Demostrar que es múltiplo

Como se puede leer en el título, el problema de esta semana es:

Demostrar que

2014^{2013}-1013^{2013}-1001^{2013}

es múltiplo de

2014^3-1013^3-1001^3

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. El cociente se puede escribir así:
    (2014^2013-1013^2013-(2014-1013)^2013)/(2014^3-1013^3-(2014-1013)^3), o sea
    (a^2013-b^2013-(a-b)^2013)/(a*3-b^3-(a-b)^3)
    El denominador vale 3ab*(a-b)
    El numerador contiene dos parte que son múltiplos de (a-b) que son (a^2013-b^2013) y (a-b)^2013.
    Si restamos el segundo (desarrollado como potencia de un binomio) del primero nos queda u7n polinomio cuyos términos contienen todos el producto ab.
    Luego el numerador es múltiplo de ab*(a-b) y basta demostrar que también es múltiplo de 3.
    Por congruencias el numerador es congruente con 1-2-2=0 mod 3.
    Luego queda demostrada la divisibilidad.

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  2. Estupendo, JJGJJG.

    Comentaré la última parte… la de ser múltiplo de 3. Y generalizaré el resultado.

    Vamos a ver…

    2014 (mod 3) = 1 (mod 3)
    1013 (mod 3) = 2 (mod 3) = -1 (mod 3)
    1001 (mod 3) = 2 (mod 3) = -1 (mod 3)

    así que si la potencia fuese par no se cumpliría ya que (-1)^par = +1
    En caso de par sería: 1-(+1)-(+1) = -1 (mod 3) y no sería múltiplo de 3.

    Pero como 2013 es impar… (-1)^impar = -1 y entonces sí:
    1 – (-1) – (-1) = 3 = 0 (mod 3)

    ¿Podemos generalizar para a^impar – b^impar – (a-b)^impar ??

    Vamos a ver…

    0^impar = 0
    (-1)^impar = -1
    1^impar =1

    Es decir, x^impar (mod 3) = x (mod 3)

    Por tanto,
    [a^impar – b^impar – (a-b)^impar ] (mod 3) =
    = a (mod 3) – b (mod 3) – (a-b) (mod 3) =
    = 0 (mod 3)

    Así que SÍ.


    ————-
    a^(2*n+1) – b^(2*n+1) – (a-b)^(2*n+1)

    siempre será múltiplo de

    a^3 – b^3 – (a-b)^3

    (para todo n entero mayor o igual que 1)
    —————

    Pero no para exponentes pares:

    a^(2*n) – b^(2*n) – (a-b)^(2*n)

    Veamos un caso de estos en el que no:

    a=7, b=2, a-b=5

    (1)^par-(-1)^par -(-1)^par = -1 !!!

    7^4 – 2^4 – 5^4 = 1760 que no es múltiplo de 3 como predice el cálculo anterior (es -1 mod 3 efectivamente).

    Pero para impar sí, como hemos demostrado:
    (1)^impar-(-1)^impar -(-1)^impar = 1-(-1)-(-1) = 3 … así que será múltiplo de 3

    ¡OJO! Nótese que la condición de IMPAR es también necesaria para la parte de obtener ab !!!

    a^(2*n+1) – b^(2*n+1) – (a-b)^(2*n+1)

    (a-b)^(2*n+1) = a^(2*n+1) – b^(2*n+1) + ab* P(a, b)

    Pero (a-b)^(2*n) = a^(2*n) + b^(2*n+1) + ab*P'(a,b)
    y este signo “+” que se da en el exponente par lo estropea.

    Ej:

    a=5, b=2, a-b=3

    (-1)^par-(-1)^par -0^par = 0 mod 3

    este 0 mod 3 significa que en este caso casualmente será múltiplo de 3, a pesar de ser par… pero ni con esas

    5^3 – 2^3 – 3^3 = 125 – 8 – 27 = 90 = 5*2*3 * 3

    5^4 – 2^4 -3^4 = 625 – 16 – 81 = 528 que claramente NO es múltiplo de 90.

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  3. Que un número sea múltiplo de a y de b no significa necesariamente que sea múltiplo de ab. Para que esa generalización sea correcta hay que exigir también que ninguno de los números sea múltiplo de 3. Si no, no es seguro que se cumpla. Por ejemplo:

    7^5 - 4^5 - 3^5 = 15540

    7^3 - 4^3 - 3^3 = 252

    15540 no es múltiplo de 252.

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  4. Ooooops!
    Pues metí la pata en una cosa…

    Lo que dije sólo está asegurado cuando ni a ni b ni a-b sean múltiplos de 3.

    El problema es que si alguno es múltiplo de 3 aunque el numerador sea múltiplo de 3 puede no ser múltiplo del denominador…

    Ej:

    5^7 – 2^7 -3^7 = 75810

    que no es múltiplo de 90 !!!

    Aunque sí lo sea de 3, y de a, y de b, y de (a-b)

    ¿cuáles son los posibles valores de a (mod 3) y b (mod (3) ?

    a (mod 3) = +1 ; b (mod 3) = -1

    es el caso del problema. (a-b) (mod 3) = 1 – (-1) = 2 (mod 3) = -1 (mod 3)

    a (mod 3) = -1 ; b (mod 3) = +1

    Sería otro caso válido:
    (a-b) (mod 3) = -1 -(+1) = -2 (mod 3) = 1 (mod 3)

    Pero no serían válidos los casos a (mod 3) = b (mod 3) ya que:

    (a-b) (mod 3) = a (mod 3) – b (mod 3) = 0 (mod 3)

    Y, entonces, en estos casos (a-b) es múltiplo de 3… con lo que la demostración no es válida en este caso.

    Es decir, ni a ni b pueden ser múltiplos de 3, y que a (mod 3) sea distinto de b (mod 3)


    ————-

    Para los a, b, n que cumplan:

    n entero mayor o igual que 1

    b (mod 3) = – a (mod 3) distinto de 0 (mod 3)

    En esos casos se cumplirá siempre que

    a^(2*n+1) – b^(2*n+1) – (a-b)^(2*n+1)

    será múltiplo de

    a^3 – b^3 – (a-b)^3

    —————

    P.D. : Golvano, te me adelantaste a la corrección, vi tu comentario cuando ya lo había enviado.

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  5. Ooooops otra vez…

    No basta con que no sean múltiplos de 3… tampoco vale si ab no es coprimo de (a-b)…

    En el caso del problema b=1013 es primo
    a-b = 1001 = 11*7*13
    a no es múltiplo de 11 ni de 7 ni de 13…

    Así que 2014*1013 es coprimo de 1001
    (también podía haber tomado b=1001 y a-b=1013 que al ser primo se ve más fácil que es coprimo)

    Otro ejemplo que NO cumple:

    a=10, b=2, n=2
    a (mod 3) = +1 = -b (mod 3)
    (esto significa que ni a ni b ni a-b son múltiplos de 3)
    exponente = 2*n+1 = 5

    10^5 – 2^5 – 8^5 = 67200

    no es múltiplo de

    10^3 – 2^3 – 8^3 = 1000 – 8 – 512 = 480 = 10*2*8 * 3

    a pesar de que 67200 es múltiplo de 10, de 2, de 8 y de 3.

    Para arreglar la generalización bastaría añadir “ab coprimo con a-b” a lo de antes… o bien de esta otra forma:


    ————-

    Para los a, b, n que cumplan:

    n entero mayor o igual que 1

    ab, a-b y 3 primos entre sí los tres
    (no haría falta que a sea coprimo con b, pero sí que ab sea coprimo con a-b y ambos no múltiplos de 3)

    En esos casos se cumplirá siempre que

    a^(2*n+1) – b^(2*n+1) – (a-b)^(2*n+1)

    será múltiplo de

    a^3 – b^3 – (a-b)^3

    —————

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  6. Efectivamente, ya había observado que, para ser múltiplo de 3 se requería que los exponentes del numerador debían ser impares si los del denominador son treses.
    Curiosamente, si los exponentes del denominador son doses, se cumplirá siempre que los del numerador sean pares. Si son impares se cumplirá siempre que el primer número (a) del numerador sea par y nunca si es impar..

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  7. 67200 sí que es múltiplo de 480.

    Yo creo que esa última condición no es necesaria. Si dos de los números comparten un factor, entonces los tres lo comparten. Es decir, sería como multiplicar cada número por k. Pero entonces el numerador queda multiplicado por k elevado a n, y el denominador por k al cubo. Como k^n es múltiplo de k^3 (para n>=3), si se cumple para los originales, se cumplirá para éstos.

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  8. JJGJJG,

    En el caso de cuadrados en el denominador creo que te equivocas:

    ¿¿¿¿

    a^(2*n) – b^(2*n) – (a-b)^(2*n)

    será múltiplo de

    a^2 – b^2 – (a-b)^2

    ?????

    Veamos,

    a^2 – b^2 – (a-b)^2

    (a-b)^2 = a^2 + b^2 – 2ab

    a^2 – b^2 – (a-b)^2 = -2*b^2 +2ab

    (a-b)^(2*n) = a^2n + b^2n + ab*P(a,b)

    luego a^(2*n) – b^(2*n) – (a-b)^(2*n) = -2*b^(2*n) – ab*P(a,b)

    que no tiene por qué ser múltiplo de -2*b^2 +2ab
    (a menos que se me escape algo… )

    Si te referías a lo de que el numerador sea par…

    0^2n = 0
    (+1)^2n = +1

    así que x^par (mod 2) = x (mod 2)
    pero… también con exponente impar:

    0^(2n+1) = 0
    1^(2n+1) = 1

    Entonces:
    x^m (mod 2) = x (mod 2)

    para todo m, sea par o impar…

    Y el numerador será siempre par !!!
    Ya que a- b – (a-b) = 0

    Pero aunque sea siempre par (como el denominador) no siempre será múltiplo, como ya dije antes.

    Ej:

    5^3 – 2^3 – 3^3 = 125 – 8 – 27 = 90 = 5*2*3 * 3

    5^2 -2^2 – 3^2 = 25-4-9 = 12

    90 no es múltiplo de 12 ya que no lo es de 4.

    Y en este caso no podemos exigir que los tres números no sean múltiplos de 2… si los 3 son impares no puede ser uno (a) la suma de los otros dos (b y a-b)

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  9. Golvano,

    Efectivamente tienes razón.

    No se por qué me salió que 480 no dividía a ese número y busqué una condición extra… que como has explicado no era necesaria.

    Es cierto que si a y b comparten un factor k (el MCD de a y b), entonces a-b también… a=Da*k
    b=Db*k
    a-b= (Da-Db)*k
    … arriba queda multiplicado por k^(2n+1) y abajo por k^3

    (y se mantienen las otras condiciones: si a, b y a-b no son múltiplos de 3 tampoco lo serán al dividirlos por k)

    Pero esto que he puesto (que a comparta un factor con b) no era exactamente lo que decía antes: que ab no sea coprimo con a-b … Para esto que decía yo antes, a-b debería compartir un factor con b o con a… pero si lo comparte con alguno de los dos lo compartirá con ambos…

    Si lo comparte con a:
    a-b = ka * Dd
    a = ka * Da
    entonces b = a-(a-b) = ka*(Da- Dd)
    (comparte el mismo factor ka con b)

    Si lo comparte con b:
    a-b = kb * Dd
    b = kb * Db
    entonces a = (a-b)+b = kb*(Db + Dd)
    (comparte el mismo factor kb con a)

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  10. En resumen la regla definitiva será:

    a^(2*n+1) – b^(2*n+1) –c^(2*n+1) será múltiplo de a^3 – b^3 – c^3 con a=b+c siempre

    que ninguno de los números a, b y c sea múltiplo de 3 o que los tres lo sean.

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  11. En efecto , el metodo de expresar la suma de potencias con la generalización del binomio de Newton , utilizar si se quiere el pequeño teorema de fermat funciona para dar la demostración al problema pedido.

    Por cierto este problema es el 6 problema de la olimpiada nacional fase local en la que he participado y también en la nacional. Estaría bien que pusieseis los de la nacional

    Saludos

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