Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío nº8: “Las Macetas” – Solución y ganador

Pocos días después de terminar el plazo para el envío de respuestas os traigo la solución del Desafíos GaussianosyGuijarro – Desafío nº 8: Las macetas y, por tanto, del ganador de Las Matemáticas y la Física del Caos.

Se han recibido 41 respuestas, de las cuales 39 eran correctas. La participación tampoco ha aumentado respecto a desafíos anteriores, y espero que continúe así en los próximos. A continuación recordamos el enunciado del problema y dejamos la solución de Raúl Ibáñez, que fue quien nos lo propuso:

Una persona, que padecía un desorden obsesivo compulsivo, colocaba siempre las 12 macetas que tenía en su terraza con un cierto orden. Una tarde decidió colocar las macetas formando una estrella de seis puntas de tal forma que las macetas formaban seis filas con cuatro macetas cada una, como puede verse en la siguiente imagen:

Unos días más tarde, cansado ya de esa distribución, decidió modificarla de nuevo, pero manteniendo un orden claro y sin realizar muchos cambios. En concreto, se planteó mover solamente cuatro de las macetas para seguir teniendo una distribución en seis filas con cuatro macetas cada una. ¿Pudo hacerlo? Y en ese caso, ¿cómo lo consiguió?


La solución propuesta por Raúl es la siguiente:

Nos encontramos ante un desafío de los que a mí me gusta plantear, sencillos, con los que hay que jugar para obtener la solución o alguna de las soluciones (con unos más que con otros) y que incluso permite no sólo llegar a la solución sino ir un poquito más allá.

Para encontrar una solución al problema de las macetas primero hay que elegir qué cuatro macetas queremos retirar (¡ojo, que quizás no sirva quitar cuatro cualesquiera!). Después se trataría de trazar líneas de unión entre las macetas que quedan, con el objetivo de ver en qué intersecciones de estas líneas ponemos las macetas movidas para volver a obtener seis filas de cuatro macetas cada una.

Por ejemplo, si quitamos cuatro de las macetas que están colocadas de forma consecutiva en el hexágono interior de la estrella de seis puntas, como se muestra en la siguiente imagen,

entonces se trazan las líneas (que no sean las que ya teníamos) entre el resto de las macetas y nos surge la siguiente solución. Aunque si nos fijamos en ese mismo diagrama, existe muchas otras soluciones posibles para esa situación.

Si quitamos las macetas que están en una misma línea, por ejemplo las que están en el lado horizontal superior de la estrella de seis puntas, entonces realizando la misma operación de trazado de las líneas entre el resto de las macetas se obtiene la solución que se muestra en la siguiente imagen:

Para resolver el problema que se planteaba es suficiente con lo comentado, pero sigamos por un momento analizando un poquito más la situación. Al quitar cuatro macetas de la configuración de estrella de seis puntas podemos preguntarnos cuántas filas iniciales de la estrella de seis puntas se mantienen con las cuatro macetas. Resulta que se mantendrán 2 filas, 1 fila o ninguna fila, pero nunca más de 2 filas. Los ejemplos que hemos visto pertenecen al caso en el que se mantiene una única fila de las iniciales. En general, se podrían analizar las soluciones en cada uno de los casos… esencialmente tendríamos 5 soluciones para el caso de que se mantiene una de las filas iniciales, 7 soluciones para el caso de que se mantienen dos filas de las iniciales. A continuación, se muestran los 12 casos (si hacéis click en la imagen podréis verla un poco más grande):

(Nota: Por cierto quisiera expresar mi más sincero agradecimiento a mi ex-alumno y amigo Carlos Van Horenbeke, a quien debo los gráficos que se muestran en la solución y el análisis de las 12 soluciones interiores.)

Aunque hemos de tener en cuenta que en el análisis anterior estamos dejando fuera dos posibilidades importantes y que podría ser interesante y divertido analizar: que las macetas se coloquen en las líneas iniciales pero en otra posición (por ejemplo desplazándola a un lado o a otro) o que se coloquen fuera de la estrella de seis puntas.

Dos cuestiones para terminar. La primera es resaltar que hay una de las configuraciones que nos da 7 filas de cuatro macetas, como se muestra en la imagen:

Y la última es dejaros un par de cuestiones abiertas para vosotros: ¿existe alguna posible solución para el caso en que no queda ninguna fila de macetas de las iniciales? ¿existen soluciones en las que coloquemos algunas o todas las macetas fuera de la estrella?

Soluciones enviadas

Cada una de las personas que han participado en el desafío Gaussianos y Guijarro número 8 ha enviado su solución particular, salvo en un par de casos en los que nos han enviado más de una solución posible.

La solución más popular, y la única en la que se colocan todas las macetas en el interior de la estrella, ha sido la siguiente (que vemos según el esquema que nos ha enviado Natalia Lozano):

Esta misma respuesta la han enviado unas 20 personas, entre ellas Fernando Cardes, Gonzalo Orella, Carmen Muñoz, Paulo González, Joan T. Castillo, Javier Masip, Venus Méndez o “Cartesiano Caótico”.

Una variación de esta solución, pero con las macetas colocadas exteriormente, es la enviada por James Tesen Garay, Susana García y Francisco Pi:

Otra variación se la debemos a Mmonchi:

Luego tenemos la interesante solución de Gabriel Mateu que desplaza las macetas por las líneas existentes (luego no colocándolas ni en el exterior ni en el interior) y además, de esta forma, se dejan fijas cuatro de las líneas iniciales (aunque sea con las macetas colocadas en otro lugar), como se muestra en la imagen:

Una variación de la idea anterior, pero desplazando las macetas en las líneas existentes, pero hacia el exterior, es la que nos ofrece Rafael Ortega (de nuevo se mantienen cuatro de las líneas iniciales):

En las demás soluciones, algunas de las cuales comentaremos a continuación, se colocan macetas en el exterior de la extrella inicial. Miguel Ángel Fernández, Javier Monge y Maximiliano Díaz (a quien pertenece la siguiente imagen) nos ofrecen una bella solución que es de nuevo una estrella de seis puntas, pero inclinada:

Entre las soluciones con macetas externas, algunas son más simétricas, como esta de José Ángel Iranzo:

Mientras que otras son más irregulares, como las enviadas por Julián González:

Para finalizar, me gustaría destacar las soluciones móviles de Rogelio Tomás, que nos manda en formato gif para que disfrutemos de ellas:


El ganador de este desafío ha sido Joan Toni Castillo Grimalt, que pronto recibirá Las Matemáticas y la Física del Caos. Enhorabuena.

Muchas gracias a todos por participar.

En pocos días espero poder proponer el octavo noveno desafío. Estad atentos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. Que interesante que haya tantas soluciones y que varias tengan muchas simetrias. La verdad es que esta entrada tiene su merito con tantas ilustracionesy explicaciones!

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  2. Hola, muy interesante la gran variedad de soluciones y sus simetrías, yo envié la mía el día 29 de octubre, sin embargo, no la he visto ni mencionada me gustaría saber si es considerada incorrecta o si simplemente no os llegó.
    Un saludo.

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  3. ¡Qué bonito problema! Y, ¡qué bonitas e interesantes soluciones!

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  4. Alejandro, sí, tu solución llegó y se consideró como correcta. Sobre lo de citarte, ten en cuenta que Raúl Ibáñez no ha citado a todos los que enviasteis una solución buena :).

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  5. Jejeje vale, en realidad, sólo quería saber si mi solución también era correcta, comprendo perfectamente que no se puedan citar todas las soluciones. Mis disculpas si pareció lo contrario.
    Un saludo y gracias por la aclaración y por el magnífico blog.

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  6. En mi opinión, y dado que esta vez no he participado me voy a considerar imparcial. creo que se debe publicar (si no es demasiado trabajo) la lista de las respuestas que se han considerado correctas.

    ¿Que opinas DIAMOND?

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  7. Alucinante la de soluciones que hay. Gran post Diamond, aunque me hayas cortado el apellido 😉

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  8. Muy gráfica la solución!! Ha estado muy currada.
    La verdad es que no me esperaba tanta variedad de soluciones, y aunque suponía que habría varias combinaciones simétricas fui incapaz de encontrar alguna asimétrica.

    En cuanto al comentario de Juanjo Escribano, yo creo que ya tienen bastante trabajo para ponerse a publicar todas las soluciones. Creo que sería mejor que el que esté interesado en dar a conocer su solución, para comentarla, o simplemente por satisfacción personal, puede hacerlo aquí en el post de la solución al desafío.

    Me gustaría destacar que hay soluciones con la curiosidad que tienen macetas que no pertenecen a ninguna fila.

    Y además con la solución que logra 7 filas me parece que reconvierte el problema en otro más difícil. Creo que muy pocos hubieramos acertado con un problema así.

    Saludos

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  9. Tiene razón Cartesiano Caótico, lo de publicar todas las respuestas correctas es demasiado trabajo, no es viable en la actualidad hacerlo. Me gustaría, pero por desgracia no se puede, al menos ahora. De todas formas es una sugerencia interesante, y quizás lo de que cada uno comente cuál fue la solución que envió en un comentario pueda ser buena idea.

    GOB, cierto, te corté el apellido. Lo arreglo ahora mismo.

    Y para todos: el mérito de la redacción de la solución es exclusivamente para Raúl Ibáñez. Se ha currado una explicación que ni yo me esperaba, magnífica y con multitud de ilustraciones de todo tipo. Muchas gracias Raúl :).

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  10. Muchas gracias,

    La verdad es que era un problema que daba para jugar y enviar muchas posibles soluciones, por lo que también se prestaba a comentar ampliamente los diferentes tipos de respuestas que han llegado. Me hubiese gustado incluir todos los nombres, pero en las respuestas que había muchas personas solo he mencionado algunas. Perdón.

    Me alegro de que mucha gente haya disfrutado del problema, y me consta que hay gente que se trabaja los problemas pero no envían la solución… luego la incidencia es aún mayor…

    Muchas gracias a todos y todas por participar, por vuestras palabras y hasta otro problema,

    Y muchas gracias a “Diamond” por invitarme a sugerir uno de los desafíos…
    Un fuerte abrazo, Raúl.

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  11. Gracias a ti Raúl, ha sido un honor para todos nosotros que hayas participado en esta iniciativa proponiendo un problema tan bonito y visual como éste. Seguro que muchos han disfrutado con él.

    Saludos 🙂

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