Demostrando irracionalidad

Vamos con el problema de esta semana, que en esta ocasión tiene que ver con factoriales y números irracionales. El enunciado es el siguiente:

Sea a_n el último dígito no nulo (comenzando por la izquierda) de la representación decimal del factorial de n, n!, con n\geq 1. Demostrar que el número 0,a_1 a_2 a_3 \ldots es irracional.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

25 Comentarios

  1. Yo tampoco debo de haberlo entendido bien porque creo que cualquier número con una cantidad finita de decimales, n, siempre es racional.

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  2.   \begin{array}{rcr}  1! &=& 1\\  2! &=& 2\\  3! &=& 6\\  4! &=& 24\\  5! &=& 120\\  6! &=& 720\\  7! &=& \ldots40\\  8! &=& \ldots20\\  9! &=& \ldots8\ldots\\  10! &=& \ldots8\ldots  \end{array}

    El número comienza por 0.1264224288\ldots pero no tengo idea de como seguir para hacer la demostración de número irracional.

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  3. un número es racional si lleva una secuencia en sus decimales, o sea, que se repitan. Por otro lado, siguiendo la idea del factorial, el i-ésimo decimal a_i es en resumen, el producto entre el decimal a_{i-1} y el último dígito no nulo (llamémoslo k) de n .

    a_i=a_{i-1}*k

    Si este producto se repitiese llevando alguna secuencia, estaríamos frente a un número racional. Sin embargo, el valor no nulo k nunca lleva una secuencia, trato de explicarlo: en el momento en que n pasa a las decenas o centenas o unidades de mil una nueva secuencia comienza, la cual nunca se repetirá.

    Por lo tanto sí es un número irracional.
    Que alguien lo complemente un poco mejor, pero esa es la idea.

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  4. A ver, si lo he entendido bien, yo lo resolvería así:

    Si existe un periodo, entonces éste tiene tamaño finito, digamos n, en tal caso, es claro que el último dígito no nulo de (n+1)! debe ser 1 ¡pero todos los últimos dígitos no nulos son pares! (a partir de 1, claro).

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  5. Me gusta la idea de Julián, gracias a él entendí de qué se trataba realmente el problema, y de paso, vi el bosquejo de su prueba la cual me parece particularmente interesante.

    Post Comment: Julián…eres de Perú?

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  6. Sólo veo que la secuencia (a partir del quinto elemento) se compone de la concatenación de estas cuatro secuencias de cinco elementos: A=(2,2,4,2,8) B=(4,4,8,4,6) C=(6,6,2,6,4) D=(8,8,6,8,2) Por ahora no veo cómo mostrar que esa concatenación no puede seguir un patrón cíclico.

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  7. Aquí les va los primeros 1000 decimales del número en cuestión:

    0.12642242888682162648868216264224284484644846386821
    12642242888682162648868216264224284484644846386822
    24284484666264224286626422428448463868288682162642
    24284484666264224286626422428448463868288682162648
    86821626444846386824484638682662642242822428448463
    36821626444846386824484638682662642242822428448468
    86821626444846386824484638682662642242822428448463
    36821626444846386824484638682662642242822428448464
    48463868222428448462242844846886821626466264224284
    48463868222428448462242844846886821626466264224284
    48463868222428448462242844846886821626466264224284
    48463868222428448462242844846886821626466264224288
    86821626444846386824484638682662642242822428448463
    36821626444846386824484638682662642242822428448462
    24284484666264224286626422428448463868288682162642
    24284484666264224286626422428448463868288682162642
    24284484666264224286626422428448463868288682162642
    24284484666264224286626422428448463868288682162646
    62642242888682162648868216264224284484644846386821
    12642242888682162648868216264224284484644846386822

    Aparentemente se ven algunas secuencias que podrían llevarnos a pensar de que se trata de un número racional. Pero como dije anteriormente, el último dígito no nulo de n intenta llevar una secuencia, pero en el momento en que se pasan de unidades a decenas o centenas, una nueva secuencia comienza. Sería algo así, esta es la lista de los últimos dígitos de n no nulos:

    1234567891
    1234567892
    1234567893 (como se ve al pasar a las decenas la secuencia se pierde)

    1234567899
    1234567891
    1234567891 (ya hemos pasado a las centenas y tanto el 100 como el 110 tienen un 1)
    1234567892
    1234567893


    de igual forma, cuando n llegue a mil, una nueva secuencia comienza porque el “1” del mil se mezclará y dañará la secuencia, que en sí comenzará de nuevo.
    Lo que no sé es como explicarlo de una forma más formal.

    Post comment: Paty soy de Colombia.

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  8. Este es mi primer comentario en gaussianos así que espero no meter mucho la pata…

    Bueno, a lo que vamos. Supongamos que es racional, entonces ha de ser periódico así que existe \lambda tal que a_n=a_{n+ \lambda } para un cierto n suficientemente grande.

    Podemos expresar \lambda =5^kN tal que 5 no divide a N
    Sea \mu :=2^k\lambda=10^kN

    (Utilizaré el simbolo * para referirme al último dígito no nulo)
    Entonces *(\mu )=*N y como 5 no divide a N tampoco lo hara 10, así que *N=N (10) y también tenemos que *(2 \mu)=2N (10)

    Tomando M de tal manera que *(10^M+\lambda)=*(\lambda) y además se tenga que para todo m > M, a_m=a_{m+\lambda } y puesto que \mu es un múltiplo de \lambda también se tiene que a_m=a_{m+\lambda }=a_{m+\mu }

    Sea a := *(10^M!) = *((10^M-1)!) ,ya que 10^M!=(10^M-1)!10^M . Puesto que en la factorizacion de cualquier factorial (mayor que 1) hay mas doses de cincos tenemos que a \in \{ 2, 4 ,6 ,8 \}

    Sea \alpha := 10^M -1+ \mu y \beta :=10^M-1+2 \mu , entonces como \mu es un múltiplo de \lambda :
    a= *((10^M-1)!) = *(\alpha !) = *( \beta !) y además a= *(10^M!)=*((\alpha+1) !) = *((\beta +1) !)

    Como *( \alpha !)= a entonces tenemos que *( \alpha !)\neq 5
    además *( \alpha +1)=*(10^M+ \mu)=*(\mu)=N (10) así que *( \alpha  +1) \neq 5

    Es claro que en este caso podemos hacer:
    *((\alpha+1)!)=*(\alpha ! (\alpha +1))=*(\alpha !)*(\alpha +1)= a N (10)

    Análogamente a=*((\beta +1)!)=2aN (10)

    Así que uniendo estas últimas expresiones tenemos que:
    a \equiv aN (10) y a \equiv 2aN (10)
    a(1-N) \equiv a(1-2N) \equiv 0 (10)
    como a es par y no es múltiplo de 5 entonces 1-N \equiv 1-2N (5) así que N \equiv 0 (5) y por lo tanto N es múltiplo de 5 lo cual supone una contradicción.

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  9. Así, muy por arriba, lo de Baltor me suena bien, no lo veo muy lejos de lo que yo estaba intentando.
    Julián: creo que debe haber un error en tu secuencia, no deberían aparecer cifras impares.

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  10. El 1 no puede ocurrir otra vez en la secuencia porque los ultimos numeros no nulos de los factoriales son pares, la demostracion de josejuan me parece correcta

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  11. Sí, Hernán tiene razón, estaba equivocado en mis cálculos. Este es mi resultado de los primeros 1000 decimales:

    0.12642242888682886824484644846886822242822428662642
    24284484666264662648868244846886822242822428662644
    48468868222428224286626488682662644484644846224282
    24284484666264662648868266264224288868288682448462
    24284484666264662648868222428448466626466264886828
    86826626444846448462242822428448466626466264886826
    62642242888682886824484622428448466626466264886822
    24284484666264662648868222428448466626466264886828
    86826626444846448462242844846886822242822428662648
    86826626444846448462242888682662644484644846224284
    48468868222428224286626466264224288868288682448468
    86826626444846448462242866264224288868288682448466
    62642242888682886824484666264224288868288682448464
    48468868222428224286626422428448466626466264886824
    48468868222428224286626444846886822242822428662648
    86826626444846448462242822428448466626466264886826
    62642242888682886824484622428448466626466264886822
    24284484666264662648868288682662644484644846224282
    24284484666264662648868266264224288868288682448462
    24284484666264662648868222428448466626466264886822

    Mi explicación sigue siendo la misma que comenté arriba.
    isaacv5: la periodicidad no tiene porqué comenzar a partir del primer decimal (o sea “1”), puede ser desde cualquiera.
    Baltor: le haz dado un toque más formal que es lo que quería hacer. Pero aun me queda una duda y es por qué defines \lambda=5^k N si en principio no tiene por que ser múltiplo de 5, no se sabe aún el tamaño de la periodicidad.

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  12. Julián: en ningún momento digo que \lambda tenga que ser múltiplo de 5, la k podría ser 0, y en ese caso \lambda no sería múltiplo de 5, pero quizás debería haberlo dicho para que quedara más claro.

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  13. Entiendo que k puede ser cero. He escrutado durante media hora la demostración y por alguna razón parece que se trata de asegurarse de que N no es múltiplo ni de cinco (ni de diez, por tanto).

    Me ha costado otra media hora leerlo. Para este logro he seguido la máxima que les doy a los alumnos: ante la duda, pon paréntesis.

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  14. Parece una forma interesante de generar números transcendentes. Me pregunto si se podrá hacer con otras funciones además de n!

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  15. Sí, que casualidad… los pasos del desarrollo coinciden punto por punto.

    Ya puestos, la sucesión de los dígitos es la A008904 y los métodos para obtenerlos (muy eficientes) son muy curiosos.

    El que más me ha gustado (aunque el de la máquina de estados es muy elegante) es la siguiente recursiva (en python):

    def a(n):
    if n<=1: return 1
    return 6*[1,1,2,6,4,4,4,8,4,6][n%10]*3**(n//5%4)*a(n//5)%10

    tiene la ventaja de que si se quieren enumerar todos usa memoize.

    En mi modesto Atom en menos de 60 segundos saca los primeros 1 millón.

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  16. Interesante documento!.
    Ya entiendo por qué Baltor comenzó la demostración con \lambda=5^k N:
    Existen grupos de decimales de 5 dígitos los cuales se repiten sin una secuencia definida (como ya lo había precisado hernán), pero curiosamente también sucede lo mismo si se cogen grupos de 25 dígitos, o grupos de 125 dígitos, es decir, existen grupos de 5^k dígitos en los decimales los cuales se repiten como bloques en “determinado” orden indefinidamente.
    Ahora, si suponemos que el número en cuestión es un número es racional, entonces el tamaño de su periodicidad \lambda debe ser como mínimo múltiplo de este bloque de 5^k dígitos, debe ser múltiplo sin ser obviamente este múltiplo el número 5 porque sería un bloque de tamaño mayor de repetición, o sea, \lambda=5^k N\;\;|N\,\mbox{mod}\,5\neq 0.

    De ahí en adelante, la demostración muestra perfectamente que hay una contradicción al ver que N debe ser múltiplo de 5. Muy interesante.

    Lo único que faltaría por demostrar es que efectivamente los grupos de 5 dígitos se repitan indefinidamente. Y de la misma forma, la condición de que ya se vio de que N debe ser múltiplo de 5 se demostraría automáticamente que también existen grupos de 5^k que se repiten como bloques.

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  17. Conozco a Baltor y sé que si hubiese visto ese documento no se habría molestado en reescribirlo aquí.

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  18. Indico una ligera variante a la prueba de Baltor: supongamos por reducción al absurdo que a_{n+T}=a_n para n\geq M.

    1) Como (10^k)!=10^k(10^k-1)! resulta a_{10^k}=a_{10^k-1}.

    2) Existen \alpha,\beta naturales \alpha>\beta\geq M tales que 10^\alpha-10^\beta=cT (multiplo de T). En efecto:

    poniendo T=2^r5^st con mcd(10,t)=1, tendremos que 10^{\phi(t)}-1 es múltiplo de t (función phi de Euler). Sea \beta=max\{r,s,M\} y \alpha=\beta+\phi(t). Entonces:

    10^\alpha-10^\beta=10^\beta(10^{\phi(t)}-1) que es múltiplo de T.

    3) Tomemos n=10^\alpha-1+cT. Entonces, el último dígito no nulo de n! es 5. En efecto:

    El último dígito no nulo de n+1=2\cdot 10^\alpha-10^\beta es 9. Como a_n=a_{10^\alpha-1}=a_{10^\alpha}=a_{n+1}, si a_n=L, ya que (n+1)!=(n+1)n! debe tenerse que el dígito de las unidades de 9L es L, y por tanto la única posibilidad es L=5.

    4) Finalmente, factorizando n!=2^r5^su, con mcd(10,u)=1, tendremos por 3) que s\geq r+1. Sin embargo, sabemos que

    r=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor+\lfloor \frac{n}{2^2}\rfloor+\lfloor \frac{n}{2^3}\rfloor+\ldots>\lfloor \frac{n}{5}\rfloor+\lfloor \frac{n}{5^2}\rfloor+\lfloor \frac{n}{5^3}\rfloor+\ldots=s. Contradicción.

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