Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío nº 4: El recorrido de la hormiga

Hoy viernes toca el cuarto desafío de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro (GyG), de Gaussianos y Libros Guijarro, que, al igual que en el caso anterior, es otra colaboración. Este problema me lo ha cedido nuestra queridísima Marta Macho-Stadler, con la amabilidad y el compromiso con la divulgación que son habituales en ella. He titulado al problema El recorrido de la hormiga y su enunciado es el siguiente:

Unas hormigas se desplazan en línea recta a velocidad constante, formando una columna de insectos de 50 cm.

La última hormiguita (que es la que carga con las provisiones) decide ir hasta la cabeza de la hilera para abastecer de alimento a la hormiga “jefe”. Se desplaza hasta el principio de la columna, y sin perder tiempo regresa a su posición al final.

Sabiendo que durante esta ida y vuelta la velocidad de la hormiga obrera ha sido constante y que la columna ha recorrido 50 cm, ¿cuál es la distancia total recorrida por esta hormiga?

Como siempre se pide tanto la solución del problema como el razonamiento que ha llevado a la misma. Las respuestas deben enviarse antes de que termine el domingo 29 de julio de 2012 a la dirección de correo electrónico desafiosgyg (arroba) gmail (punto) com.

El premio, que se sorteará entre todos los acertantes que hayan enviado su solución dentro del plazo, es el libro Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo, de Michael Guillen. La descripción que aparece en la web de Libros Guijarro es la siguiente:

Con lenguaje sencillo y cotidiano, el autor -editor científico del programa Good morning, América- nos revela el mundo secreto de las matemáticas a través de las sorprendentes historias de las personas que llegaron a descubrimientos claves para que la humanidad haya llegado a la electricidad, a volar en avión o construir la bomba atómica.


Recordad que en principio los comentarios están abiertos para que habléis sobre el problema y, si acaso, deis alguna ayuda, pero nada más. Por favor, no publiquéis la solución, dejad que la gente se divierta con el problema. Gracias.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

57 Comentarios

  1. El camino recorrido que se pide es el extra (suponiendo que haya) con respecto al resto de hormigas o la distancia total desde que abandona su posición hasta que vuelve?

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  2. Se entiende que la v de la hormiga 50 es Cte a la ida y Cte a la vuelta a otra velocidad, si no no le veo el sentido, y si es así es fácil

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  3. Es cte pero mayor que el resto, eso se entiende pues de no serlo la hormiga tardaría infinito tiempo en llegar al principio.

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  4. Ya, pero a esa velocidad se destacaría (nunca volvería su posición inicial)

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  5. vale, ya se lo que quieres decir, pone ida y vuelta, yo ya suponía que la hormiga cambiaba el sentido de la marcha al menos 2 veces (para volver una y para reincorporarse otra) pero tu lo ves como si no cambiara de sentido sino que aminorara la marcha, pues no se como es, a ver si nos responde Diamond, de todas formas creo que es lo mismo.

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  6. No es lo mismo, si aminora la solución es directa. Si cambia de sentido anda mas (como yo si puedo soy vago, aminoro mucho y me reincorporo a la fila cuando me toque). Al cambiar el sentido la velocidad cambia de V a -V y tendría que coincidir que llegas al final justo cuando se finaliza el trayecto, y sino (aun mas complicado) darte la vuelta en el momento exacto para estar justo en la cola en el momento exacto

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  7. He vuelto a leer el enunciado, y tambien puedo entender que la columna viaja con velocidad V. La 50 toma V1>V y alcanza la cabeza, retrocede con -V1 y al llegar a cola la columna a recorrido 50 cm. Desde luego es mas dificil y mas bonito

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  8. Lo he resulto en ambos casos, así que no añado mas comentarios

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  9. Para evitar las discusiones. Suponemos que la columna de hormigas es un segmento y que la última hormiga es un punto. Segmento y punto se desplazan sobre una recta.
    Y del enunciado se desprende claramente que la interpretación correcta es la que da Juanjo Escribano en su comentario de las 18:23

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  10. JJGJJG
    OK
    No me ha parecido igual de fácil, ni mucho menos, pero tampoco muy dificil.

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  11. La verdad es que no es fácil, al principio lo parece…
    Curiosidad: teniendo en cuenta la longitud media de una hormiga común (5mm) y dejando una separación entre ellas de 0.1 mm, la última hormiga es la número 98

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  12. Jeje que gracioso, y decíais que era fácil, eh?
    Yo veo dos casos, que no se si importa o no, pero habría que establecer un sistema de referencia. ?la hormiga va a velocidad cte respecto al suelo? ? O respecto a la columna?
    ?eso importa?
    Yo diría que la referencia es el suelo, pero se pueden resolver ambos problemas. Lo que si me parece cierto es que esta vez el problema no esta “totalmente definido”, esa suele ser muchas veces la gracia de estas discusiones.
    Saludos
    Pd: los cambios de coordenadas siempre suelen ayudar en estos problemas de movimiento relativo, 😉

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  13. Da igual, la columna va a velocidad constante (se sobreentiende que con respecto al suelo) por tanto la hormiga si va a velocidad constante con respecto al suelo también lo va con respecto a la columna y viceversa. Establecer un punto de referencia ayuda, pero ¿Que sentido tiene establecerlo en la columna? imagínate que alguien sentado en la parte de atrás de un autobús va al conductor a decirle algo y vuelve, ¿cual es el espacio recorrido con respecto al autobús? ese es fácil, el complicaillo es el espacio con respecto al suelo.

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  14. A ver. Yo no veo las dudas. La hormiga se las tiene que ver con el suelo para andar, así que será velocidad respecto al suelo. Si piensas que es ambiguo, deberías en puridad resolver los dos casos, exactamente como harías con un problema con más de una solución (si te pones a buscar ambigüedades, aún con velocidad constante respecto al suelo hay dos soluciones y la “peor” es difícil de descartar ya que el enunciado del problema no dice “directamente” para referirse a su camino hacia la cabeza de la fila)

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  15. Creo que ahora si lo tengo.
    Hay que suponer como propone JJGJJG que la hormiga tiene una longitud despreciable o nula y calcular la función de velocidad de la hormiga trabajadora sobre la guia.
    Si la hormiga tiene tamaño como Antonio Galán, se soluciona por el mismo método pero la solución final depende del Nº de hormigas. El límite con n tiende a infinito coincide con la 1ª solución obviamente

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  16. Ahora si lo tengo.
    La solución mas compleja es con N hormigas y teniendo en cuenta que al avanzar y retroceder avanza N-1 hormigas. En el límite con n tiende a infinito es la solución mas simple como dice JJGJJG

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  17. He entendido que la última hormiga se mueve más rápido que la columna, y que alcanza la cabeza y luego cambia el sentido de movimiento (pero no la rapidez) para volver a la última posición.
    Así he obtenido una solución única.

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  18. Vamos a ver si me explicoteo
    Parece evidente que el sistema de refetencia es el suelo. Pero solo lo parece, no esta del todo claro.
    La diferencia se ve con siguiente ejemplo:
    1. sist ref suelo: la columna se mueve a velocidad 10 y la hormiga se mueve a 12 hasta la cabeza, y despues vuelve hacia atras a velocidad 12.
    2. sist ref columna: la hormiga se mueve a elocidad 2 hasta que alcanza la cabeza y despues vuelve a velocidad 2. en este caso la hormiga vuelve a velocidad 8 respecto al suelo,
    es decir la velocidad es constante segun el sistema de referencia.

    Aunque parece evidente que el suelo es el sistema de referencia
    tambien es cierto que hasta que llego Galileo la Tierra no se movia.

    Os propongo que estudies ambos casos , a lo mejor os sorprende el resultado.

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  19. Como pista (si no me he confundido al resolverlo durante la digestión): la última hormiga está loca. Es decir, no se comporta de forma “racional”.

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  20. Como pista (si no me he confundido al resolverlo mientras hago la digestión): la última hormiga está “loca”. Es decir, no se comporta de forma “racional”.

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  21. Ya he indicado que no es vaga (o sea vuelve con -v, pudiendo seguir mas despacio como hacen los ciclistas gregarios en el pelotón despues de entregar la 1ª tanda de botellines)

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  22. Juanjo, no se en que pensarás al decir “no es vaga”, pero teniendo en cuenta los datos que dan creo que eso que piensas es imposible.

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  23. Perdonad, estaba de viaje, y hasta ahora no he podido mirar las preguntas.
    Respondo a la primera pregunta de Antonio Galan: Tal y como se plantea, se pide la distancia que recorre la hormiguita recorrida desde que va de la cola a la cabeza y regresa a su posición original.

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  24. Respuesta a Juanjo Escribano (Juanjo Escribano | 6 de July de 2012 | 17:41)
    La velocidad de la hormiguita es constante, y es la misma a la ida y a la vuelta.
    Como dice después Antonio Galan, es diferente de la velocidad de la columna de hormigas.
    Se supone (creo que queda claro por la forma de redactarlo) que se pide la distancia recorrida desde que la hormiga obrera empieza a caminar (desligandose de la columna de hormigas) desde la cola hasta la cabeza, deja la comida y regresa sin perder tiempo.

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  25. Cuando Juanjo Escribano dice:

    “He vuelto a leer el enunciado, y tambien puedo entender que la columna viaja con velocidad V. La 50 toma V1>V y alcanza la cabeza, retrocede con -V1 y al llegar a cola la columna a recorrido 50 cm. Desde luego es mas dificil y mas bonito”.

    Cuando se lo comenté a Miguel Ángel, esa era la idea. Siento si la redacción era confusa…
    Por si acaso, lo vuelvo a comentar.

    La hormiga de la cola decide ir a la cabeza a velocidad constante V1 (desde luego V1>V con las notaciones de Juanjo… en caso contrario NUNCA llegaría a la cabeza) y en cuanto llega cambia de sentido y sigue a velocidad V1 (hacia la cola), mientras la columna de hormigas sigue su camino).

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  26. Bueno, chicos, ya el último mensaje… ni la hormiga está loca, ni hace falta usar relatividad restringida 🙂
    La columna va a velocidad V y la hormiga a velocidad V1… ambas medidas (por ejemplo) en centímetros por segundo…
    Gracias por el simpçatico debate.

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  27. ¿Os gusta retorcer los enunciados? Pues ahí va una nueva interpretación:
    Según el enunciado las hormigas no forman una fila (las filas son horizontales), sino una columna (las columnas son verticales). Esto significa que están apiladas una encima de otra hasta 50 cm de altura.
    La hormiga proveedora trepa a velocidad constante hasta el extremo superior, le da su bocata a la que va en cabeza y vuelve a descender por la columna hasta meterse debajo.
    Como la columna ha recorrido 50 cm y la hormiga de intendencia ha recorrido 100 su velocidad es el doble de la que lleva la columna.

    Más pies al gato: Como la hormiga proveedora, arrastrada por la columna se ha desplazado 50 cm en horizontal y 100 cm en vertical su velocidad en el espacio ha sido
    raíz de 5 veces la de la columna.

    Nueva versión: Todo el proceso se desarrolla dentro de una cápsula cerrada herméticamente. La hormiga de suministros lleva dos paquetes de comida, uno de los cuales está envenenado. Cuando llega a la cabeza de la columna le da a elegir entre ellos a la que va en cabeza, vuelve a su sitio y se come el otro paquete. Vayan a la velocidad que vayan la columna y la hormiga, mientras no abramos la caja, tanto la primera como la última se han convertido en LAS HORMIGAS DE SCHRODINGER.

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  28. JJGJJG
    Me encantan las Hormigas de Schrodinger!
    Otro pie al gato: todas las hormigas menos la hormiga jefe saben que caja esta envenenada y cual no, pues se trata de un complot para derrocar al jefe. Entre la segunda hormiga y la tercera, una miente y otra no, el jefe no sabe cual miente y cual dice la verdad. ¿Cómo hará la hormiga jefe para no morir?

    Ahí lo dejo 😉

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  29. Hola, he llegado a un respuesta, pero antes de enviarla, quisiera preguntarles si sus respuestas les salen ´numéricas o les quedan expresadas en función de alguna variable??? Espero sus comentarios…

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  30. Hola, he llegado a una respuesta, pero quisiera oir sus opiniones y preguntarles si sus respuestas les salen numéricas o les quedan expresadas en función de alguna variable??? Espero sus comentarios…

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  31. JJGJJG, jajajaja, estás haciendo unos maravillosos “ejercicios de estilo” sobre el problema. Pero mejor es no meter la política en el problema 😀

    Andrés, es posible dar una respuesta numérica.

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  32. Precioso problema, ¡enhorabuena Marta! Un enunciado simple y una solución sorprendente, que he conseguido hallar tanto gráficamente (aplicando semejanzas de triángulos) como analíticamente (resolviendo una ecuación planteada a partir de velocidades).

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  33. Juanjo, no hace falta tener en cuenta el número de hormigas, no influye en la solución, la columna mide 50cm, recorre 50cm, eso son los datos numéricos, da igual que haya 4, 20, 90 o infinitas hormigas, para solucionarlo evidentemente hay que tener en cuenta un punto. Si el problema fuera real, tendríamos en cuenta el punto mas frontal de la hormiga por ejemplo. La forma mas sencilla de solucionarlo no depende del número de hormigas, yo lo he demostrado de 2 formas, una por movimiento y otra como dice Nestor Abad por semejanza de triángulos y el número de hormigas no influye.

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  34. Antonio,

    yo creo que sí.

    piensa en una columna de 3 elementos, en la que tienes que subir y bajar 2/3 y una de 100, en la que tienes que subir y bajar 99/100 avos.

    Si aplicamos la idea de JJGJJG, con infinitas hormigas de tañano 0 subes y bajas 1.

    A mí no me sale lo mismo

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  35. vale, es que no entendía como influía, yo lo he tomado como si los 50 cm fueran sin la última hormiga, pues si fueran con la última hormiga (que en realidad es lo que se da a entender en el enunciado) nos faltarían datos como la longitud de la hormiga o el número de hormigas…

    Al tomar la longitud sin la hormiga me debería resultar lo mismo que tomando las infinitas hormigas de longitud despreciable.

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  36. Antonio,

    yo lo he hecho con N hormigas y subes a*(n-1)/n siendo a la longitud de la columna.

    De todas formas la solución se encuentra igual, y para dar un Nº concreto tienes que
    intuir que el nº de hormigas tiende a infinito. Si no, es una f(n).

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  37. tambien podriamos agregar que la hormiga podria ir a velocidades cercanas a la de la luz, y alli cambia el cuento

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  38. o bien entrar en un agujero de gusano que la lleve a la hormiga al mando sin reocorrer distancia alguna

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  39. pero considerando la columna como un segmento y la hormiga como un punto, las ecuaciones dan un número real.

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  40. Listo, ya he enviado mi solución. Y sí, Samuel Dalva, a mí también me ha dado como resultado que la hormiga está “loca” jaja

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  41. Pues a mí me ha parecido un problema muy fácil con una respuesta muy sencilla. Nada de agujeros de gusano ni hormigas locas. Puede que me haya equivocado, pero me parece una solución muy simple y consistente y a menudo la respuesta más simple es la adecuada.

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  42. Sencillamente, recorrer una distancia real como apuntas puede suponer que hayas hecho algo irracional, es decir una locura.

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  43. Buenas, a mi también me sale un resultado numérico definido una vez que Marta ha aclarado el enunciado.

    Por otro lado, aparte del tema de la relatividad de Einstein y del de las hormigas de Schrodinger, me parece que el tema de las referencias en el movimiento tienen sentido. Según como pongas las referencias, te sale una solución definida como ya he dicho, o te sale una función de una variable, en el caso de que la velocidad de la hormiga sea V1-V a la ida y V-V1 a la vuelta, es decir a velocidad constante visto desde la columna de hormigas.

    Podemos aprovechar el ejemplo que puso Juanjo Escribano sobre los ciclistas. En ese caso podemos decir que un ciclista sube hasta la cabeza y después se deja llevar hasta la cola (aunque en este caso siempre con velocidad positiva). En este caso todo el mundo pensaría claramente que velocidad constante a la ida y a la vuelta se refiere a la columna de ciclistas y no al suelo.

    Si tratais de reolver el mismo problema de la hormiga pero con velocidad constante respecto a la columna vereis que no es tan sencillo, ya que la solución es una función de una variable.

    Saludos

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  44. Acabo de enviar la solución al problema.

    Me he tirado cerca de media hora liado con ecuaciones con varias incógnitas y al final me he dado cuenta de que basta sólo una. Me ha gustado mucho a pesar de lo que me ha costado.

    Como no se puede dar la solución exacta, diré que la distancia se encuentra entre 100 y 150 cm.

    Saludos 😉

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  45. alvaro, lo pone en el post:

    Como siempre se pide tanto la solución del problema como el razonamiento que ha llevado a la misma. Las respuestas deben enviarse antes de que termine el domingo 29 de julio de 2012 a la dirección de correo electrónico desafiosgyg (arroba) gmail (punto) com.

    Saludos 🙂

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