Demostrando “pitagóricamente” la validez de la fórmula del seno de la suma

El teorema de Pitágoras es el teorema por excelencia en lo que se refiere a la cantidad de demostraciones que se conoce de él (por aquí hemos visto unas cuantas). Pero no solamente es interesante por lo que dice o por la gran variedad y diversidad de demostraciones suyas que sabemos, sino porque tanto el propio problema como algunas de las técnicas que se usan en algunas de sus demostraciones son muy útiles a la hora de comprobar que ciertas expresiones sencillas relacionadas, principalmente, con la trigonometría son correctas. Hoy vamos a ver cómo algunas de esas técnicas nos pueden ayudar a demostrar que la famosa fórmula para calcular el seno de la suma de dos ángulos

sen(\alpha+\beta)=sen(\alpha) \, cos(\beta) + cos(\alpha) \, sen(\beta)

es cierta.

Partimos de un romboide de lado 1 como éste:

Y ahora lo completamos con triángulos hasta formar un rectángulo como el de la figura siguiente:

Llamamos \alpha (en rojo) y \beta (en verde) a los ángulos que forman los lados del romboide con el lado superior del rectángulo (que, por semejanza, debajo quedan al revés):

Por trigonometría, en cada uno de los cuatro triángulos que se han añadido para formar el rectángulo se tiene que sus lados miden lo que aparece en la siguiente imagen:

Si dividimos ahora el ángulo de la esquina izquierda del romboide en dos ángulos mediante una paralela al lado inferior del rectángulo, obtenemos (también por semejanza) que el ángulo superior es \alpha y el ángulo inferior es \beta:

Por tanto, ese ángulo del romboide es \alpha+\beta. Trazando ahora el segmento que determina la altura del romboide, tenemos que la longitud de dicho segmento es sen(\alpha+\beta) (es el cateto opuesto al ángulo \alpha+\beta de un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 1):

Bueno, ya casi está. Vamos a calcular ahora el área del romboide de dos formas. Primero de la manera habitual, base por altura:

1 \cdot sen(\alpha+\beta)=sen(\alpha+\beta)

Y segundo, calculando el área del rectángulo y restándole las áreas de los cuatro triángulos que hemos añadido (los doses van ahí porque hay dos parejas de triángulos iguales):

(cos(\alpha)+cos(\beta)) \cdot (sen(\alpha)+sen(\beta))-2 \, \cfrac{sen(\alpha) \, cos(\alpha)}{2}-2 \, \cfrac{sen(\beta) \, cos(\beta)}{2}

Y operando en esa expresión obtenemos lo siguiente:

\begin{matrix}cos(\alpha) \, sen(\alpha)+cos(\alpha) \, sen(\beta)+cos(\beta) \, sen(\alpha)+cos(\beta) \, sen(\beta)- \\ -sen(\alpha) \, cos(\alpha)-sen(\beta) \, cos(\beta)=cos(\alpha) \, sen(\beta)+cos(\beta) \, sen(\alpha) \end{matrix}

Igualando los dos resultados obtenidos para el área del romboide obtenemos la ansiada fórmula del seno de la suma de dos ángulos:

sen(\alpha+\beta)=sen(\alpha) \, cos(\beta) + cos(\alpha) \, sen(\beta)


En Gaussianos ya publicamos una demostración de este hecho (una colaboración de Fede) hace un tiempo (¡¡casi seis años!!). Os recomiendo que le echéis un vistazo a los comentarios de aquel post, ya que en ellos podéis encontrar otras demostraciones del mismo resultado que también son muy interesantes.


La demostración la he reconstruido a partir de este pdf.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Muy bonita la demostración. No obstante, sólo vale para \alpha y \beta entre 0 y 90, y cuya suma sea menor que 180, aunque en el resto de casos se puede hacer una reducción a esta situación concreta.

    Publica una respuesta
  2. usando la FORMULA DE EULER (el amo 😀 ) se saca mas facilmente y sin probelmas.. tan solo cogiendo la parte imaginaria en ambas relaciones..

    Publica una respuesta
  3. Hermosa demostración. Más sencilla de hacerla entender a los alumnos/as pues trabaja más intuitivamente, si cabe esta palabra.

    Publica una respuesta
  4. Muy buena demostración, porque es muy intuitiva y fácil de entender. Pero, no entiendo por qué en el título pones “pitagóricamente”. Normalmente este término se suele emplea cuando en una demostración se utiliza la famosa igualdad entre el cuadrado de la hipotenusa y la suma de los cuadrados de los catetos de cualquier triángulo rectángulo. En este caso se utilizan triángulos rectángulos, sí, pero no veo que se utilice la “famosa” igualdad, a no ser que se considere que está implícita en la definición de las funciones trigonométricas, pero en mi opinión eso ya es otra historia.

    Publica una respuesta
  5. Charlie, lo de “pitagóricamente” va porque hay una buena cantidad de demostraciones del teorema de Pitágoras que van en la misma línea que ésta.

    Publica una respuesta
  6. Gracias, por la aclaración. Ahora me he dado cuenta que “pitagóricamente” estaba entrecomillado. Claro que ésto normalmente solía significar que es literal, pero se me olvidó que hoy día practicamente se utiliza para indicar el significado alternativo o incluso el opuesto. Me gustó tanto la demostración que no me dí cuenta de estos matices del lenguaje.

    Publica una respuesta
  7. hola!!!! desde hace casi dos años estoy recibiendo correos de gaussianos. estoy a punto de graduarme de Licenciado en Matematicas. yo hice dos demostraciones geometricas de la suma de dos angulos. me gustaria compartirlas…

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com Valora en Bitacoras.com: El teorema de Pitágoras es el teorema por excelencia en lo que se refiere…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *