, pues considero que es una herramienta muy avanzada (derivadas, series infinitas…) para demostrar algo tan básico. Es decir, me parece inconcebible que se hubiera podido desarrollar toda la teoría de las series de Taylor sin tener conocimiento del teorema de Pitágoras.

  9. Pasotaman | 17 de octubre de 2007 | 09:57

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    Mi opinión sobre el tema es que lo preferible para dejar el desarrollo en un nivel elemental sería una demostración puramente gráfica de la fórmula de Herón. Sé que existe (la vi hace unos años en un libro de topografía) aunque no sería capaz de reconstruirla ahora.

    Sin embargo, para mí me quedo claramente con la forma de introducir las funciones trigonométricas del Calculus de Apostol (introduce sus inversas como integrales). De ahí se deducen bien sus propiedades y además se conecta fácilmente con los triángulos, simplemente definiendo los ángulos como áreas. El teorema de Pitágoras es entonces un resultado trivial.

    Porque en realidad las demostraciones gráficas también dependen de integrales, ¿o no? Ya, todo mundo sabe que el área de un rectángulo es base*altura, pero para hacer eso riguroso hay que definir el área.

  10. Pasotaman | 17 de octubre de 2007 | 11:02

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    La prueba geométrica:

    http://mathforum.org/library/drmath/view/54686.html

    Es difícil saber si es necesario el teorema de Pitágoras para demostrar alguna de las relaciones de semejanza que se emplean en este desarrollo, pero en principio yo diría que no.

  11. Domingo H.A. | 17 de octubre de 2007 | 11:03

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    el libro sobre Euler es una maravilla para todos los aficionados a los malabarismos matemáticos. Perfectamente escrito a nivel divulgativo y con el rigor necesario en muchas demostraciones. Es accesible con una base sólida de conocimientos matemáticos a nivel de educación secundaria.

    En el libro viene el modo en que Euler simplifica la prueba de Herón, y como apéndice da dos pruebas muy elementales basándonse en fórmulas trigonométricas usuales (tangente de la suma y teorema del coseno).

    ¿Creéis que vale la pena reproducir esas demostraciones de la fórmula de Herón aquí?

  12. ^DiAmOnD^ | 17 de octubre de 2007 | 11:48

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    Asier estamos de acuerdo con que las demostraciones ideales del teorema de Pitágoras son las visuales, como la anterior que publiqué. Con este post simplemente pretendía que vierais otra manera de demostrarlo probablemente poco conocida. Puede que utilizar las series de Taylor sea excesivo, pero en principio no supone ningún problema y arregla el tema de suponer cierto lo que se comprueba después.

    Pasotaman vi esa demostración anoche poquito después de poner mi anterior comentario, pero no me dio tiempo a analizarla. Parece que no utiliza el teorema de Pitágoras y que por tanto nos serviría.

    Domingo a mí sí me gustaría verlas, aunque al final no las pongamos en el blog.

  13. fede | 17 de octubre de 2007 | 15:18

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    Pasotaman, efectivamente, en la demostración que has enlazado no se usa Pitágoras para nada. Solo se hace uso de semejanza de triángulos y de la fórmula base por altura entre 2.

    A mí me parece que esa demostración es más simple que las que aparecen en el libro de Dunham sobre Euler.

  14. ^DiAmOnD^ | 18 de octubre de 2007 | 02:19

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    Pues nada, enlazo esa en el post como demostración geométrica alternativa a la analítica que puse yo y más apropiada por el hecho de no usar la identidad fundamental de la trigonometría.

  15. * janeCita * | 2 de noviembre de 2007 | 01:39

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    q saben d la ley de tangentessssssss ????

  16. Omar-P | 3 de noviembre de 2007 | 17:10

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    Algo elemental: La fórmula de Herón también se aplica en el cálculo de la superficie de cualquier polígono irregular. Bastará con diseccionar el polígono en triángulos y luego sumar las áreas. Por extensión entonces, también es aplicable en el cálculo de la superficie de cualquier poliedro irregular.

  17. Asier | 5 de enero de 2008 | 17:18

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    Me ha surgido una duda relacionada con el teorema de Pitágoras (o al menos relacionada con su ecuación).

    Sabemos que la ecuación a^2 + b^2 = c^2 se cumple con ciertos enteros , a los cuales se les denomina ternas pitagóricas.

    Estoy interesado en saber si la ecuación 2a^2 + b^2 = c^2 tiene soluciones para números enteros. El caso general sería k_aa^2 + k_bb^2 = k_cc^2.

    Para el ejemplo se me ha ocurrido escribirlo como (\sqrt{2}a)^2 + b^2 = c^2, tenemos así la ecuación pitagórica, pero no parece que esto implica que la ecuación no tenga soluciones enteras. ¿Sabeis algo acerca de estas ecuaciones?

    Es decir, k_a , k_b, k_c tienen que ser cuadrados perfectos para que existan soluciones enteras?

  18. Omar-P | 5 de enero de 2008 | 18:11

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    Aquí hay un sitio muy interesante de Ron Knott sobre ternas pitagóricas:
    http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Pythag/pythag.html

  19. Domingo H.A. | 5 de enero de 2008 | 19:18

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    Asier, puedes hacer un estudio totalmente análogo al de las ternas pitagóricas para resolver la ecuación diofántica 2x^2+y^2=z^2. En particular, las ternas

    x=2m\; y=2-m^2\;z=2+m^2,\;\;\forall m\in\mathbb{Z}

    resuelven la ecuación que indicas.

    Por otro lado un cálculo rápido e informal que he hecho indica que si el cociente \cfrac{K_b}{K_c} es un cuadrado entonces

    x=2K_b\cdot m,\;\;y=K_a-K_b\cdot m^2,\;\; z=\sqrt{\cfrac{K_b}{K_c}}\cdot(K_a+K_b\cdot m^2),\;\;\forall m\in\mathbb{Z}

    resuelven la ecuación más general K_a x^2+K_by^2=K_c z^2.

    Aunque no he mirado con detenimiento, puede ser que para que la ecuación sea resoluble (con solución no trivial) al menos uno de los cocientes K_a/K_c y K_b/K_c debe ser positivo (esto es obvio) y cuadrado perfecto. Habrá que mirarlo con tiempo.

  20. Domingo H.A. | 5 de enero de 2008 | 19:28

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    Con las prisas pasé por alto una cosa:

    las soluciones se expresan en familia biparamétrica como

    x=2rs, \;y=2s^2-r^2,\;z=2s^2+r^2

    y

    x=2K_b rs,\;y=K_a s^2-K_b r^2,\;z=\sqrt{\cfrac{K_b}{K_c}}(K_a s^2+K_b r^2)

    respectivamente, con r,s enteros arbitrarios.

  21. Asier | 5 de enero de 2008 | 19:33

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    Gracias Omar-P por el link, parece muy completo aunque parece que se centra exclusivamente en las ternas de la ecuación clásica.

    Gracias también Domingo por ese análisis que has hecho. No es mi intención plantear aquí la solución general de estas ecuaciones pues parece que tiene mucha miga.

    Esto ha venido a cuento de un problema que he visto y me ha llamado la atención. Parece que no debería ser complicado aunque no he conseguido resolverlo. Se trata de saber si este sistema de ecuaciones tiene alguna solución para enteros que no sea la trivial:

    a^2 + b^2 = c^2
    a^2 - b^2 = d^2

    Sí, son dos ecuaciones y 4 incógnitas. ¿Hay enteros que las cumplan?

  22. Domingo H.A. | 5 de enero de 2008 | 19:42

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    De todos modos, la condición de que algunos de los dos cocientes sea cuadrado parece necesaria, ya que he visto por reducción al absurdo que la ecuación 2x^2+3y^2=z^2 no tiene soluciones enteras (con mcd igual a 1). Basta tomar congruencias módulo 3 para verlo.

  23. Domingo H.A. | 5 de enero de 2008 | 22:46

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    Asier, en respuesta a tu sistema de ecuaciones diofánticas, hay que decir que no existen soluciones (a,b,c,d) cuyas componentes sean todas no nulas.

    Es fácil ver que si a\cdot c\cdot d=0 entonces a=b=c=d=0.

    Y si b=0 entonces las soluciones cumplen |a|=|c|=|d| (las barras indican valor absoluto).

    Para ver que no hay soluciones cuyas componentes sean todas no nulas, elevamos ambas ecuaciones al cuadrado y las restamos, para obtener la relación c^4-d^4=(2ab)^2. Pero resulta que la ecuación diofántica x^4-y^4=z^2 no tiene soluciones en los enteros positivos (o no nulos). Por tanto, el sistema que planteas no puede tener soluciones con todas las incógnitas no nulas.

    La ecuación diofántica x^4-y^4=z^2 se remonta a los tiempos de Fermat. De hecho nosotros resolvimos una muy similar hace poco (x^4+y^4=z^2) que nos permitía probar el teorema de Fermat para el caso n=4 ( http://gaussianos.com/la-prueba-de-fermat/ ). Estas cosas las puedes encontrar por ejemplo en el capítulo 11 del libro “Elementary number theory” de David M. Burton. Allí aparece la imposibilidad de resolver la ecuación x^4-y^4=z^2 como teorema 11-4, y es una demostración por descenso infinito, al estilo de las se pusieron en el post antes mencionado. Más aún, este sistema se propone como ejercicio a la sección dedicada al teorema de Fermat en relación con estas ecuaciones diofánticas de grado 4.

  24. Asier | 5 de enero de 2008 | 22:58

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    Muchísimas gracias por esta respuesta, Domingo!
    La acabo de ver y la estudiaré con algo más de detenimiento.
    Me había parecido interesante debido a que si os fijais bien, la interpretación geométrica del sistema de ecuaciones es la construcción de dos triángulos rectángulos en los que la hipotenusa de uno de ellos (a) es un cateto de la otra y además el otro cateto (b) lo tienen ambos de igual longitud. Por lo visto no es posible la construcción de dicha figura siendo los lados números enteros.

  25. damaris enriquez | 7 de marzo de 2008 | 03:11

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    olla me da gusto k puedan aportar sus puntos de opinion esta muy interesante k podamos aprender un poco de odos para asi aser mas extenso nuestro punto de vista

  26. TDI | 27 de agosto de 2008 | 12:34

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    Hola, tengo una duda acerca el teorema funda-mental de la trigonometria… ¿¿como se demuestra??

  27. valentina | 31 de agosto de 2008 | 01:38

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    hola, soy una gran fanatica de las matematicas y e estudiado mucho el teorema de pitagoras.
    Me parese muy bueno el prosedimiento…
    y respondieron a barias de mis dudas…
    muchas gracias

  28. fenix | 11 de septiembre de 2008 | 23:18

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    yo busco las formulas de teorema

  29. antonella | 9 de octubre de 2008 | 00:57

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    me encanta que pongan todos esos ejemplos del teorem pero…y los resultados?¿
    jajaj

  30. Emmanuel | 19 de noviembre de 2008 | 03:41

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    hola, soy un gran fanatico de las matematicas y e estudiado mucho el teorema de pitagoras,
    gracias a ustedes repondi muchas de mis dudas
    muchas gracias

  31. rosa | 21 de abril de 2009 | 18:21

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    olaa!
    soy una niña de 14 años i el juves 23 d abril tengo un examen muy importante d matematicas i debo aprovarlo o sino suspendere matematicas.
    trata sobre el teorema de pitagoras pero los ejercicios son con ecuaciones i no tengo ni idea,tambi es del teorema d tales i de semejanza d triangulos.
    porfavor necesito q medigais algunos trucos o formulas faciles y que me lo expliqueis un poco.
    la verdad esque no entiendo de matematicas no soy la tipica lista d la clase i no me entero d nada en clase y bueno necesito aprovar de verdad.
    agradeceria mucho si me lo explicarais,por lo menos un poco.
    gracias i porfavor poner algo sobre lo q os e dicho.

    besos!

  32. rosa | 21 de abril de 2009 | 18:22

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    ola soy la de antes porfavor si podeis ponerme un ejemplo me vendria perfecto.
    gracias!
    besos!

  33. chaquet | 14 de octubre de 2009 | 03:18

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    camara por ayudar alos nesecitados gracias a toda la vandera

  34. Trackback | 21 ene, 2010

    Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras | Gaussianos

  35. lila | 8 de julio de 2010 | 22:53

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    muy bueno y entendi por fin

  36. rodolfo | 8 de mayo de 2013 | 02:21

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    me parece chido

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