Desafíos Matemáticos en El País – Desafío Extraordinario de Navidad 2013: Un número curioso

¡¡Nuevo Desafío Matemático RSME-El País!! Tal y como pasó en 2012, la Real Sociedad Matemática Española y El País nos traen un nuevo Desafío Matemático Extraordinario de Navidad. En esta ocasión lo propone Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) que, por cierto, ha colaborado un par de veces en Gaussianos (hablándonos sobre el problema de los conjuntos generalizados de Sidon y sobre Endre Szemerédi).

Como podéis ver en el título de este post, el problema se titula Un número curioso, y podéis ver el vídeo con el planteamiento del mismo haciendo click en este enlace. Dejo aquí de todas formas el planteamiento del problema por escrito:

El equipo que preparamos los desafíos matemáticos hemos decidido abonarnos durante todo el año a un número de la Lotería. Para elegir ese número, que debe estar comprendido entre el 0 y el 99999, pusimos como condición que tuviese las cinco cifras distintas y que, además, cumpliese alguna otra propiedad interesante. Finalmente hemos conseguido un número que tiene la siguiente propiedad: si numeramos los meses del año del 1 al 12, en cualquier mes del año ocurre que al restar a nuestro número de lotería el número del mes anterior, el resultado es divisible por el número del mes en el que estemos. Y esto sucede para cada uno de los meses del año.

Es decir, si llamamos L a nuestro número, tenemos por ejemplo que en marzo L-2 es divisible entre 3 y en diciembre L-11 es divisible entre 12.

El reto que os planteamos es que nos digáis a qué número de Lotería estamos abonados y que nos expliquéis cómo lo habéis encontrado.

Entre los que resuelvan correctamente el desafío se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean”. Además, el ganador recibirá el libro Desafíos Matemáticos, recopilación de los 40 desafíos de esta iniciativa publicados en 2011 del que os hablé esta mañana. Si encontráis la solución y queréis participar sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el sábado 21 de diciembre.

Y respecto al tema de los comentarios, al igual que hice en aquellos desafíos y en los Gaussianosyguijarro, en principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos y a disfrutar con el desafío.

Ah, y que no se os olvide la siguiente observación que hacen en la propia web de El País:

OBSERVACIONES IMPORTANTES. Insistimos en que es importante que hagáis llegar junto con el número el razonamiento de cómo lo habéis hallado. No se considerarán válidas las respuestas que den sólo el número o que lo hayan encontrado probando todos uno a uno (a mano o con un ordenador).

Matemáticas, señoras y señores, hagan matemáticas. Mucha suerte a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

55 Comentarios

  1. N = {27719, 55439, 83159}

    Si F = 2*3*5*7*11 (=2310), entonces buscar N en (F-1)+k*F, con k=0,1,2, …

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  2. …Por lo que la solución es 83159, que no tiene cifras duplicadas.

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  3. Hola Ignacio.

    Es (L-9) /10 y no (L-11)/10, es decir:

    (83159-9)/10 = 8315

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  4. Bueno, ya que le he quitado emoción, voy a tratar de compensar y, como la cosa de va de números primos, la pregunta es:

    ¿Se podría afirmar que pi(kx) se puede estimar como k*pi(x) cuando x tiende a infinito? (Siendo pi(x) la cantidad de números primos menores o iguales que x).

    Dejo mi demostración en: http://ensn.net/primes/jaz6.pdf para que la pueda valorar quien quiera. Agradeceré cualquier comentario y/o corrección de errores.

    NOTA PARA EL ADMINISTRADOR DEL SITIO: Si mi publicación es improcedente bórrela, no ha sido mi intención incumplir ninguna norma.

    Muchas gracias, un saludo,
    jaz

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  5. Jaz, el error está en (7), f(kx)=kx/ln(kx) y eso no es igual a kf(x)=kx/ln(x).

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  6. Hola Mmonchi.

    ¿Quieres decir que al aplicar límites no se cumple la ecuación (7)?.

    Yo he aplicado lo siguiente:
    lim [ x/ln(x) ] / [ kx/ln(kx) ] = lim 1/k * ln(kx)/ln(x).

    Que al ser indeterminado inf/inf, aplicando L’Hôpital:
    = lim 1/k * ( k/kx ) / ( 1/x ) = 1/k

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  7. Perdona, jaz, no hay ningún error. Me sorprendió el resultado porque es antiintuitivo, son las cosas que pasan cuando te metes con el infinito. f(x)/f(kx)>1/k, pero su límite es 1/k. Por eso el número de primos en [0,kx] es menos de k veces el número de primos en [0,x], pero si x tiende a infinito, Pi(kx) tiende a kPi(x), aunque sea siempre menor.

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  8. jaz, se puede poner más fácil:

    P(kx)/p(x)=kxln(kx)/ (xln(x))=kx(ln(x)+ln(k))/(xln(x)=k(1+ln(k)/ln(x))

    Como ln(k)/ln(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito el cociente entre P(kx) y p(x) tiende a 1, c.q.d.

    Es idéntica a tu demostración con algo menos de texto.

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  9. Jope, menudo spoiler. Bueno es igual, estoy orgulloso de haberlo hecho bien a la primera! Vale que no era muy difícil, pero uno acaba desistiendo (y lleno de admiración) al ver problemas que aparentan facilidad pero que luego se complican hasta límites insospechados…

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  10. EDITADO POR EL ADMINISTRADOR. NO SE ACEPTAN SOLUCIONES HASTA LA FINALIZACIÓN DEL PLAZO.

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  11. pregunta: ¿hay solución única o no? porque he sacado el número….
    Edito: olvidad la pregunta…. no había actualizado desde que me puse con el problema de marras…

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  12. Si queremos un número de 6 dígitos, 471239.

    Si queremos un número de 7 dígitos, 1025639, 1358279, 1635479, 1746359, 1857239, 3021479, 4130279, 5460839, 6015239, 6320159, 6708239, 7124039, 7401239.

    Si queremos un número de 8 dígitos, no hay

    Si queremos un número de 9 dígitos, 15634079, 20318759, 20873159, 24365879, 24587639, 25807319, 26084519, 26583479, 27803159, 28634759, 28745639, 31406759, 31850279, 36285479, 40637519, 48260519, 51476039, 53610479, 56243879, 56382479, 56742839, 58267439, 60374159, 60457319, 60734519, 63284759, 63451079, 67304159, 67415039, 68274359, 70436519, 70852319, 71046359, 71850239, 73208519, 76285439, 81053279, 81275039, 81302759, 85017239, 85710239, 87512039.

    Nota: Espero con ansia la belleza matemática de la respuesta

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  13. EDITADO POR EL ADMINISTRADOR. NO SE ACEPTAN SOLUCIONES HASTA LA FINALIZACIÓN DEL PLAZO.

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  14. No entiendo que hayáis publicado la solución. Es verdad que se requiere una explicación, pero no me parece bien que destripéis el trabajo de otros cuando han dado un plazo de tiempo para que cada uno se lo curre por sus medios. Con decir que la suma de sus cifras da el doble de cierto número era suficiente.

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  15. Otra opcion es usar un año de 10 meses
    2519 – 1 = 2518
    2518 / 2 = 1259 (bien, sin decimales)

    2519 – 9 = 2510
    2510 / 10 = 251 (bien, sin decimales)

    Con un año de 9 o 10 meses y queremos números entre 0-9999 tenemos: 2519, 5039.
    Con un año de 8 meses y números entre 0-9999 tenemos: 839, 1679, 2519, 5039, 5879, 6719.
    Con un año de 7 meses y números entre 0-9999 tenemos: 419, 839, 1259, 1679, 2519, 4619, 5039, 5879, 6719, 7139. (10 números distintos)
    Con un año de 5 o 6 meses y queremos números entre 0-9999 tenemos: 59, 179, 239, 359, 419, 479, 539, 659, 719, 839, 1079, 1259, 1379, 1439, 1679, 1739, 1859, 2039, 2159, 2459, 2519, 2579, 2639, 2759, 2819, 2879, 3059, 3179, 3419, 3479, 3659, 3719, 4019, 4079, 4139, 4259, 4319, 4379, 4619, 4679, 4739, 4859, 5039, 5219, 5279, 5639, 5819, 5879, 6059, 6179, 6239, 6359, 6419, 6479, 6539, 6719, 6839, 7019, 7139, 7259, 7319, 7439, 7619, 7859, 8039, 8159, 8219, 8279, 8459, 8519, 8579, 8639, 8759. (73 números distintos)
    Con un año de 4 meses y números entre 0-9999 tenemos: 408 números distintos
    Con un año de 3 meses y números entre 0-9999 tenemos: 849 números distintos
    Con un año de 2 meses y números entre 0-9999 tenemos: 2605 números distintos (1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21, … , 9867, 9871, 9873, 9875)

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  16. Vergonzoso.
    Creo que el concurso no se merece lo que ha ocurrido aquí.

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  17. Buenas noches JJGJJG y Mmonchi

    En primer JJGJJG perfecto con tu demostración de una línea, elegante a más no poder. Aunque tengo mis dudas de si matemáticamente se puede usar x/ln(x) para aproximar a pi(x) por lo que indico más abajo.

    Aunque es largo de contar y me costó horas (¿) entenderlo (?), hay un aspecto que a mi me resultó curioso del teorema de los números primos y es que (en ambos casos cuando x -> infinito):
    lim pi(x) / (x/ln(x) ) = 1

    Pero
    lim pi(x) – x/ln(x) = +infinito

    Y en conclusión, el error absoluto entre ambas funciones (diferencia) tiende a infinito (son divergentes) pero el error relativo (diferencia / x/ln(x)) tiende a 0.

    Mi interpretación (puedo estar equivocado) de este hecho es que la función x/ln(x) permite estimar pi(x) en cuanto a orden de magnitud (por ser el error relativo tendiendo a 0) pero no permite aproximar a pi(x) (por ser funciones divergentes).

    Un saludo,
    jaz

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  18. Buenas a todos.

    He decidido editar los comentarios que contenían, bajo mi punto de vista, demasiadas “pistas”. Creo que en el post queda bastante claro que no se puede publicar soluciones del problema, no se pueden publicar soluciones. Y, evidentemente, no se puede dejar el problema casi hecho en un comentario, porque como bien dice julio creo que el concurso no se merece algo así.

    Si la cosa continúa así me pensaré qué hacer con los comentarios si se vuelven a publicar problemas de este tipo.

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  19. perdón! fue un lapsus que te aseguro que no volverá a ocurrir. Cuando pase la fecha del concurso ¿puedes rehabilitar los coments que has editado? ¿o es imposible? es que había una aclaración importante sobre mi método.

    Una vez más pedir disculpas. Nos puede el ansia de decir “¡¡me ha salido!!”. Espero no haber causado demasiadas molestias al admin y a los lectores, por supuesto.

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  20. erosfer, tranquilo, no hay problema, con que intentemos no volver a hacerlo en próximas ocasiones es suficiente.

    Sobre los comentarios editados, los tengo guardados, pero quizás sería mejor que los escribáis de nuevo cuando pase el plazo para enviar soluciones.

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  21. Pido disculpas por mi comentario que dejaba resuelto el problema. No se repetirá.

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  22. Mmonchi, aceptadas, no hay problema. Si quieres cuando acabe el plazo escribe de nuevo el comentario y seguimos hablando del problema.

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  23. ya he pulido el método que había propuesto yo. Insisto en que es muy feote (ocupa de hecho un par de hojas) pero me había enganchado.

    Sólo diré que empleo conocimientos de mates sencillos, muy sencillos. De hecho me baso en algo que los chavales de la ESO dominan (o deberían). Los criterios de divisibilidad.

    Por ahí tirando se puede establecer fácilmente la última cifra del número.

    La cifra de la decena se puede acotar entre tres posibles.

    Las otra…. ya hay que currárselo un poco más, insisto, usando criterios de divisibilidad. Ahi queda la pista, y esta vez sin incurrir en abrir demasiado la boca XD

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  24. Este problema me lleva a una pregunta (combinatoria?, Relaciones de recurrencia?, Principio de inclusión y exclusión?)
    Cuantos números con dígitos distintos Y existen entre 0-n ?

    \begin{array}{|l|l|}
    \hline
    n & Y \\
    \hline
    10 & 11 \\
    100 & 91 \\
    1000 & 739 \\
    10000 & 5275 \\
    100000 & 32491 \\
    1000000 & 168571 \\
    10000000 & 712891 \\
    100000000 & 2345851 \\
    1000000000 & 5611771 \\
    \hline
    \end{array}

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  25. Es fácil deducir que hay 9*(9¡/(9-k+1)¡) números de k dígitos distintos.
    Esto nos daría la sucesión:

    Contamos el 0 1
    De 1 dígito 9
    De dos dígitos 81
    De tres dígitos 648
    De cuatro dígitos 4536
    De cinco dígitos 27216
    De 6 dígitos 136080
    De 7 dígitos 544320
    De ocho dígitos 1632960
    De nueve dígitos 3265920

    Acumulemos estas cifras:
    10
    91
    739
    5275

    5611771

    Que prácticamente coincide con la de Cristhian Camacho.
    La explicación del primer valor (11) está en que ha establecido los límites en las potencias exactas de 10. Precisamente el 10 es la única de sus potencias que tiene dígitos distintos y él lo incluye con los números de un solo dígito.

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  26. Completamente de acuerdo JJGJJG, muchas Gracias por la ayuda

    Una fórmula general podria ser:

    Cuantos números con dígitos distintos Y existen entre 0-10^{m}? ( 2\leqslant m \leqslant 10)
    R.- \displaystyle{ Y = 10 + 9 \cdot  \sum_{i=1}^{m-1} \frac{9!}{(9-i)!}  }

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  27. Mañana tengo que presentar un programa java resolviendo el ejercicio e imprimiendo por pantalla el numero de la loteria. Alguna ayuda ? Me estoy volviendo loco con el algoritmo xD

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  28. Os habeis fijado que

    m.c.m (1,2,…,12) es 27720

    y multiplicado por los primos -1 da la lista de soluciones?

    1 27720 -> 27719
    2 55440 -> 55439
    3 83160 -> 83159
    5 138600 -> 138599
    7 194040 -> 194039
    11 304920 -> 304919
    13 360360 -> 360359
    17 471240 -> 471239
    19 526680 -> 526679
    23 637560 -> 637559

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  29. De nada 🙂

    Mil disculpas, corrigiendo mi comentario del ’17 de diciembre de 2013 | 21:41′

    Si queremos un número de 8 dígitos, SI hay (son los que puse para 9 digitos, error mio)
    15634079, 20318759, 20873159, 24365879, 24587639, 25807319, 26084519, 26583479, 27803159, 28634759, 28745639, 31406759, 31850279, 36285479, 40637519, 48260519, 51476039, 53610479, 56243879, 56382479, 56742839, 58267439, 60374159, 60457319, 60734519, 63284759, 63451079, 67304159, 67415039, 68274359, 70436519, 70852319, 71046359, 71850239, 73208519, 76285439, 81053279, 81275039, 81302759, 85017239, 85710239, 87512039.

    Si queremos un número de 9 dígitos: Aun se esta ejecutando el programa en Java que hice, para estos casos creo que Ruby o Python son mas rapidos 🙁

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  30. Puntualizando multiplicando el m.c.m(1,2….,12)= 27720 por cualquier numero y restandole 1 da la lista soluciones(excluyendo los nº con cifras repetidas)

    1 27720 -> 27719
    2 55440 -> 55439
    3 83160 -> 83159
    4 110880 -> 110879
    5 138600 -> 138599
    6 166320 -> 166319
    7 194040 -> 194039
    8 221760 -> 221759
    9 249480 -> 249479
    10 277200 -> 277199
    11 304920 -> 304919
    12 332640 -> 332639
    13 360360 -> 360359
    14 388080 -> 388079
    15 415800 -> 415799
    16 443520 -> 443519
    17 471240 -> 471239
    18 498960 -> 498959
    19 526680 -> 526679
    20 554400 -> 554399
    21 582120 -> 582119
    22 609840 -> 609839
    23 637560 -> 637559
    24 665280 -> 665279
    25 693000 -> 692999
    26 720720 -> 720719
    27 748440 -> 748439
    28 776160 -> 776159
    29 803880 -> 803879
    30 831600 -> 831599
    31 859320 -> 859319
    32 887040 -> 887039
    33 914760 -> 914759
    ….
    por ejemolo el último número dado por Cristhian Camacho es 3157*27720 -1

    3157 87512040 -> 87512039

    O sea que la cosa va del m.c.m menos uno
    ?????

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  31. Christian, hay 82 soluciones de 9 dígitos, entre 205876439 y 874205639.

    Sospecho que tu programa puede ir 27720 veces más rápido ;-).

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  32. Lo he comprobado para “años” de distintos meses y sigue funcionando…también si la seríe empieza en otro número y no del de 1 al 12

    Sería algo así

    Dada una serie de numeros naturales consecutivos n1,..nn siendo Z= m.c.m (n2..nn), Z-n1, Z-n2,… son divisibles respectivamente por n2, n3 …, nn

    supongo que habrá algun teorema que lo demuestra y del cual no tengo ni la más remota idea

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  33. Mmonchi: jajaja muy buena, cierto usando el mcm es mucho mas rapido 🙂
    rigel: concuerdo, es mas aca esta un programa en el cual se evaluan los numeros usando ambos criterios (http://www.filedropper.com/test1_4)
    Opcion 1 –> Verificando numero por numero si cumple con las reglas del enunciado
    Opcion 2 –> Usando el mcm

    la salida es esta:

    ———————————–
    NUMERO_DE_DIGITOS = 7 ( numeros menores a 10000000)
    MESES_INICIO = 3
    MESES_FIN = 12

    tamanio Opcion 1, fuerza bruta 15
    , 83159, 471239, 1025639, 1358279, 1635479, 1746359, 1857239, 3021479, 4130279, 5460839, 6015239, 6320159, 6708239, 7124039, 7401239
    tamanio Opcion 2, usando el mcm 15
    , 83159, 471239, 1025639, 1358279, 1635479, 1746359, 1857239, 3021479, 4130279, 5460839, 6015239, 6320159, 6708239, 7124039, 7401239

    SI son iguales !!!!!
    ———————————–

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  34. @Cristhian Camacho:¿Estás seguro que para un número de 6 cifras, la única solución es 471239?… Creo que hay otra solución. ¿No consideras solución a los números que empiezan por cero?

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  35. Hola!
    Simplemente quiero mostrar un posible análisis / simplificación del problema desde mi ignorancia.
    Si me dicen que el numero -2 será divisible entre 3 no es lo mismo que decir que el número + 1 será divisible entre 3?
    Si me dicen que el numero -7 será divisible entre 8 no es lo mismo que el numero + 1 será divisible entre 8?
    si aplico este razonamiento al enunciado, nos quieren decir que el número + 1 será divisible entre 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y 12?
    Por lo que la solución ya es casi evidente: el MCM de 1 a 12 restándole 1 (y como eso no cumple el criterio de números sin repetir pues probando se ve que el ( MCM(1..12) * 3 ) – 1 lo cumple.
    Ya sé que lo habéis resuelto de un montón de formas, simplemente quería compartir mi razonamiento.

    Saludos a todos!

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  36. mcm(1….12)=27720; 27720/2=13860; 13860-1= 13859/1=13859; 13868/2= 6929=k; 6929*12=83148; 83149/11=7559; 83150/10=8315; 83151/9= 9239; 83152/8=10394;83153/7=11879; 83154/6=13859; 83155/5=16631; 83156/4=29789; 83157/3=27719; 83158/2=41579, 83158/1= 83159; nº buscado 83159

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  37. mcm(1….12)=27720; 27720/2=13860; 13860-1= 13859/1=13859; 13868/2= 6929=k; 6929*12=83148; 83149/11=7559; 83150/10=8315; 83151/9= 9239; 83152/8=10394;83153/7=11879; 83154/6=13859; 83155/5=16631; 83156/4=29789; 83157/3=27719; 83158/2=41579, 83158/1= 83159; nº buscado 83159; mcm(1….12)*[(3!/2!)-1)=nº buscado

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  38. El conjunto N definido por F-1+k*F tiene 36 elementos de 5 cifras, las tres listadas son las únicas que cumplen los criterios de divisibilidad. Por lo tanto hay que hacer una operación adicional a la simple generación de números con dicha fórmula (someterlos a un filtrado aplicando los criterios de divisibilidad).
    Interpreto que el reto es buscar dicho número de una forma directa, sin filtrados.
    Saludos

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  39. Llegué tarde, pero me he divertido solucionandolo.

    La solucion es: mcm(1,..,12) = 27720 L = 27720 * n – 1 como simuladamente indica Mmonchi para años de 12 meses obviamente

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  40. No soy matemático (disculpad mi manera de exponer el trabajo) , pero me gusta jugar con los números.
    Métodos de resolución 1.- mcm (1,…12)= x Kx siendo K=1,2,3…Hallando el numero de 5 cifras distintas= 83159
    2.-Aplicando criterios de divisibilidad también se puede resolver pero es más laborioso.

    2.1.-Elegimos como última cifra el 9 . El número será =abcd9
    -cumplimos L-0/1
    -cumplimos L-1/2
    -cumplimos L-4/5
    -cumplimos L-9/10
    2.2.- Divisibilidad por 11 Cifras impares-cifras pares=0,11,22. (recordando quitar una unidad a la cifra d.)
    2.3.-Añadimos al último criterio la divisibilidad po 9 -cifras impares +cifras pares+1(de la anterior)-8 de la actual.
    *Resumen suma de cifras pares e impares-7 debe ser múltiplo de 9.
    Así incluimos la divisibilidad por 3 y por 6.
    Cif impar /- / Cif pares / Resultado / Suma imp y par/ Es div por 9?
    12 – 12 0 17 no
    13 – 13 0 19 no
    14 – 14 0 22 no

    24 – 2 22 19 no

    13 – 2 11 8 no
    14 – 3 11 10 no
    15 – 4 11 12 no
    16 – 5 11 14 no
    17 – 6 11 16 no
    18 – 7 11 18 Sí
    19 – 8 11 20 no
    20 – 9 11 22 no
    21 – 10 11 24 no
    22 – 11 11 26 no
    23 – 12 11 28 no

    Cif. impares=18/ Cifras par. 8-1=7 /Números posibles
    8-1-9 2-6 86129 82169 16829 12869
    8-1-9 3-5 85139 83159 15839 13859
    7-2-9 3-5 75239 73259 25739 23759
    6-3-9 7-1 61379 67319 31679 37619
    5-4-9 7-1 57419 51479 47519 41579
    5-4-9 6-2 56429 52469 46529 42569

    2.4.-Estudiamos su divisibilidad por 8 (L-7) .Así incluimos la divisibilidad por 4 y por 12.

    86129-7/8=No 82169-7/8=No 16829-7/8=No 12869-7/8=No
    85139-7/8=No 83159-7/8= Sí 15839-7/8= Sí 13859-7/8=No
    75239-7/8= Sí 73259-7/8=No 25739-7/8=No 23759-7/8= Sï
    61379-7/8=No 67319-7/8= Sí 31679-7/8= Si 37619-7/8=No
    57419-7/8=No 51479-7/8= Sí 47519-7/8= Sí 41579-7/8=No
    56429-7/8=No 52469-7/8=No 46529-7/8=No 42569-7/8=No

    2.5. Por último estudiamos la divisibilidad por 7 (L-6)

    75239-6/7= No
    67319-6/7= No
    31679-6/7= No
    51479-6/7= No
    15839-6/7= No
    47519-6/7= No
    23759-6/7= No
    83159-6/7= Sí Solución 83159

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  41. Nice results, guys. ¿ But could you show -not experimentaly, though- there are not, for any number n of months, any L numbers with distinct digits ? ¿ Or could you show- in a simple way; in a simple demonstration- the contrary ?

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  42. Como el plazo para enviar respuestas ya acabó, pongo esta solución que no necesita calculadora:

    Si (L-n) es divisible entre (n+1), al sumarle (n+1) tenemos que (L-n)+(n+1)=(L+1) es divisible entre (n+1), pues los dos sumandos lo son.
    (L+1) es divisible entre 9, 10 y 11, luego lo es entre 990. (L+1)=(AB+1)*990=ABCD0, con AB+CD=99 (combinando las reglas de divisibilidad de 9 y 11).
    990 es divisible entre 2, 3, 5, 6, 9, 10 y 11. Necesitamos un número (AB+1) que sea divisible entre 4 y 7 para que el producto (AB+1)*990 sea divisible entre todos los números de 2 a 12. Eso significa que (AB+1)=28k.
    Dando valores a k tenemos que (AB+1) puede valer 28, 56 u 84; haciendo CD=99-AB, ABCD0 puede ser 27720, 55440, 83160; y L=ABCD0-1 será 27719, 55439 o 83159. El único que no tiene números repetidos es 83159.

    Se ha podido comprobar que este razonamiento era incorrecto, pues el 55439, con el 5 repetido, ha pagado 5 veces lo apostado, mientras que el 83159, con ningún número repetido, no ha tenido ningún premio. Como no hay premios que paguen 7 veces lo apostado, el 27719 no tenía ninguna posibilidad… 🙂

    (Por un despiste puse este comentario donde no era… ¡Feliz Navidad!)

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  43. Era sencillito.

    Esta fue mi solución:

    * El caso de enero se cumple para cualquier L ya que L-12 (el mes anterior a enero es diciembre) siempre será divisible por 1.

    * Advertimos que L+1 debe ser múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12

    Si el número de mes lo llamamos m (con m entero de 2 a 12)
    Restar el mes anterior en estos casos es restar m-1 a L
    que es lo mismo que restar m a L+1

    L – (m-1) = (L+1) – m

    y si ese número [(L+1) – m] es múltiplo de m también lo será L+1

    * Como únicos posibles candidatos a L+1
    buscamos el Mínimo Común Múltiplo (MCM)
    y los múltiplos de éste MCM.

    MCM (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) =
    = MCM (2, 3, 2^2, 5, 2*3, 7, 2^3, 3^2, 2*5, 11, 2^2 * 3)
    = 2^3 * 3^2 * 5 * 7 * 11
    = 40 * 9 * 7 * 11 = 440 * 63 = 27720

    (se puede hacer sin calculadora: 40*60 = 2400, 40*63=2520, 25200 + 2520 = 27720)

    * Así que L+1 debe ser un múltiplo de 27720.
    y L debe ser menor o igual que 100000

    y sólo hay 3 casos:

    27720, 55440 y 83160

    Y los candidatos a L serían:

    27719, 55439 y 83159

    y de ellos sólo el último cumple no tener ninguna cifra repetida.
    Así que la única solución es:

    83159

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  44. La que envié era esta:

    No voy a buscar el número L sino el siguiente, L+1. Como (L-n) es divisible entre (n+1) para n de 1 a 11, tomando (n+1) y (L-n) tengo que su suma (L+1) es divisible entre (n+1), pues los dos sumandos lo son. Por tanto L+1 es divisible entre los números de 2 a 12.

    El mínimo común múltiplo de los números de 2 a 12 es 2*3*2*5*7*2*3*11=27720. L+1 debe ser divisible entre 27720, propiedad que hasta 99999 solo tienen 27720, 55440 (27720*2) y 83160 (27720*3). Los valores posibles para L son 27719, 55439 y 83159. De ellos el único con las cifras distintas es 83159.

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  45. Mil disculpas Jonas Castillo Toloza, por contestar recién, estaba
    entre tratar de aumentarle algo al problema (que no pude, realmente maravillosas las respuestas matemáticas que dieron, ‘Soluciones Diofanticas’!!!!, me encanto), y entre grabar mi video para el campeonato mundial de Freestyle nunchaku de http://www.freestyleforum.net/, http://www.freestyleforum.net/index.php?topic=18907.0

    Por cierto el representante Español es muuuuucho mas capo que yo
    http://www.freestyleforum.net/index.php?topic=18916.0

    Anyway, guardo la esperanza de algún día alcanzarlo en habilidad técnica y conocimiento, como guardo la esperanza de algún día alcanzarlos a ustedes mis queridos amigos matemáticos 🙂 . Feliz Año Nuevo!!!! y que tengan todos ustedes un Fantastico 2014

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  46. Alguien sabe si los resultados de este concurso se publicaron en algún lado? quienes fueron los ganadores?

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  47. SPANISH
    escribir el número de 2 dígitos que coincida con las pistas. mi número tiene un dígito de las decenas que es 8 más que los digit.zero no es uno de mis dígitos

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