Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío nº 9: “Una sucesión muy particular”

Con un poquito de retraso respecto a lo que es habitual llega el nuevo desafío de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro (GyG), de Gaussianos y Libros Guijarro. El de este mes lo propone Antonio Rojas, profesor del departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla y, por qué no decirlo, medalla de plata en la Olimpiada Matemática Internacional de 1993. El problema en cuestión se titula Una sucesión muy particular y su enunciado es el siguiente:

Definimos la siguiente sucesión de números enteros, a(n), de forma recurrente:

\begin{matrix} a(1)=1 \\ \\ a(n)=\begin{cases} -a(n/2), & \mbox{ si } n \mbox{ es par} \\ 1+a(n-1), & \mbox{ si } n \mbox{ es impar} \end{cases} \end{matrix}

Este noveno desafío consiste en responder correctamente a estas dos cuestiones:

1) Demostrar que para todo número entero k existen infinitos números enteros positivos n tales que a(n)=k.

2) Hallar el menor entero positivo n tal que a(n)=1000.

Como siempre se pide tanto la solución del problema como el razonamiento que ha llevado a la misma. Teniendo en cuenta las fechas en las que vamos a entrar bien pronto he decidido dejar más tiempo para el envío de las respuestas. Deberán enviarse antes de que termine el domingo 27 de enero de 2013 a la dirección de correo electrónico desafiosgyg (arroba) gmail (punto) com. Vamos, el doble de lo habitual, para que así os dé tiempo a pensarlo con calma y tranquilidad.

Entre los que envíen una solución correcta para este desafío sortearemos el libro El número en la Naturaleza. Matemáticas y comprensión de la realidad observable, 1, de Alfredo Tiemblo y Mara Izcue. La descripción que aparece sobre él en Libros Guijarro es la siguiente:

¿Son difíciles las matemáticas? ¿Qué está pasando en las Escuelas e Institutos para que la matemática sea una de las asignaturas con mayor fracaso escolar? Para salir al paso de estas preguntas, los autores pretenden descubrir, en los tres libros de esta colección, que existe un lenguaje común entre la naturaleza y la mente humana, las matemáticas. La colección va dirigida a todo aquel que quiera descubrir el maravilloso mundo de las matemáticas y principalmente a los estudiantes. ¿Son difíciles las matemáticas? ¿Qué está pasando en las Escuelas e Institutos para que la matemática sea una de las asignaturas con mayor fracaso escolar? Los autores creen que se debe a que la enseñanza inicial se da de un modo abstracto y muy formalizado. Seguimos en las aulas transmitiendo los conocimientos matemáticos de la misma forma que a nosotros se nos transmitieron, con poca experimentación y mucha teoría. A las matemáticas muy formalizadas llaman el algoritmo de Sherlock Holmes. Cuando llegaba un señor le decía: usted es un marinero holandés que viene de Sumatra, el interpelado lo veía como si fuera magia, para él ese hombre era un adivino. Cuando le explicaba el conjunto de cosas que le había llevado a esa conclusión decía el marino: ah! No es tan difícil. El presentar las cosas como Sherlock Holmes sirve para maravillar al oyente pero no para instruirle. A la hora de presentar los conceptos matemáticos siempre tendremos que dar un gran peso al método histórico, a cómo se han generado esos conocimientos; eso para los autores está claro porque creen que son los mismos que se producen en la mente del niño. El niño tiene la misma curiosidad ancestral que el hombre primitivo y hay que dar respuesta a esas curiosidades. Para salir al paso de las preguntas iniciales, los autores pretenden descubrir, en los tres libros de esta colección, que existe un lenguaje común entre la naturaleza y la mente humana, las matemáticas. La colección va dirigida a todo aquel que quiera descubrir el maravilloso mundo de las matemáticas y principalmente a los estudiantes, futuros profesores de matemáticas que impartirán docencia en Educación Infantil y Educación Primaria.

Que se os dé bien.


Recordad que en principio los comentarios están abiertos para que habléis sobre el problema y, si acaso, deis alguna ayuda, pero nada más. Por favor, no publiquéis la solución, dejad que la gente se divierta con el problema. Gracias.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

58 Comentarios

  1. Para la segunda respuesta llego a una idea pero no se resolverla porque mi nivel de mates no es muy bueno. Realizando la sucesión veo que el 1 sale en a1, el 2 en a3, el 3 en a7, el 4 en a15…”Cambiando” términos de sucesión y resultados me saldría una sucesión tal que A(1)=1, A(2)=3, A(3)=7, A(4)=15…Que se puede poner como A(n)=2·A(n-1)+1 o también A(n)=n+A(n-1) +A(n-2)+…+A(1) y donde A(1000) nos daría el a(n) mínimo que de 1000 como resultado…pero no sé como calcular ese A(1000). Dejo esto por si puede servir como idea a quién sepa resolverlo

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  2. Algo no estoy viendo:
    Si al ser n par tenemos que a(n)=-a(n/2), tenemos que el 2 no me sale hasta el a(5) y el 3 hasta el a(21)

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  3. hosti, hay un – en los pares q no había visto, a hacer cálculos otra vez…

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  4. Norby, en mi precipitación he cometido el mismo error que tú: he ignorado el signo negativo de la primera regla: a(n)= MENOS a(n/2) para n par.
    He resuelto el problema para el caso de sgno positivo. te adjunto mi solución en esas condiciones:
    Obsevamos que:
    a(2^1-1)=1
    a(2^2-2)=1 (regla segunda)
    a(2^2-1)=2 (regla primera)
    a(2^3-2)=2 (regla segunda)
    a(2^3-1)=3 (regla primera)
    …………………………………
    a(2^m-2)=m-1 (regla primera)
    a(2^m-1)=m (regla segunda)
    a(2^(m+1)-2)=m (regla primera)
    a(2^(m+1)-1)=m+1 (regla segunda)
    …………………………………………….

    Cada número, desde el 1, se repite cuando se se duplica su índice (regla primera) y aumenta en 1 en el siguiente elemento porque es de índice impar (regla segunda). el 1 se repite al duplicar su índice y el siguiente valdrá 2. El 2 se repetirá al duplicar su índice y el siguiente valdrá 3. Y así sucesivamente. Luego a la larga aparecerán todos los enteros y se repetirán todas las veces que queramos. Esto responde a la primera pregunta.

    Como en cada intervalo n=2^m–n=2^(m+1)-1 el valor a(n)=m+1 es precisamente el último, la respuesta a la segunda pregunta es a(2^1000-1)=1000.

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  5. Puede que no hayáis visto el signo menos porque lo he añadido después. Había olvidado ponerlo en el planteamiento inicial del desafío.

    Saludos.

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  6. Aun no tengo una demostración válida, pero os anticipo la respuesta a la segunda pregunta. Espero no ayudar demasiado a los que la estáis buscando.

    La primera vez que aparece el número 1000 es en el término que ocupa exactamente el lugar siguiente:

    3827102317580848414109444003925606614 077256
    7362898400159214245608588753797456771285553
    162105502089972815321546329154257815706320
    2876851104753104520555510617970999638177076
    0000229593049413348290476308996687828748260
    5384878821294546491056753468221179903016655
    1938746626964820986854110388317872140732344
    4227114722969661486168534126494935971352966
    9782588334763342389022086101740027107454270
    97253755961105735532998465472709007259952801
    347386617727750513629811300697306 8516525945
    2989067972002731907221019425179347519457533
    8509449595473144018169638425261294208391811
    842933607614256939321817920728283716 343125

    que, como podéis ver, es un número más bien gordo.

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  7. Me tranquilizas respecto de mi primera solución que creí errónea por precipitación pero que es la que resuelve el problema sin el signo menos.

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  8. Yo también vi que el título era “las macetas” y el signo menos faltaba, y
    pensé que algo estaba haciendo mal.

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  9. A mi la solución me sale esta:
    153084092703233936564377760157024264536309026945159360063685698243435501518982708514221264842200835989126128618531661703126282528115074044190124180822220424718839985527083040000918372197653393161905235986751314993042153951528517818596422701387288471961206662077549865078592839474164415532714885629293776908458891878645944674136505979743885411867913035333905336955608834440696010842981708389015023844422942131993861890836029039811205389546470911002054519245202789227406610378119562718880109276288840777007173900778301354037798381892576072678553701045176833567247371734430457027757287271682913134865372501
    no sé si es más gordo 😛

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  10. A mí me sale lo mismo que a JJGJJG.

    Tnt80, revísalo porque creo que tu solución es para 1001 (aparte de que te faltan muchas cifras).

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  11. a(n) = 1000 ??

    y no podía haber sido 10 o algo así mas asequible?? jaja

    Así a grandes rasgos sólo puedo decir que el número de JJGJJG parece un buen candidato, tanto por el numero de digitos, como porque acaba en 5.

    Supongo que esta vez SI será necesario explicar como se ha llegado a la solución, jjeje.

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  12. Si, estoy con JJGJJ y Golvano. La demostracion yo la veo muy facil, me equivoco?

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  13. Yo también llego a la solución de JJGJJG, pero ahora falta demostrar que es el mínimo (si es que lo es) XD

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  14. En general, el mínimo valor del índice n de la sucesión a(n)
    para que a(n)=x, es exactamente:

    EDITADO (DEMASIADAS PISTAS)

    para x=1000 resulta:

    EDITADO (DEMASIADAS PISTAS)

    3827102317580848414109444003925606613407725673628984001592142456085887
    5379745677128555316210550208997281532154632915425781570632028768511047
    5310452055551061797099963817707600002295930494133482904763089966878287
    4826053848788212945464910567534682211799030166551938746626964820986854
    1103883178721407323444227114722969661486168534126494935971352966978258
    8334763342389022086101740027107454270972537559611057355329984654727090
    0725995280134738661772775051362981130069730685165259452989067972002731
    9072210194251793475194575338509449595473144018169638425261294208391811
    842933607614256939321817920728283716343125

    que coincide con el valor obtenido por el colega JJGJJG.

    La prueba de esto y del resto del problema la dejo para
    presentarla en el concurso.

    Suerte a todos.

    Q.E.D.

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  15. Jesús Gallinal, te he editado el comentario para quitar la fórmula para calcular el término n de la sucesión, ya que creo que eran demasiadas pistas. Espero que no te molestes 🙂

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  16. ^DiAmOnD^, ¿tú autografías el libro del ganador? Sería interesante para darle un plus al premio.

    Por otro lado, he llegado a una expresión reducida del a(n)=1000 pero mi calculadora no da para expresar un número tan grande… JJGJJG, ¿qué software usas para expresar este tipo de números? mas que nada porque quiero comparar resultados.

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  17. JJGJJG no usa software, usa sus dedos para esos cálculos (y los hace muy bien) ja,ja,ja

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  18. Julián, no, es complicado ya que no soy yo directamente quien envía el libro. Pero bueno, es una sugerencia que tendré en cuenta :).

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  19. Bien, comparto el resultado de JJGJJG. Al final no pude hacer el cálculo a mano sin pensar en alguna herramienta de software :s (la pereza me puede, perdón)… wolframalpha me lo resolvió como quería.

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  20. Apreciados amigos.

    Permítanme, y disculpen la molestia, aprovechar lo concurrida que está siendo esta entrada para consultarles sobre la siguiente cuestión…

    Una alumna de clase particular me ha pedido que le explique inecuaciones con valor absoluto. Sin embargo, los ejercicios que le piden no parecen ser usuales… les explico por qué

    Problema de ejemplo que le da el profesor a la alumna:

    -1 \leq x \leq a

    “LA SOLUCIÓN ES”

    la inecuación de valor absoluto:

    |x - 4| \leq 5

    que se obtiene al “ver que” a=9 hace que:

    -1 \leq x \leq 9

    y, en consecuencia (qué tal?)

    4 - 5 \leq x  \leq 4 + 5

    Yo digo que con a=15 se hace que:

    7-8 \leq x \leq 7+8

    y entonces

    también

    -1 \leq x \leq a

    desde la inecuación

    |x - 7| \leq 8

    Por lo que no se puede obligar al alumno a buscar una solución (una sola), además cuál sería el método (“ver que”)?

    Por otra parte, le solicitan a la alumna encontrar la inecuación de valor absoluto para la desigualdad simultánea:

    4 \leq x \leq 8

    ¿Qué hacer?

    Primera vez que veo este tipo de ejercicios.

    Se supone que esto se da en matemática pre-universitaria? repaso de secundaria…

    Muy amables, y agradecido de antemano por sus comentarios.

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  21. Conseguí una forma de descubrir la familia de soluciones de manera que

    p \leq x \leq q

    Sea llevado a una inecuación de valor absoluto de la forma:

    |x + w| \leq z

    -z \leq x + w \leq z

    Es decir una inecuación de valor absoluto donde, dentro del valor absoluto aparezca una función afín de ‘x’. No sé si es eso lo que le pida el profesor a mi alumna.

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  22. Tienes razón, la solución depende de a y debe estar en función de esta variable. Con el método que nombras en tu segundo comentario debes poder seguir el razonamiento que el profesor ha hecho para a=9 y la solución es abs( x-(a-1)/2 ) <= abs (a+1)/2

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  23. por cierto, destacar que z es el tamaño de medio intervalo y w su punto medio

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  24. Andas mal, JJGJJG:

    a(2^3 – 1) = a(7)= 1+a(6) = 1-a(3) = 1-(1+a(2)) = -a(2) = +a(1) = 1

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  25. Para Juan Bolter: Si lees mi entrada que juzgas errónea verás que es la solución al primitivo problema en el que, para n par, se tomaba el valor del índice mitad SIN CAMBIAR EL SIGNO. A posteriori se cambió el enunciado modificando esa regla.

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  26. Yo tambien he dado con la solución. Lo iré depurando. Mi resultado concuerda con el de Jesús.

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  27. Hola !!!

    Hice la demostración pedida, y encontré la fórmula para calcular el índice pedido en la segunda parte. Muy interesante el problema, y todo el blog, lo voy a seguir !!!

    No veo mucho sentido enviar la respuesta porque vivo fuera de España y Portugal.

    Saludos !!!

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  28. Por más que le doy vueltas al asunto, no consigo llegar al valor obtenido por JJGJJG. He obtenido la expresión general de $a(n)$ pero el valor obtenido para $min a^{-1}(1000)$ no coincide con el obtenido por otros.

    Es seguro que ese valor es correcto?

    Por cierto, qué buen trabajo con el blog. Un saludo.

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  29. Me respondo yo solo que ya encontré mi fallo. El procedimiento para el cálculo del término general de a(n) era, en efecto correcto. El problema estaba en la suma (manual, es decir, con lápiz y papel) de la expresión de min, a^{-1}(1000). Tras repasar el cálculo obtengo el valor

    38271023175808484141094440039256066134077256736289840015921424560858875379745677128555316210550208997281532154632915425781570632028768511047531045205555106179709996381770760000229593049413348290476308996687828748260538487882129454649105675346822117990301665519387466269648209868541103883178721407323444227114722969661486168534126494935971352966978258833476334238902208610174002710745427097253755961105735532998465472709007259952801347386617727750513629811300697306851652594529890679720027319072210194251793475194575338509449595473144018169638425261294208391811842933607614256939321817920728283716343125

    previamente determinado por JJGJJG et al. (jejeje).

    Por cierto, las operaciones las he realizado con un intérprete de python (ipython-notebook) donde he implementado la expresión general de a(n), la he comparado (con los primeros 100 términos :-)) con la expresión recursiva de a(n) y he “calculado” min, a^{-1}(1000). Todo esto con software libre sin necesidad de esperar para los cálculos.

    import time
    t=time.time()
    # Aquí viene una línea de código que calcula una lista que sumo después.
    # Oculto el código porque daría demasiadas pistas 🙂
    N=sum(L)
    print N
    print b(N)

    El resultado es el número buscado y su imagen por a. Todo esto lo calcula en 0.007 segundos (sin necesidad de Mathematica (R), Maple (R) o Wolfram Alpha)

    Un saludo.

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  30. También lo puedes hacer con excel (aprox) sin muchos problemas recordando que a^(b*c)=(a^b)^c y que (a*b)^c=(a^c)*(b^c). Vamos, que aunque 3,83*10^600 sea un número demasiado grande para muchos de nuestros progamas recordemos que “antes” lo podrían haber calculado sin ni siquiera un ordenador. Y viene bien para recordar conceptos de operaciones

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  31. Pregunta al autor:

    ¿puedo dar la solución en una base no decimal? por ejemplo en binario, u otra base distinta

    Ocurre que usando la base adecuada el número buscado en la 2ª pregunta es el 111111…111 y así un número determinado de cifras, y así me ahorro engorrosos cálculos con un número tan grande.

    Saludos

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  32. Yo lo resolvi hace varios dias y envie la solucion pero como llevo pocos dias aqui la envie en una foto dando la demostracion por escrito a mano y no por escrito a ordenador, mi solucion puede ser valida igualmente? o la reenvio con todo pasado a ordenador? (cosa que me parece que sera un poco complicado)

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  33. Samuel, no hay problema con enviar la solución escrita a mano, no es necesario que la envíes pasada a ordenador :).

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  34. Cartesiano Caotico, vale dar la solución en cualquier base. De hecho no hace falta dar el número con todas sus cifras, una respuesta como 3^{50} (por ejemplo) también es válida.

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  35. No estoy seguro de si lo tengo bien … pero he intentado demostrarlo por reducción al absurdo la primera parte … y la segunda lo he calculado como una suma de una progresión geométrica después de observar su ¿distribución? (no soy matemático y no estoy seguro de muchas cosas) Creo que es la misma respuesta enviada por JJGJJG, aunque yo dudaba con la cantidad de términos a sumar.

    No se si debo poner esto por lo de las pistas (o si está mal) pero yo llego al final a esta fórmula

    EDITADO

    NOTA: El numerito lo saque en una de esas web para números grandes 🙂

    38 271 023 175 808 484 141 094 440 039 256 066 134 077 256 736 289 840 015 921 424 560 858 875 379 745 677 128 555 316 210 550 208 997 281 532 154 632 915 425 781 570 632 028 768 511 047 531 045 205 555 106 179 709 996 381 770 760 000 229 593 049 413 348 290 476 308 996 687 828 748 260 538 487 882 129 454 649 105 675 346 822 117 990 301 665 519 387 466 269 648 209 868 541 103 883 178 721 407 323 444 227 114 722 969 661 486 168 534 126 494 935 971 352 966 978 258 833 476 334 238 902 208 610 174 002 710 745 427 097 253 755 961 105 735 532 998 465 472 709 007 259 952 801 347 386 617 727 750 513 629 811 300 697 306 851 652 594 529 890 679 720 027 319 072 210 194 251 793 475 194 575 338 509 449 595 473 144 018 169 638 425 261 294 208 391 811 842 933 607 614 256 939 321 817 920 728 283 716 343 125

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  36. no creo que debas decir ese resultado de la formula.. da demasiadas pistas creo yo

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  37. No entiendo por qué tanto lío con la expresión del número menor del apartado b), ¿no basta con la expresión:

    EDITADO ?

    Por otro lado, el apartado a) es una “simple” prueba por inducción 🙂

    El problema, ¡me resultó muy entretenido!

    Saludos (primera entrada en este blog tan útil)

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  38. Bienvenido al blog, S. Calzadillas. El lío es una forma de mostrar, sin dar muchas pistas, que el problema es bastante asequible. Lo tuyo es más explícito, quizás demasiado explícito para el espíritu del desafío.

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  39. Muy bueno el problema.
    Yo he encontrado algunas cosas interesantes, como por ejemplo
    1°) Si n = 2^k entonces se tiene que a(n) = (-1)^k
    2°) a(2^q * 2^r) = a(2^q) * a(2^r)
    3°) a(\sum_{i=0}^n2^i)= \sum_{i=0}^n a(2^i)

    Y de aquí se sacan otras conclusiones que dan respuestas a los problemas planteados.
    Aunque sea de Argentina ¿puedo enviar la solución?

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  40. Además sin mostrar demasiado se puede agregar a la lista anterior,

    4°) a(2^{2k})= 1 o lo que es lo mismo a(4^k) = 1

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  41. Julio César Romeo, sí, puedes enviarla, pero no podrás optar al premio, ya que solamente se realizan envíos a España y Portugal. Lo siento.

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  42. Buenas, me anime hace tiempo a resolver el problema y lo conseguí, lo envié el 27 de Diciembre. Sin embargo, hoy me he dado cuenta de que me limite a enviar la solución sin ir acompañada de ningún dato personal mio… ¿Debería haber incluido algo como mi nombre o algún otro dato?

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  43. Jorge L, no, por ahora no necesito ningún dato personal tuyo. Si resultas ser el ganador del premio me pondré en contacto contigo para que me envíes tus datos postales :).

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  44. Llegué al resultado…aunque sólo lo vi hoy, fuera de plazo y no vivo por allá, me siento conforme con la hecho…ahora que es 29 de Enero 2013, ¿se pueden hacer comentarios sobre fórmulas y eso?

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  45. Sí, Walton, ya puedes hacer todos los comentarios que quieras sobre el problema. De todas formas en los próximos días publicaré la solución del problema.

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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