Desafío GaussianosyGuijarro nº 3 «La tarta de la discordia» – Solución y ganador

¿Queréis conocer la solución del Desafío GaussianosyGuijarro nº 3 – La tarta de la discordia y, por tanto, del ganador de Gödel (para todos)?. Pues sigue leyendo.

Se han recibido 46 respuestas, de las cuales 36 eran correctas. La solución de este desafío depende de cómo sean los cortes. Lo mejor es que recordemos el enunciado del problema y después expliquemos de qué va todo esto:

Todos, en algún momento de nuestras vidas, hemos ido a comer una tarta y hemos intentado cortarla. Pero claro, casi nunca lo logramos hacer por el centro exacto de la tarta y eso supone un problema serio de reparto.

Afortunadamente, las matemáticas nos pueden ayudar, incluso en situaciones como esta, a decidir si se puede repartir equitativamente una tarta entre dos personas.

Pasemos a enunciar el desafío La tarta de la discordia.

Vamos a suponer que tenemos una tarta perfectamente circular (de acuerdo que es mucho suponer, pero se trata de una modelización) y dos amigos que se disponen a compartirla.

Supongamos, en primer lugar, que hacemos dos cortes perpendiculares a la tarta, es decir, la dividimos en cuatro trozos, pero el punto en el que ambos cortes se encuentran no coincide con el centro geométrico de la tarta. Ahora, como buenos amigos que son, los dos comensales eligen, alternativamente, un trozo de la tarta. Es decir, un comensal coge un trozo, el segundo el de al lado (el de la izquierda, por ejemplo), el primero coge el de la izquierda del anterior y finalmente el segundo coge el que queda. En el dibujo, uno de los comensales cogería las dos porciones blancas, mientras que el segundo comería las grises.

El desafío consiste en responder a la siguiente pregunta:

¿Hay algún comensal que coma más tarta que el otro?

Nuestro amigo Tito Eliatron nos da la solución:

La solución del desafío requiere diferenciar dos situaciones:

a) Uno de los cortes pasa exactamente por el centro geométrico

diámetro del círculo, por lo tanto la parte de la izquierda y la de la derecha son idénticas.
De esta forma, el trozo blanco de la izquierda (B1) es simétrico del gris de la derecha (G1), por lo que tienen la misma área. Análogamente, el trozo gris de la izquierda (G2) es simétrico del blanco de la derecha (B2), luego tienen también la misma área.

En resumen, B1+B2=G1+G2, por lo que ambos comensales comerían la misma cantida de tarta.

b) Ninguno de los cortes pasa por el centro geométrico

En este caso la cosa cambia, ya que hay que fijarse en el trozo de tarta que contiene al centro geométrico. El comensal que coma ese trozo comerá más. Vamos a verlo muy fácimente con este dibujo:

Trazamos los diámetros paralelos a los cortes dados y trazamos las cuerdas simétricas correspondientes.

Por simetría es claro que B1=G1, B2=G2, B3=G3, B4=G4, B5=G5 y B6=G6. Ya no quedan más trozos grises, mientras que aún quedan trozos blancos.

Por lo tanto, el comensal que elija los trozos blancos (es decir, el trozo que contiene al centro geométrico) comerá más que el comensal que elija los grises.

De las soluciones enviadas destacamos en esta ocasión las siguientes:

• La enviada por Pablo Rodríguez, ganador del segundo desafío GyG, que coloca el centro de la circunferencia en el origen, la intersección de los cortes en el primer cuadrante y calcula las áreas mediante integrales.
• La enviada por Sergio de Ana, que supone el punto de corte entre las perpendiculares en el borde de la circunferencia y razona a partir de ahí.

Y os recomiendo que estéis atentos al blog de Tito Eliatron en los próximos días, ya que quizás encontréis un post relacionado con este desafío.

El ganador de este desafío ha sido Fernando Cervera Úbeda, que después de haber participado en los tres desafíos consigue en esta ocasión el premio. Las gestiones para el envío de Gödel (para todos) ya han comenzado.

Muy pronto tendremos el próximo desafío. Espero vuestra participación, como siempre. Muchas gracias a todos.