Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío no 6: ¿Cuántos doses hay en el denominador?

Sexto desafío de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro (GyG), de Gaussianos y Libros Guijarro. El de hoy lo propone Adolfo Quirós, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid, entre otras muchas cosas. El problema en cuestión se titula ¿Cuántos doses hay en el denominador? y su enunciado es el siguiente:

Vamos a considerar, para los números enteros n \ge 0, las denominadas \textit{potencias divididas de 2}, que se definen así:

2^{[n]}:=\cfrac{2^n}{n!}

Vamos a escribir estas potencias divididas como fracciones irreducibles, es decir:

2^{[0]}=1; \; 2^{[1]}=2; \; 2^{[2]}=2; \; 2^{[3]}=\cfrac{4}{3}; \; 2^{[4]}=\cfrac{2}{3}; \; 2^{[5]}=\cfrac{4}{15}; \; 2^{[6]}=\cfrac{4}{45} \dots.

El desafío consiste en demostrar que:

  1. existen infinitos n \ge 0 para los que 2^{[n]}:=\cfrac{2}{a}, con a impar.

    y que

  2. dado cualquier entero r \ge 0, existe un n \ge 0 tal que 2^{[n]}:=\cfrac{2^s}{a}, con s \ge r y a impar.

Como siempre se pide tanto la solución del problema como el razonamiento que ha llevado a la misma. Las respuestas deben enviarse antes de que termine el domingo 23 de septiembre de 2012 a la dirección de correo electrónico desafiosgyg (arroba) gmail (punto) com.

El premio para el ganador de este desafío será el libro El metro del mundo, de Denis Guedj. Os dejo la descripción que aparece en Libros Guijarro:

Hace unos pocos años Denis Guedj sorprendió al lector español con un libro excepcional; El teorema del loro, con un significativo subtítulo, Novela para aprender matemáticas. Ahora nos vuelve a sorprender con El metro del mundo, otro libro excelente. En los albores de la Revolución Francesa se inició una operación de capital importancia: la instauración del sistema métrico decimal. Ofrecido por la República Francesa «a todos los hombres y a todos los tiempos», el metro se ha convertido, a los dos siglos de su creación, en el señor de la medida del mundo. La universalidad del sistema métrico radica en su definición. La cuarta parte del meridiano terrestre, es decir, la propia Tierra, se toma como unidad real, en tanto que como unidad usual se toma su diezmillonésima parte: el metro. ¡Que ya no haya «dos pesos y dos medidas»!, pedía el pueblo en 1789. Yendo mucho más allá del deseo que expresaba esta petición, sabios y políticos crearon un sistema absolutamente inédito, que iba a cambiar la relación de los hombres con la medida del mundo. Unificación de los pesos y medidas mediante el metro. Unificación del espacio mediante los departamentos, unificación del tiempo con el calendario, unificación de la lengua. La Declaración de los derechos del hombre y del ciudadano había hecho a los hombres iguales ante la ley; el sistema métrico los hizo iguales ante la medida de las cosas. Igualdad política, igualdad metrológica. La epopeya de la medición narra el encuentro singular entre filosofía, política y ciencias. Siguiendo el viaje a través de la Revolución desde los cuadernos de agravios hasta el golpe de Estado del 18 Brumario, El metro del mundo reconstruye la aventura intelectual y humana que fue la medición del meridiano entre Dunkerque y Barcelona por los astrónomos Fierre Méchain y Jean-Baptiste Delambre . Si hay una «mundialización» conseguida, ésta es la que el metro ha realizado en nuestros días.

Que se os dé bien.


Recordad que en principio los comentarios están abiertos para que habléis sobre el problema y, si acaso, deis alguna ayuda, pero nada más. Por favor, no publiquéis la solución, dejad que la gente se divierta con el problema. Gracias.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

41 Comentarios

  1. No me ha parecido díficil de verbalizar la solución. Farle formalismo matemático se me hace mas duro

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  2. considero que en el segundo enunciado bastaría con definir la “s” y no la “r”:

    – dado cualquier entero s\geq0, existe un n\geq0 tal que 2^{[n]}:=\frac{\displaystyle 2^s}{\displaystyle a}, con a impar.

    Por lo demás, creo que ya lo tengo resuelto.

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  3. Estás en lo cierto Julián. Lo propuse de la otra manera para dar una “pista” de cómo pensar y que la gente no se obsesionase con encontrar fórmulas exactas (que por lo demás están muy bien).

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  4. Yo creo que cambia el problema.

    Yo lo he resuelto hallando una “s” para cada “n”, que es un caso muy particular.

    Este planteamiento no es exactamente el inverso, sino algo mas general.

    Además, ¿Se puede obviar en el enunciado n<=s o se ha olvidado de escribirlo?

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  5. Tengo una duda, en la parte dos del desafío se cita 2^s ,¿qué significa “s”? Al igual que s>r.

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  6. ¡Interesante problema, más interesante la argumentación de su solución!

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  7. ¡Buenas noches, prof. Adolfo Quirós! ¿Es válido enviar la solución en formato pdf con las fórmulas editadas en Word? O sea, ¿no necesariamente hay que editar los símbolos matemáticos en LATEx, siempre y cuando queden escritos correctamente?

    ¡Gracias, de antemano!

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  8. No hay problema Sinuhé. Un pdf con los símbolos legibles es perfecto.

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  9. ¡Buenas noches desde Venezuela, a todos los amigos de este blog, y al profesor Adolfo Quirós!

    Ya he enviado mi solución al correo de gmail desafiosgyg, pero lamentablemente no he recibido confirmación de la recepción de dicho correo.

    ¿Qué tal les va?

    ¿Cómo son las condiciones de participación? ¿Cómo puedo saber que mi respuesta ya está siendo evaluada de aquí al 23 de septiembre? ¿Y cuál es el criterio para escoger un ganador entre varios posibles?

    Muy agradecido de antemano, y manifiesto mi motivación por participar activamente en este tipo de iniciativas toda vez que pueda.

    ¡Saludos!

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  10. Es el primer desafío en el que participo, y me disculpo si la insistencia les resulta incómoda.

    ¡Saludos y muchas gracias por iniciativas como ésta!

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  11. Las condiciones técnicas del concurso no las determino yo, así que tendrían que contestarte desde Gaussianos. Saludos

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  12. He resuelto el problema. Muy entretenido buscar doses en el denominador. Pero quisiera preguntarle una cosa profesor:

    Yo he sido capaz de resolverlo con la ayuda de un software, que me ha chivado los candidatos a “n” en cada apartado (ya luego solo es cuestión de formalizar…). Sin la ayuda de un software, ¿como se da uno cuenta de quién son los “n” en cada caso?

    Alomejor es una tontería y yo no lo veo…

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  13. Hola Juan Manuel.

    Usar software (o multiplicar a mano) para darse cuenta de quiénes son los candidatos es una muy buena estrategia. Así podemos avanzar una conjetura que luego hay que demostrar, como has hecho. Todo impecable desde un punto de vista matemático.

    Es más, salvo porque antes no había ordenadores, ese es el procedimiento normal de descubrimiento matemático: se medita (informádamente) sobre qué debería ser cierto y luego se intenta demostrar.

    Por desgracia a veces la intuición falla. O acierta, pero la demostración se nos escapa.

    Saludos.

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  14. Juan Manuel Priego, durante esta semana publicaré la solución que me proporcionó Adolfo Quirós. Espero que dicha solución despeje tu duda. Y si no es así podrás volver a preguntarlo en el propio post de la solución :).

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  15. Saludos,

    Yo proporcioné una solución (y la envié al correo indicado) y la demostré, usando un teorema de teoría de números, empleado en los primeros cursos de Álgebra (sin requerir un software).

    Con dedicación y esmero verifiqué el rigor y pulcritud de mi demostración. Espero contar con éxito en mi participación en este desafío.

    Gracias a gaussianos y al prof. Quirós de antemano.

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  16. Buenos días,

    Veo que el último mensaje del foro es del día 16…

    Yo vi el desafío el sábado 22, y ayer (ultimo dia para resolverlo) terminé de escribirlo formalmente.

    Tengo que reconocer que si no es por la ayuda del software (mathematica) no habría sido capaz de resolverlo, porque fue el mathematica el que me chivó quienes eran los candidatos a “n”.

    Sin la ayuda de un software se puede sospechar que efectivamente los “n” que buscas sean los que son (no quiero decirlos por si aún hay gente que no lo haya hecho), pero desde luego que así es muchísimo más laborioso y pesado de hacer…

    Lo que querría saber es si lo habéis hecho con o sin ayuda de un ordenador…

    Yo admito que me cree una lista con los 130 primeros 2^[n].

    Un saludo amigos.

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  17. Pido perdón por publicar dos veces el mismo comentario…

    Mi ordenador va un poco mal jeje y a mi me aparecía como que no se había enviado…

    SALUDOS!

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  18. Yo hice una lista manual con los 20 primeros y era claro

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  19. Sinuhé –> Yo estuve desempolvando mis apuntes de de la asignatura de Tª Números, buscando algunos resultados de aritmética modular que pudiesen simplificarme el problema… pero no vi ninguno que se ajustara..

    ¿Podría decirme que teorema has usado? Gracias.

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  20. Hola Juan Manuel, éste fue el teorema que usé:

    “Consideremos un entero n y un primo p. El mayor exponente k para el cual p^k | n! es

       k = \sum_{i=1}^{\infty} {\lfloor n/p^i \rfloor}

    Obsérvese que en realidad la suma es finita ya que a partir de un cierto i, digamos i_0, se tiene que p^i>n para todo i \geq i_0 y, en consecuencia, los términos correspondientes se anulan.

    Dicho teorema se encuentra en el libro de preparación para las Olimpíadas de Matemáticas del CENAMEC: “Temas de Matemáticas Elementales – Aritmética. Saulo Rada Aranda. 1992. Páginas: 30 y 31”, y como puedes ver, se basa en la función parte entera.

    Para resolver el desafío propuesto por el Prof. Adolfo Quirós, basta con escoger los enteros n como las infinitas potencias de dos. Es decir, n = 2^m (m \geq 0). Y considerar el primo p = 2. Luego se sustituye en el teorema, y listo. Así se habrá probado la propiedad 1.

    Una vez probada la propiedad 1, para cualquier r \geq 0, siempre se puede proponer n = 2^r -1 y así cumplir con la propiedad 2.

    Luego, resuelto el desafío.

    ¿No es verdad?

    ¡Hazlo y verás!

    PD: Supongo que, como ya pasó el tiempo para resolver este desafío, no hay problema en que publique este comentario y el teorema que usé para resolver el desafío.

    Notas:

    En caso de que hiciera falta la aclaratoria.

    \lfloor x \rfloor denota la parte entera de un número real x. El mayor entero menor o igual que x.

    El símbolo “|” denota “divide a”. Ejemplo: 5|10, 5 divide a 10.

    Saludos.
    Atte.
    Ing. en Computación Sinuhé Ancelmo
    Egresado de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas, Estado Miranda (En Noviembre de 2009)

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  21. Vale decir que la demostración del teorema que utilicé se encuentra en el libro que menciono. Y, para poder hacer uso de dicho teorema, en la solución que mandé al correo que aquí aparece, yo expliqué bien que entiendo dicho teorema, así como su demostración por inducción, ya presentada en el libro.

    Esto a los efectos de la validez de mi solución a este desafío nº6.

    Saludos.

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  22. Me llama la atención que se hable de “soluciones usando software”, puesto que el software o bien sólo puede dar una idea, cuando se trata de propiedad (ya que jamás podrá contemplar los infinitos casos, por la naturaleza finita del ordenador), o bien podrá ayudarnos a encontrar un contraejemplo, en caso de que la propiedad no fuera cierta.

    De hecho, recuerdo algo de historia de las Matemáticas (Turing), el invento del ordenador relacionado con la búsqueda de un contraejemplo en el caso de la Hipótesis de Riemman.

    Aún sin la anécdota de Turing, 1000, 100000 o la inmensa cantidad de ejemplos no hace que una propiedad este demostrada. Sólo lo hace un argumento irrebatible que sea aplicable a todo elemento del conjunto sobre el cual se desea probar la propiedad. Ésto fue lo que nos legó Euclides, al instaurar el rigor en la Matemática, y hacerla de verdad Matemática: una ciencia abstracta, exacta, racional y no fonomenológica o empírica, donde se dedujera a partir de “muchas observaciones”.

    Saludos.

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  23. En efecto, Julián. Asimismo, bastaría con definir la r y no la s.

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  24. Hola a todos, y gracias por el interés.

    Por supuesto no se puede dar la demostración por software, pero si se puede usar software (como Juan Manuel Priego) o cálculos a mano (como Juanjo Escribano) para conjeturar qué números estamos buscando. Tanto Juan Manuel como Juanjo han procedido luego a dar soluciones rigurosas.

    Saludos

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  25. Ciertamente prof. Quirós y amigos de Gaussianos.

    Yo querría con todo respeto, si ustedes a bien tuvieran, me dieran su feedback sobre la solución que yo propuse también rigurosamente.

    Con interés, dediqué 10 días, primero a buscar un patrón de los candidatos a n, para las propiedades 1 y 2. Luego de encontrarlos, como quien buscaba un patrón en las Torres de Hanoi (a mano, pues aunque estuve tentado a usar software como varios amigos comentan, intuí que no iba a ser lo mejor porque siempre iba a tener que proveer una argumentación rigurosa, así que estimé yo, me valía más, estudiar la propiedad observada en el patrón que su frecuencia).

    De modo que al no pensar por mi propia cuenta en un teorema o lema, recurrí a una bibliografía (la que comenté), y allí dí con el argumento de rigor.

    Dediqué los otros 4 días de mi desafío a entender el teorema para así tener la potestad de usarlo.

    Es por ello, que sería de gran valor para mí conocer el visto bueno, o las correcciones si las hubiere, a mi solución enviada, así como el prof. Quirós muy amablemente se ha manifestado ya sobre las soluciones rigurosas de Juan Manuel y Juanjo (luego de conjeturar por medio de software y a mano).

    Vale decir finalmente, que desde hace un año he iniciado mi camino por la docencia en esta ciencia exacta, y es este blog una de mis fuentes más fiables y revisadas.

    Saludos.

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  26. Creo que, una vez aclarado lo del “uso del software”, es mejor esperar a que Gaussianos publique la solución y no comentar una a una las enviadas por los lectores. Si luego surgiesen dudas ya hablaríamos.

    Espero que Sinuhé me disculpe.

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  27. Sí, estoy de acuerdo con Adolfo Quirós. En su momento valoré la cuestión de comentar a cada persona, de manera individual, si su solución era correcta o no, y en su caso los fallos que había tenido. Pero por desgracia ni yo ni los proponentes disponemos de suficiente tiempo para ello, por lo que al final opté por no hacerlo y, en su lugar, intentar responder a las pequeñas cuestiones que pudieran surgir en los comentarios. Espero que todos lo entendáis.

    Gracias.

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  28. Muy buenas a todos,

    Lo primero aclarar que obviamente la demostración no está hecha con ayuda del software (ni que fuese esto el T. de los 4 colores), el software, en lo único que me ha ayudado, ha sido en convencerme de que en el apartado “a” los candidatos a “n” eran las potencias de dos, y en el “b” las potencias de dos menos 1…

    Mi demostración se basa en atacar directamente al problema, es decir, afirmo que en el denominador tiene que aparecer el 2 como factor primo tantas veces como requiera el apartado… y dada la veracidad del resultado, sale todo en perfecta armonía.

    Saludos a todos!

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  29. ¡Excelente! Muy interesantes los comentarios y la defensa de las argumentaciones. Sumamente claro lo referente al software, pues estamos en Matemática; no en un área empírica (con posibilidad de inducción errónea: decía una vez alguien “no porque siempre hayamos visto salir el sol por el horizonte hemos de inferir que todo el tiempo será así”).

    ¡El aprendizaje nunca termina!

    ¡Un saludo a todos aquí en gaussianos!

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  30. Un saludo, ¿qué tal les va?

    ¿Cuándo publicarán la solución del Prof. Quirós?

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  31. ¿Alguna falla en mi solución?

    Si la consiguen o la consiguieron (gente del blog o participantes) y tienen tiempo para hacérmela saber, sería un aporte conocerla. (28 respuestas recibidas, 27 correctas, ¿incorrecta la mía? http://gaussianos.com/desafio-gaussianosyguijarro-no-6-cuantos-doses-hay-en-el-denominador-solucion-y-ganador/)

    Si se pueden saber los criterios para elección de la solución ganadora, sería grato conocerlos, así como los criterios para destacar algunas respuestas correctas.

    Muchas gracias de antemano, y saludos respetuosamente.

    Ing. Sinuhé Ancelmo

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  32. Sinuhé, tu solución se consideró como correcta.

    El ganador se elige por sorteo y ese sorteo lo hago yo.

    Saludos.

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  33. Muy agradecido amigo,

    Disculpe las molestias causadas, recién incurso en el mundo de las matemáticas de verdad… (aquéllas que no son mecánicas, ni aplicadas, sino que requieren a veces creatividad y rigor)

    Cuando usted tenga un chance me podría decir si mi solución no fue destacada por considerarse como “matar a una mosca a cañonazos, dado el teorema al que tuve que recurrir” o “poco elegante” por no ser el más sencillo el razonamiento seguido para demostrar?

    En este camino de aprendizaje, le agradezco mucho su consideración a todas mis intervenciones, y cuando pueda me comente lo que le refiero a “matar una mosca a cañonazos o solución no elegante”

    Un saludo afectuoso y éxitos, y ninguna prisa para esperar su respuesta a esta pregunta. Mi motivación: aprender Matemática, y aprenderla bien.

    Atte.
    Ing. en Computación Sinuhé Ancelmo
    Egresado de la Universidad Simón Bolívar en Noviembre de 2009

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  34. Lo del rigor es siempre requerido en la matemática, aunque he visto documentales donde dicen que antes de euclides consideraban una prueba a “muchos casos ciertos”

    Esta fue una reflexión sobre mi comentario anterior.

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