Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío nº 3: “La tarta de la discordia”

Hoy os traigo el tercer desafío de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro (GyG), de Gaussianos y Libros Guijarro, y con él comenzamos con las colaboraciones. Este problema me lo ha cedido nuestro queridísimo Tito Eliatron para la ocasión. El problema se titula La tarta de la discordia y su enunciado es el siguiente:

Todos, en algún momento de nuestras vidas, hemos ido a comer una tarta y hemos intentado cortarla. Pero claro, casi nunca lo logramos hacer por el centro exacto de la tarta y eso supone un problema serio de reparto.

Afortunadamente, las matemáticas nos pueden ayudar, incluso en situaciones como esta, a decidir si se puede repartir equitativamente una tarta entre dos personas.

Pasemos a enunciar el desafío La tarta de la discordia.

Vamos a suponer que tenemos una tarta perfectamente circular (de acuerdo que es mucho suponer, pero se trata de una modelización) y dos amigos que se disponen a compartirla.

Supongamos, en primer lugar, que hacemos dos cortes perpendiculares a la tarta, es decir, la dividimos en cuatro trozos, pero el punto en el que ambos cortes se encuentran no coincide con el centro geométrico de la tarta. Ahora, como buenos amigos que son, los dos comensales eligen, alternativamente, un trozo de la tarta. Es decir, un comensal coge un trozo, el segundo el de al lado (el de la izquierda, por ejemplo), el primero coge el de la izquierda del anterior y finalmente el segundo coge el que queda. En el dibujo, uno de los comensales cogería las dos porciones blancas, mientras que el segundo comería las grises.

El desafío consiste en responder a la siguiente pregunta:

¿Hay algún comensal que coma más tarta que el otro?

Como siempre se pide tanto la solución del problema como el razonamiento que ha llevado a la misma. Las respuestas deben enviarse antes de que termine el 24 de junio de 2012 a la dirección de correo electrónico desafiosgyg (arroba) gmail (punto) com.

El premio que se sorteará entre todos los acertantes que hayan enviado su solución dentro del plazo es el libro Gödel \forall (para todos), de Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro. La descripción que aparece en Libros Guijarro es la que sigue:

El teorema de la incompletitud de Gödel, uno de los más profundos y paradójicos de la lógica matemática, surgió casi a la par de la teoría de la relatividad de Einstein, aunque de manera más sigilosa. Se ha convertido en una referencia ineludible del pensamiento contemporáneo y es, posiblemente, el teorema que ha ejercido más fascinación en ámbitos alejados de las ciencias exactas. Lacan, Kristeva, Deleuze, Lyotard, Debray y muchos otros han invocado a Gödel y sus teoremas en arriesgadas analogías. Junto con otras palabras mágicas de la escena posmoderna como «caos», «indeterminación» o «aleatoriedad», la incompletitud se ha asociado también a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas.

Con el propósito de hacerlo accesible a un público amplio, Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro ofrecen una exposición detallada y rigurosa, pero de extrema suavidad, totalmente autocontenida: magistral.

En este libro, tanto las personas de cualquier disciplina que sólo tengan la imprescindible «curiosidad de espíritu» como los que hayan estudiado alguna vez los teoremas de Gödel podrán aventurarse a conocer en profundidad una de las hazañas intelectuales más extraordinarias de nuestra época.

Una exposición detallada y accesible del teorema de la incompletitud de Gödel, uno de los resultados más profundos y paradójicos de la lógica matemática.

Yo lo he leído (lo tengo desde hace tiempo) y la verdad es que me pareció muy interesante. Os lo recomiendo a quienes no lo hayáis podido leer, y una buena oportunidad para ello es este concurso. Enviad vuestra solución y mucha suerte en el sorteo.


Recordad que en principio los comentarios están abiertos para que habléis sobre el problema y, si acaso, deis alguna ayuda, pero nada más. Por favor, no publiquéis la solución, dejad que la gente se divierta con el problema. Gracias.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

27 Comentarios

  1. Se me ocurre que una forma de atacar el problema sería hacer que uno de los cortes fuese un diámetro y ver el efecto que se produce sobre las áreas al desplazar dicho diámetro.

    Una duda: ¿cada uno realiza un corte o es uno sólo el que realiza ambos?

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  2. La solución del problema está clara cuál es sin hacerlo; sin embargo la demostración, ya no es tan trivial… jajaja

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  3. He leído hace poco tiempo justo este mismo problema xD en un determinado sitio. Esta semana me toca pensar poco.

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  4. De esto se puede dar una demostración visual animada, como la de uno de los últimos posts. En mi caso, como no puedo hacer un vídeo, escribiré un poco.

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  5. Si uno elije primero lo mas educado es coger el trozo de tarta mas pequeño

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  6. Como siempre tiene una variante politica y quien tenga el centro se lleva la mejor tajada

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  7. Estoy con LuisMi, el que coja el trozo en el que está el centro de la tarta se lleva la mayor parte……….pero ahora hay que demostrarlo.
    Yo he hecho una primera “prueba” usando geogebra y resulta que:
    Si una de las rectas (cortes) pasa por el centro de la circunferencia de la tarta, ambos se llevan lo mismo.
    En otro caso, cuanto más alejado esté el punto de corte de las rectas del centro de la circunferencia, la diferencia de lo que se lleva uno y otro es mayor.
    saludos

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  8. puede comer uno mas ,yo pensaba sin darle muchas vueltas que comían lo mismo. ya que:

    1)ambos ángulos sumados en el vértice común suman 180 grados. y se mantiene constante aunque muevas el punto de cruze.

    2)El área de un sector circular depende de dos parámetros, el segmento-radio y el ángulo central

    3) una vez que desplaces el centro de cruze el problema se tendría que aproximar a descomponer en sectores circulares de otras circuferencias de distinto radio.

    pero no:
    en el caso extremo que esté tan desviado del centro que uno de los trozos pueda ser despreciable.
    se comprueba facilmente que quedaría tres areas que se podrían descomponer en un cuadrado inscrito + dos veces la superficie del arco abarcado por el lado y en el otro los otros dos dos arcos que duedan luego uno come mas que el otro.

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  9. puede comer uno mas ,yo pensaba sin darle muchas vueltas que comían lo mismo. ya que:

    1)ambos ángulos sumados en el vértice común suman 180 grados. y se mantiene constante aunque muevas el punto de cruze.

    2)El área de un sector circular depende de dos parámetros, el segmento-radio y el ángulo central

    3) una vez que desplaces el centro de cruze el problema se tendría que aproximar a descomponer en sectores circulares de otras circuferencias de distinto radio.

    pero no:
    en el caso extremo que esté tan desviado del centro que uno de los trozos pueda ser despreciable.
    se comprueba facilmente que quedaría tres areas que se podrían descomponer en un cuadrado inscrito + dos veces la superficie del arco abarcado por el lado y en el otro los otros dos dos arcos que quedan luego uno come mas que el otro.

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  10. Hola,
    Usando geogebra he dibujado y calculado 3 casos en el que el reparto es desigual y se puede apreciar la evolución. Siempre tienen más al que le toca el centro. el cálculo con geogebra para casos particulares es trivial, cada una de las cuatro porciones se puede calcular como un sector circular, menos un triángulo entre los dos puntos del arco y el centro de la circunferencia, mas otro triángulo entro los puntos del arco y el punto de corte de las cuerdas. Ahora bien debería demostrar que esto sucede en todos los casos, no me está resultando sencillo.

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  11. Este problema se puede resolver de cabeza, e incluso dar el dato exacto de cuanto come más uno que otro, en función de la distancia del centro a cada una de las rectas.

    De todos modos, en el enunciado se debería matizar que el centro de la tarta no está en ninguna de las dos rectas (ahora sólo dice que no coincide con el punto de corte de ambas), porque si se da este caso, la respuesta es diferente.

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  12. Sive,

    Muy cierta la matización. De hecho, esa era la razón de mi duda (planteada de forma algo jocosa) de si cada amigo realizaba un corte, ya que según fuese el segundo corte, el reparto se podría volver justo o injusto.

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  13. ¿Y por qué hay que hacer esa matización? ¿No habéis pensado que esa puede ser una de las cosas que hay que tener en cuenta al dar la solución del problema? 🙂

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  14. ¿Tambien hay que explicar lo que son cortes perpendiculares a una tarta?

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  15. Bueno pero por lo menos resulta curioso que si el comensal que se queda con el centro fuera justo debería darle un corte rectangular al otro

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  16. Dejaos de paparruchas de matizaciones :-b, está clarísimo el concepto, y si no está claro la intuición te dice cuál es el espiritu de la pregunta. El tema de la tarta no es más que un adorno para hacerlo más cercano. Si no se dice otra cosa en contra, el caso general es que los cortes no pasan por el centro, todo lo demás son casos particulares, que pueden tener mucho o poco interés (no voy a desvelarlo), pero como en cualquier problema hay que resolverlo para el caso general, no vale resolverlo SÓLO para un caso particular.

    En cualquier caso, me parece que ha sido muy sencillo. Os propongo el caso del roscón de reyes para comparar, resulta curioso, pero igual de fácil. Y ya mucho más complicado, ¿que tal si dividimos una patata con dos cortes perpendiculares que no pasen por el centro de masas? eh? y ahora qué?

    Jeje, qué buen blog! me encanta!

    CC

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  17. Si os habéis quedado con ganas, os propongo que resolváis el caso en que se hacen 3 cortes con ángulos idénticos (60º).
    Es decir:
    – 3 cuerdas que se cortan en un punto interior de la tarta/círculo
    – Dicho punto NO es el centro geométrico de la tarat/círculo
    – El ángulo entre segmentos es de 60º

    Hala. La solución de este desafío… próximamente en mi own blog.

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  18. Si en vez de pensar en una torta se piensa en un numero, si uno de los cortes pasa por el medio es como dividir dicho numero entre dos, luego al dividir con una perpendicular (y solo con una perpendicular) seria como dividir una de las mitades nuevamente entre dos, por lo que quedarian dos pares de numeros iguales ….

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  19. Si en vez de pensar en una torta se piensa en un numero, si uno de los cortes pasa por el medio es como dividir dicho numero entre dos, luego al dividir con una perpendicular (y solo con una perpendicular) seria como dividir una de las mitades nuevamente entre dos, por lo que quedarian dos pares de numeros iguales ….

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  20. Si pudiéramos asegurarnos de pasar una recta por el centro, no haría falta hacer un segundo corte 😀

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  21. Si el punto de corte es x,y el que come el centro come 2xy mas que el otro. Obviamente si x o y = 0 comen lo mismo.
    Se demuestra gráficamente de manera muy fácil compensando lo que se come demás el que come el centro con la parte simétrica y nos quedan 3 rectángulos xy, que todos se los come el del centro, pero 1 le pertenece en cualquier caso y los otros 2 no

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  22. Me acabo de enterar que este problema es igual a:

    El cubo -dimensional C se descompone en 2^n
    cajas rectangulares más pequeñas
    por n planos P1, P2, : : :, Pn de tal forma que cada eje de C es perpendicular a exactamente
    uno de esos planos. Las 2^n
    cajas se marcan en colores blanco y negro de tal manera que cada
    par de cajas vecinas tiene un color diferente.
    Supongamos que la suma de los volúmenes de las cajas en negro es igual a la suma de los
    volúmenes de las cajas en blanco. Muestre que al menos uno de los planos P1, P2, : : :, Pn
    bisecta a C.

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