Desafío GaussianosyGuijarro nº 1 – Solución y ganador

Unos días después de terminar el plazo para enviar la solución al Desafío GaussianosyGuijarro nº 1, creo que ya es momento de comentaros la solución del mismo, y también el ganador del libro Bricológica.

Se han recibido 65 respuestas, de las cuales 49 eran correctas. La solución, como bien encontraron esas 49 personas, es que el jugador A debería llevarse 11/16 del total del dinero acumulado hasta el momento, mientras que el jugador B debería llevarse el resto, es decir, 5/16 del total. Recordemos cuál era el problema:

Dos personas juegan a un juego con un dado como protagonista principal. En cada ronda, el jugador A apuesta una cierta cantidad de dinero a que saldrá un número par, y el jugador B la misma a que saldrá un número impar, y quien gana esa ronda se lleva 1 punto. El juego termina cuando un jugador llega a 10 puntos, llevándose todo el dinero.

El caso es que cuando llevan 15 tiradas, con el marcador 8-7 a favor de A, deciden dejar el juego y repartir la cantidad de dinero acumulada hasta ahora. La pregunta es la siguiente:

¿Cómo deberían repartir este dinero en relación con la probabilidad que tiene cada uno de ganar el juego?

Una idea para encontrar dicha solución era la siguiente:

Como mucho habría que jugar 4 partidas más para acabar el juego. Listamos todas las posibilidades que se podrían dar en esas 4 partidas, que son 16, y contamos en cuántas gana cada jugador. Son las siguientes:

PPPP, PPPI, PPIP, PIPP, IPPP, PPII, PIPI, IPPI, PIIP, IPIP, IIPP, PIII, IPII, IIPI, IIIP, IIII

Para que gane B tenemos que tener tres I antes que dos P, por lo que B gana en 5 ocasiones (las cinco últimas de la lista anterior). Como hay 16 casos posible, A ganará en los 11 restantes. En consecuencia, lo más justo es que se repartan el dinero acumulado hasta ese momento en esas proporciones, 11/16 del total para A y 5/16 del total para B.

Otra de las opciones (posiblemente la más utilizada por vosotros) es calcular las probabilidades de cada posible resultado del juego hasta que éste acabe (por ejemplo, no se llegaría nunca a PPPP ya que con las dos primeras P ya se ha terminado). Voy a permitirme la licencia de usar el diagrama en árbol que envió Fernando Cervera en su solución:

En cada paso hacia abajo hay que multiplicar por 0,5 (probabilidad de que salga cara o cruz). Después sumamos cada una de las probabilidades para cada resultado. En el caso de A:

P(\mbox{gane A})=0,5^2+0,5^3+0,5^3+0,5^4+0,5^4+0,5^4=0,6875

y en el caso de B podemos hacer lo mismo, o también podemos restarle a 1 el resultado anterior:

P(\mbox{gane B})=1-0.6875=0,3125

que son, respectivamente, 11/16 y 5/16.

Como podéis ver, la cantidad que se lleva apostada hasta ese momento no tiene ninguna importancia, ya que simplemente se pedía la parte de esa cantidad que debería corresponder a cada uno. Y por comentar algo más, el error más extendido entre las respuestas erróneas ha sido considerar que, por ejemplo, PP y PIP tienen la misma probabilidad de aparecer. Siendo así, tendríamos que todas las combinaciones de P-I que hacen que el juego termine tienen la misma probabilidad, por lo que como hay 10 combinaciones con las que el juego acaba simplemente habría que contar en cuántas gana A, que son 6, y en cuántas B, que son 4, por lo que la probabilidad de que gane A es 6/10 y de que gane B es 4/10. Pero, como hemos visto en el diagrama en árbol que envió Fernando, eso no es correcto, no todas esas combinaciones son equiprobables. Si alguien todavía tiene dudas sobre esto puede preguntar en los comentarios de este post.

El ganador ha sido Francisco Herrero, cuya solución contenía un diagrama del estilo al que hemos publicado aquí. Enhorabuena. En cuanto te pongas en contacto conmigo (ya te he enviado un mail) comenzaremos las gestiones para enviarte el premio.

En pocos días tendremos aquí el segundo desafío, en el que espero que participéis con tanta o más ilusión como la que habéis demostrado en el primero. Gracias a todos.

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8 comentarios

  1. mimetist | 25 de marzo de 2012 | 13:35

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    Vaya, he sido uno de los que se equivocaron… xD

    Utilicé el mismo razonamiento que se propone como solución, pero pensé que eran necesarias 5 jugadas más, en lugar de 4…

    Está visto que nunca solucionaré un problema de Gaussianos xD

  2. JC | 25 de marzo de 2012 | 18:13

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    un poco baja la participación, a ver si en el siguiente se anima más gente

  3. Trackback | 25 mar, 2012

    Bitacoras.com

  4. gaussianos | 25 de marzo de 2012 | 20:42

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    mimetist, ánimo, veras como en próximas ediciones va mejor la cosa :).

    JC, sí, la verdad es que la participación no ha sido demasiado alta. Esperemos que en próximos desafíos la cosa suba :).

  5. Fernando Cervera | 26 de marzo de 2012 | 08:50

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    Enhorabuena al ganador!
    Me ha hecho mucha ilusión que utilices el diagrama de mi solución. Muchas gracias!
    Saludos!

  6. gaussianos | 26 de marzo de 2012 | 22:03

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    Ha habido varias personas que han enviado diagramas del estilo. Muchas gracias a todos por hacerlo. Fernando, utilicé el tuyo porque me pareció que estaba todo muy claro. De nada :)

  7. LordWings | 4 de abril de 2012 | 13:22

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    Las reglas del juego complican un poco más el asunto, ya que no se apuesta una cantidad fija desde el principio, sino que se va añadiendo una cantidad en cada apuesta. En este caso, un jugador cobra más dinero si gana en una ronda posterior.
    RETO: ¿Cuál sería el dinero a repartir de la forma más justa posible en cada una de las dos variantes? ¿Se puede encontar una fórmula general para cada caso?

  8. Trackback | 27 abr, 2012

    Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío nº 2 - Gaussianos | Gaussianos

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