Desafíos Matemáticos en El País – Desafío Extraordinario de Navidad 2012: Números bonitos, números feos

¡¡Vuelven los desafíos matemáticos de El País y la RSME. Sí, los de esa iniciativa creada con motivo del Centenario de la RSME y que en Gaussianos publicábamos todos los viernes. Sí, esos en los que yo tuve el honor de proponer el que hacía el número 39, el penúltimo (enunciado y solución)…pero solamente porque estamos en fechas prenavideñas. Por este motivo nos proponen un “desafío navideño” cuyo título es Números bonitos, números feos y que presenta Adolfo Quirós, responsable de los desafíos por parte de la RSME que ya presento el primero y el último en el años 2011 y que, por cierto, también contribuyó a la iniciativa “Desafíos GaussianosyGuijarro” con este desafío (aquí la solución y el ganador).

Bueno, como decía antes el desafío se titula Números bonitos, números feos, y se puede acceder al mismo haciendo click en este enlace. Allí lo tenéis tanto en vídeo como redactado. Aquí, como no he encontrado manera de incrustar el vídeo os dejo la redacción del mismo:

Desde el año 2011 en la Lotería Navidad se sortean los premios entre los cien mil números que van del 00000 al 99999 (en los décimos los números siempre se escriben con cinco cifras). Aunque todos los números tienen exactamente las mismas posibilidades de resultar premiados, con frecuencia se habla de números bonitos y números feos. Como es una valoración estética, que un número sea bonito o feo depende de los gustos de cada uno.

En este caso un número de lotería nos parecerá bonito si cumple exactamente una, y solamente una, de estas tres condiciones:

a) es divisible entre 5,

b) da resto 2 al dividirlo entre 7,

c) la suma de sus cifras es divisible entre 9.

Por ejemplo el 00037 es bonito porque cumple la condición b pero no las otras dos; sin embargo, el 00324 es feo, ya que cumple las condiciones b y c. De igual forma, podríamos decir que el 00041 y el 00450 son horribles. El primero, porque no cumple ninguna de las tres condiciones; y el segundo, porque es un exagerado y cumple las tres.

El desafío que se propone es decidir cuántos de los números que participan en el sorteo de Lotería de Navidad (recordad, del 00000 al 99999) son bonitos según el criterio expresado anteriormente.

Entre los que resuelvan correctamente el desafío se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean”. Además, el ganador recibirá el libro Desafíos Matemáticos, recopilación de los 40 desafíos de esta iniciativa publicados en 2011 del que os hablé esta mañana. Si encontráis la solución y queréis participar sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el viernes 21 de diciembre.

Y respecto al tema de los comentarios, al igual que hice en aquellos desafíos y hago en los Gaussianosyguijarro, en principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos y a disfrutar con el desafío.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

84 Comentarios

  1. a mi me gusta mas esta pista:
    bonitos: 104 – feos: 18 – horribles: 193

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  2. Creo que los datos de Juanma son pistas porque se parecen (sin ser exactos, en mi modesta opinión) a las soluciones. De todos modos, el problema solo pide los bonitos. También insiste en que se busque una solución no informática. Dice el original de EL PAÍS:
    OBSERVACIONES IMPORTANTES. Puesto que es muy sencillo resolver el desafío con un ordenador (y por supuesto podáis usarlo para inspiraros), la solución que enviéis debe incluir un razonamiento y además hay que utilizar sólo herramientas que estuviesen a disposición de los ciudadanos que asistieron al primer sorteo de lotería celebrado en Cádiz el 4 de marzo de 1812, hace ahora 200 años. Haremos, eso sí, una excepción: no debéis enviarnos las soluciones escritas con pluma de ganso sino por correo electrónico.

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  3. La solución consiste en dar el método de obtener los resultados. Los resultados son por tanto pistas.

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  4. juanma, entonces no diste ninguna pista, pues tus resultados no son tales…

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  5. Una consulta ¿En el desafío sólo pueden participar españoles o residentes en España?

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  6. Los resultados de Juanma se ven coherentes ya que suman el total de números de la lotería (100000). Mi solución casi coincide con la de el, sólo una pequeña diferencia en dos grupos.

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  7. Cartesiano, segun Juanma hay muchos mas horribles que feos, que panorama tan malo:

    feo, a.
    (Del lat. foedus).
    1. adj. Desprovisto de belleza y hermosura.
    2. adj. Que causa desagrado o aversión. Acción fea.
    3. adj. De aspecto malo o desfavorable. El asunto se pone feo.
    4. adj. En el juego, se dice de las cartas falsas.
    5. m. coloq. Desaire manifiesto y grosero. Le hizo muchos feos.
    6. m. coloq. Col. Miembro de la Policía secreta.

    horrible.
    (Del lat. horribĭlis).
    1. adj. Que causa horror.
    2. adj. coloq. Muy feo.
    3. adj. coloq. Muy intenso o acentuado. Nos dio un susto horrible.
    4. adj. coloq. Muy malo, pésimo. Nos dieron un café horrible.

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  8. Como dato, el total de números bonitos es feo, y el de números feos, es bonito.

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  9. Juanma, por poner un ejemplo, tu primer fallo es el 1007.
    Según tu lista es bonito, pero en realidad es horrible.
    Tienes muchísimos números mal categorizados, pero se compensan casi exactamente. Es muy curioso. Y que hasta el 1007 todos estén bien, más curioso aún.
    Espero no haberme equivocado yo también…

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  10. Yo creo que Juanma tiene fallos de redondeo de decimales en su algoritmo, pues efectivamente el 1007 no es bonito sino feo, y el siguiente el 1008 le pasa al revés en su lista. Así que supongo que cada vez que hay un error se compensa con el siguiente que es un error inverso y la suma total parece coincidir. Digo yo, vamos.

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  11. No sé. Podría ser, aunque usar decimales para esto sería un poco raro, cuando con enteros es igual de fácil. Sus errores aparecen como a ráfagas irregulares, con grandes regiones correctas de vez en cuando. Curioso. Espero que Juanma nos diga qué le pasaba.

    Cartesiano,¿Por qué dices que 1007 es feo? No cumple ningún criterio, luego debe ser horrible ¿no?

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  12. Fallo tonto con curiosas consecuencias
    if((decmil+mil+cent+mil+dec+uni)%9==0) modulo9=true;
    en lugar de
    if((decmil+mil+cent+dec+uni)%9==0) modulo9=true;

    Creo que ahora debe de estar bien
    bonitos: 33016
    feos: 5714
    horribles: 61270

    lista completa : http://ubuntuone.com/6IkPYMHRNfOA9tW8e1foIS
    Agradezco el control de calidad.

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  13. De nada, hombre.
    Otra curiosidad, ¿por qué compruebas si la suma de los dígitos es múltiplo de 9? ¿No es más fácil comprobar la divisibilidad del número por 9?

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  14. ssshhh!!! superpanzeta no resuelvas lo más difícil!! 🙂

    Por otra parte el tema de horrible o feo. Sigo sin ver la diferencia entre uno y otro.
    Según el propio enunciado el 41 es horrible porque no cumple ninguna condición y el 450 es horrible porque cumple las tres.
    Por otra parte, el propio enunciado dice que todos los número se dividen en dos grupos: bonitos y feos.
    Así que no me queda más remedio que pensar que lo que se está llamando feo y horrible es exactamente lo mismo.
    Si alguién es capaz de explicar la diferencia (si es que existe) e indicar de dónde saca esa conclusión estaría muy agradecido. Aunque como ya dije, no tiene importancia para resolver el desafío.
    Saludos

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  15. Cartesiano Caótico, la diferencia entre “feo” y “horrible” es que un número es “feo” si satisface exactamente dos de esas condiciones y un número es “horrible” si no satisface ninguna de ellas o si cumple las tres.

    De todas formas esta distinción no tiene ninguna influencia en el problema, ¿no?

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  16. Juanma, ya había detectado errores en tu primitiva lista. Perdona, pero no me gusta que hayas dado la lista obtenida por ordenador porque creo que ayudas demasiado a los candidatos ya que tienen, si tu lista es acertada, una forma de averiguar si su solución, obtenida con métodos compatibles con el enunciado, es correcta o no. Si lo fuera, representa una ayuda demasiado fuerte, y el problema es lo bastante fácil para no necesitar tanta.

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  17. Yo resolví ayer el problema y lo envié pero, acabo de fijarme en un dato que desprecié: debemos usar herramientas de hace 200 años.

    Yo para resolverlo he usado notación de la teoría de conjuntos, teoría que hace 200 años no existía, ¿podrían rechazar mi resolución por eso?

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  18. JJGJJG, quizá de esta manera se anima más gente a participar, piensa que el problema no es trivial para cualquier persona. A fin de cuentas la lista no aporta ningún dato nuevo que no se deduzca directamente del enunciado.

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  19. Aun nadie me responde, soy peruano y me gustaría participar.
    También, al igual que Samuel, use teoría de conjuntos pero no ordenador.
    Pese a la ‘corrección’ de Juanma, me parece que ahora acertó en un grupo pero se equivocó en otro(s)

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  20. Amigo Juanma, la lista que pones, sigue estando mal. Me fijé, por ejemplo, en los dos últimos números, 99.996 y 99.998. Ninguno de ellos es bonito y los pones como tales, sin embargo, no pones 99.997, (da resto 2 al dividir por 7), y 99.999, (divisible entre 9), que sí son bonitos, jjjj. Saludos y gracias, de todas maneras, por las ayudas.

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  21. Claro, según lo que dicen Samuel y Leo, si no podemos usar Diagramas de Venn, la cosa se complica. No sé, la teoría de la Probabilidad se desarrolló en el XIX, tengo entendido, y ahí, para la probabilidad de la unión de sucesos e intersección de sucesos, creo que ya usaban esos diagramas o algo parecidos, ¿o no? Ya no sé, jaja. Ya me resulta difícil si antes de 1.812 o algo despues, en todo caso. Porfa, un profe de Historia de la Matemática, si hay por aquí, que nos diga si podemos ayudarnos de los diagramas o no. Yo creo que sí, que en 1.812, habría gente listorra capaz de dibujar los diagramas para aclararse, porque ayudan a visualizar el problema. Aunque no existiera la Teoría de Conjuntos como tal, no creo que puedan descartarse los diagramas. Luz, por favor, jj. Saludos.

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  22. Yo pienso igual que JJGJJG, JUANMA no debiera haber dado los resultados, y mucho menos la lista. ¿La razón? porque su obtención es precisamente la parte sencilla, bien mediante programación o con una simple hoja de cálculo, pero el hecho de que la gente se anime a obtener la lista, cosa que sí la das ya no es posible, es lo que le hará que desentrañen el problema, lo dividan en partes más simples, piensen en como obtener dichos resultados en términos más generales, en definitiva, que proporcionando la lista no ayudas sino más bien lo contrario.

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  23. hola amigos yo mediante un razonamiento basado en diagramas de venn he obtenido el siguiente resultado 32064. si alguien lo puede corroborar. gracias. No digo cual es el razonamiento solo he dado una pista. diagramas de venn.

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  24. Esau: usando Diagramas de Venn obtuve un resultado mayor al tuyo (igual a quien lo hizo con ordenador). Quiza te faltó considerar el número de elementos de un subconjunto de algun(os) de lo(s) conjuntos iniciales.

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  25. esau mi numeo tambien empieza pr 3 y acaba en 64 pero las dos cifras del medio no son las mismas que yo tengo, seguramrnte lo tenga mal yo, hice el problema y no lo repase…

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  26. Juanma, GJJGJJ, Pedro, da igual que esa lista se pueda ver, esta maaaal!!!!
    A mi el programa me ocupa literalmente 3 lineas en python. Yo creo que Juanma juega a despistar… 😉

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  27. Bueno gracias por contestar, la cosa que haciéndolo en el ordenador no me da el mismo resultado: 33016 pero no se a que es debido ya que el razonamiento utilizado es similar, ya lo he repasado.

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  28. No es necesario usar diagramas de Venn. Se puede resolver con sumas y rectas, buscando algún patrón de comportamiento, para no tener que hacerlo con los 100.000 números.
    Otra pista: el 00000 es un feo fuera de serie, y el 99.860 es un bonito fuera de serie.

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  29. Al final lo vamos a dejar resuelto en los comentarios XD
    Esau, tu problema gordo es no tener en cuenta que has restado los números que cumplen las 3 condiciones a la vez, cada vez que has restado alguno de los subconjuntos intersección.
    Pero aún así tendrás que revisar los bordes (me refiero a que entre 2 y 4 hay 2 múltiples de 2, no 1) en vez de 32064 te debería estar dando -ANTES de la corrección gorda- 32062

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  30. Francesc yo cada vez que resto un subconjunto quito la posibilidad que se den las tres condiciones, respecto a los bordes no entiendo a que te refieres, si por ejemplo quiero saber cuantos múltiplos de dos hay entre los 10 primero números de 1 al 10, lo unncio que tengo que hacer es dividir por 2. No se bién a que te refieres con los bordes.

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  31. Hay dos tipos de horribles:
    Horribles por defecto: 60.952 (no cumplen ninguna de las tres condiciones)
    Horribles por exceso: ¿? (cumplen las tres condiciones)

    El número de horribles por exceso es una buena pista.

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  32. 32062 son el número que me da a mi al hacer A+B+C – 2* (AyB + AyC+ ByC), y antes de sumar 3*(AyByC), por eso suponía que no lo habías hecho. Ten en cuenta que el número que cumple todas las condiciones aparece 3 veces en el cómputo inicial, y 3 veces (1 por cada grupo) en el conteo de las intersecciones.
    Respecto a los bordes… Del 5 al 11 hay 7 números pero sólo 1 múltiplo de 4. Mientras que del 3 al 9 también hay 7 números y dos múltiplos de 4.
    Hay 2.223 números (incluyendo el 0) que son múltiples de 5 y de 9 a la vez, mientras que 100000/45=2222.2…

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  33. Felix es verdad que se puede resolver sin conjuntos, pero a mi punto de vista es un ejer icio tipico de conjuntos y bastante sencillo y ameno gracias a la notacion de conjuntos.
    Ojo, que tambien hay q tener cuidado porque por ser tan ameno y facil al usaf conjuntos siempre podremos tener algun error en pequeños calculos.

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  34. Hola a todos, y gracias por participar en el desafío.

    Aclaro las preguntas:

    1) Se puede participar desde cualquier lugar del mundo (e incluso desde otros planetas solares o extrasolares).

    2) Distinguir entre feos y horribles era un recurso literario sin mayor transcendencia: sólo nos importa saber cuántos números bonitos hay.

    3) Los diagramas de Venn no son nada profundo, sino una mera ayuda visual. Y como se trata sólo de conjuntos finitos no hay por qué hablar de “teoría de conjuntos” en el sentido de Zermelo-Frenkel y demás.Así que tranquilos: dibjujar diagramas de Venn o usar como notación la unión o la intersección no anula las respuestas.

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  35. No creo que se deban dar pistas y mucho menos soluciones en el foro. Habría que respetar la decisión de los organizadores del concurso de haber cerrado los comentarios, precisamente para que esto no ocurra, y por favorecer a los que hayan sacado el problema sin ayuda

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  36. Entre los que estáis dando el resultado, estoy viendo muchos incorrectos, y creo que nadie se ha quedado corto, todos falláis (los que lo hacéis) por exceso.

    Yo no he usado diagramas de Venn tampoco… bueno, al menos no conscientemente.

    Puestos a dar pistas, he calculado fácilmente la cantidad de números bonitos que hay entre el 145 y el 99999. Y ya después me estrujado un poquito más las neuronas con los números bonitos entre el 1 y el 144… prestando una especial atención al peculiar 135.

    Supongo que habrá miles de formas de calcularlo. Con la mía era fácil cometer un error, sobre todo porque no usé calculadora, así que después verifiqué el resultado con un script.

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  37. Rectifico, sí que hay alguien que se quedó corto, vi mal el número.

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  38. A mí me ha parecido ver más de un número escrito que se ha quedado corto

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  39. Si Julio, es que por alguna razón me empeñé en ver 33xxx donde ponía 32xxx… y además varias veces.

    Será cosa de la edad, supongo xD

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  40. Pablo, tienes un poquito más que yo en el último resultado que dabas

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  41. Se preocupan de si hace doscientos años existían o no tal teoría. Pero resulta que, por lo visto, son operaciones tan simples que es muy probable que ya los propios antiguos hombres de las cabernas hubieran resuelto el problema. Solo hace falta dividir, sumar y restar. Muy bonito el desafío, accesible para todo el mundo. Gracias. (A ver si esta vez alguien que vive fuera de España, gana la colección).-

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  42. Hay algo sospechoso en este sorteo de Navidad.
    El País ha preparado un sistema de búsqueda para saber en qué administraciones se vende cada número:
    http://servicios.elpais.com/sorteos/loteria-navidad/administraciones/
    Pues resulta que según esa página, el 00000 no parece estar a la venta.
    He probado un montón de números y todos están, pero no el 0.
    ¿Es que no se sortea? Si es así, habría que modificar el Desafío.

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  43. Por cierto, ^DiAmOnD^, la hora del blog sigue siendo la de verano.

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  44. No habria q modificar el desafio ya que el 00000 no es bonito

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  45. Olvidadlo. He encontrado más números que faltan, como el 01010. Quizá sea que ya se han vendido todas las series de algunos números.

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  46. Para Superpanzeta:
    Entra en “http://www.loteriasyapuestas.es/loteria-nacional/” y pulsa en buscar décimos. Verás que poniendo el número y la fecha del sorteo te dicen en qué administraciones de toda España se venden.

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  47. Pues como el ‘gordo’ caiga en: 16.246, 21.329, 40.213 ó 70.826 (sobre todo éste)… Automáticamente dejará de ser horrible…

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  48. Superpanzate, cierto, no he modificado la hora. A ver si tengo un rato en navidad y le doy un repaso a unos cuantos temas técnicos del blog.

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  49. Superpanzeta, según me contaba mi abuela el 0 o en este caso el 00000 se le asignaba siempre a la Casa Real, no sé si será ese el motivo de que no aparezca a la venta.

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  50. Al menos una de las leyendas urbanas es rigurosamente falsa y tengo pruebas.
    Colecciono Lotería, entre otras cosas números capicúa tanto de la ONCE como de lotería nacional de los jueves y de los sábados. De la Once tengo el antiguo de tres ceros, los de cuatro ceros tanto de los monocolor primitivos como de los multicolores, y de los actuales de cinco ceros. De lotería nacional tengo los de cinco ceros de Lotería de los jueves y de los sábados. De algunos años tengo los cinco ceros de cada sorteo del año. Es más, alguna vez lo he visto en una administración y lo he comprado como curiosidad.
    Nadie puede tenerlo, pues, reservado.
    Como ejemplo insólito os diré que tengo un décimo con el número 100000. Sorprende, es el único que he visto con SEIS dígitos

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  51. JJGJJG, sorprende lo de los seis digitos muchísimo. ¿Cómo se lo montaron en el sorteo? 6 bombos no, claro, pero con 5 no puede salir… a menos que le asignaran al 100000 el 00000

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  52. Efectivamente se lo asignaron al 00000. No se si en ese sorteo se imprimirían los billetes correspondientes al 00000. Si lo hicieron sería con el fin de utilizarlos como elementos publicitarios o algo parecido.

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  53. Hola y encantado de conocer este blog … yo he resuelto el problema buscando la forma más fácil para mí … y me da que con simples divisiones, restos, un par de precauciones y una suma se obtiene el resultado.

    Me hizo mucha gracia cuando leí en el enunciado lo del 9, pq esa propiedad hace muchos años me hizo pasar más de una noche de adolescencia pseudo-conspiranoica convencido de que había algo relacionado con los números primos 🙂

    No se si puedo poner el resultado (ya pasó el plazo) pero haciéndolo con cálculos básicos y con el programa me da lo mismo, y el programa queda en una o dos líneas de octave

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  54. HOLA ME GUSTARÍA CONOCER LA SOLUCIÓN A TRAVÉS DEL MÉTODO DE PROBABILIDADES QUE SE ANUNCIA EN EL ARTÍCULO

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  55. El razonamiento que hago se basa en que se trata de tres sucesos, de probabilidades 1/5, 1/7 y 1/9, ya que la primera condición es evidente, (múltiplos de 5), la segunda se refiere a los múltiplos de 7 mas 2, (también se repiten de 7 en 7) y la tercera, se sabe, por Aritmética Elemental, que un número es divisible por 9, (es múltiplo de 9), si y sólo si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

    Para calcular que ocurra SÓLO uno de los tres casos, (pongamos A como el suceso ser múltiplo de 5, B el de ser un número que, al dividir por 7, dé resto 2 y C ser múltiplo de 9, llamo a sus probabilidades, p(A) = 1/5, p (B)= 1/7, p(C) = 1/9 y leyendo Λ como intersección de sucesos), sería:

    P (sólo A)= P(A) -P(A Λ B) -P (AΛC) + P(A Λ B Λ C)

    (Fórmula que se ve muy bien si se dibuja un diagrama de Venn con tres conjuntos A, B y C).

    Sumando P (sólo A), P (sólo B) y P (sólo C), resulta la formulita:

    P (sólo A) +P (sólo B) +P (sólo C)= P(A) + P (B) + P(C) -2 P (AΛB) -2 P (AΛC) -2 P (BΛC) + 3 P (AΛBΛC) ,

    Ya que (sólo A), (sólo B) y (sólo C) son tres conjuntos disjuntos entre sí y la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades.

    Así mismo, podemos ver que la probabilidad de la intersección de dos o mas sucesos independientes entre sí, (A, B y C lo son), es el producto de sus probabilidades, con lo que, prosigamos calculando:

    Probabilidad buscada= 1/5 +1/9 +1/7 – 2 × (1/(5 x 9) +1/(5 x 7) +1/(7 x 9)) + 3 x 1/5 x 1/7 x 1/9 =104/315, (operando y simplificando, claro).

    Esa probabilidad, 104/315, es la probabilidad de que, tomado un número al azar, resultara “bonito”. Así mismo, esa probabilidad señala el número de “bonitos” que hay en una muestra grande, (y 100.000 lo es), multiplicando por el total de números de la muestra, con una gran aproximación

    Finalmente calculo:

    104/315 x 100.000 = 33.015,87….

    Es decir, el número es:

    33.016

    TREINTA Y TRES MIL DIECISEIS

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  56. Santiago, el anterior comentario fue cómo yo mandé la solución al concurso pero, tambien puse unos diagramas de Venn en colores para visualizar mejor lás fórmulas. Esos diagramas no puedo reproducirlos aquí, no sé porqué, no me dejan. Intento Copiar y Pegar pero nada. Bueno, puse tres conjuntos A, B y C de colores distintos, así, como sus intersecciones, tanto dos a dos, como la intersección de los tres. Pues eso, no hice nada más, jjj. Desde luego, el número, (33.016), sale a la primera y es poco engorroso el cálculo y creo que bastante gráfico el método. Al menos, a mí me pareció así.Es cuestión de gustos, claro. Saludos.

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  57. Ah, fíjate que, si en vez de resultar 104/315, hubiera resultado 105/315, eso hubiera sido 1/3 de probabilidad. Por eso, bien decía El Pais que era “casi” un tercio de los números.

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  58. Tomás, has supuesto que los números bonitos están distribuidos de modo uniforme, y no es así. Si hubieran sido los números hasta 99998 o hasta 100000 el resultado habría estado mal. De hecho, tú sistema estadístico tiene un error máximo de +3 y -3.

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  59. El argumento probabilístico es el que da Tomás. Pero, como muy bien señala Mmonchi, no basta con redondear. Citando lo que se puso en la solución “requiere un cuidado exquisito en el tratamiento de los decimales”. La persona que nombramos analizó qué pasaba al final para comprobar que, efectivamente, eran 33016.

    En el fondo es esencialmente una forma rápida de ver lo mismo que los que han analizado un bloque de 315 números y las colas.

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  60. ¿Podrían explicar mejor lo que dicen Mmonchi y Adolfo Quirós para quedarnos todos “tranquilos”?. De forma sencilla, si es posible, me gustaría saber de dónde saca Mmonchi eso de que el sistema estadístico construido tiene un “error máximo de +3 y -3”, que no dudo que así sea. Y, asímismo, si Adolfo Quirós fuera tan amable de explicarnos como hay que tener ese “cuidado exquisito en el tratamiento de los decimales”, se lo agradecería mucho, de verdad. Me gustaría mucho saber cual es la forma más simple, menos engorrosa y fácil de entender como se “remata” el problema finalmente, dándole la sencillez y la “máxima luz” posibles, por favor. Muy agradecido y saludos.

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  61. Tomás, mejor si lo explico con un ejemplo. Queremos saber cuántos números bonitos hay entre 0 y N. Ya hemos visto que la fórmula estadística es (N+1)*104/315. Si tomamos N=99999 nos da 33015,873, una buena aproximación a 33016, el resultado correcto.
    Pero, ¿qué ocurre si tomamos N=99705? La diferencia entre el resultado estadístico, 32918,806, y el correcto, 32922, es de aproximadamente -3. Veamos ahora qué pasa con N=99959: el estadístico es 33002,267 y el correcto 33000, una diferencia de casi +3.

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  62. ¿Por qué pasa esto? Porque los números bonitos no están repartidos de modo uniforme. Entre el 307 y 316 no hay ningún número bonito, en cambio los números 35, 36 y 37 son tres bonitos consecutivos.

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  63. A ver ahora, entonces. Cada 315 números hay “104” bonitos”, eso creo que es fácil verlo. Al ser los 100.000 números del problema correlativos, (no es una muestra de números aleatorios), y las condiciones propiedades “cíclicas”, (ser múltiplo de n significa estar distribuidos de n en n), en los primeros 317 “paquetes” de 315, es evidente que tenemos 317*104=32.968 números “bonitos”. Luego, nos quedan por estudiar los últimos 145 números, (desde el 99.855 hasta el 99.999, incluidos los extremos del intervalo). La pregunta ahora es: Para llegar a la conclusión correcta de que hay 48 números “bonitos” en ese último tramo, si, como parece que comentan, no es válido multiplicar 145 por 104/315, (que nos daría 47,87 y redondeando, los 48 precisos), ¿Cómo debemos proceder entonces con esa “cola? ¿Estudiar directamente esos 145 últimos números? No parece razonable ni estético eso, ¿verdad? Por favor, terminen de aclararlo, no lo dejen entre líneas, ya pasó el tiempo de entregar soluciones. Saludos de nuevo.

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  64. Tomás con ese resto, se hace un razonamiento parecido al que se hace en la solución oficial, con la ventaja de que, si consideras que el resto son los primeros 145 números (del 0 al 144) vas a operar con números más pequeños. Y como en rigor no se permitía el uso de calculadora, se disminuye la probabilidad de error.

    Es lo que hice yo. Aunque mi enfoque nunca fue probabilístico, pues está claro que ese camino sólo lleva a soluciones aproximadas.

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  65. Tomás, en mi solución conté los números bonitos que hay del 0 al 144. No es elegante, pero es rápido, exacto y compatible con los conocimientos de 1812.

    Puede resolverse de forma matemática como ha hecho El País, y posiblemente de forma estadística, aunque me parece que el proceso es más engorroso que contarlos.

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  66. Gracias, Mmonchi y Sive.
    Bueno, al final, contados a mano, aunque ayudado de calculadora para ir un poco mas rápido, (pobres gaditanos de 1.812!, jjj). Si el ser múltiplo de 5 es condición A, el ser de 9, condición B y ser múltiplo de 7 y, luego, +2, condición C, tomando los 145 primeros números, (del 000000 al 144), que era la “cola” del principio, más bien, “cabeza” entonces, resulta:
    Que cumplen A: 29 Que cumplen B: 21 Que cumplen C: 17
    Que cumple A y B: 4 Que cumplen A y C: 4 Que cumplen B y C: 3
    Que cumplen A, B y C: 1, (el ya citado, en otros comentarios, número 135)
    Finalmente: 29+24+17-2*(4+4+3)+3*1= 48, que sumados a los ya calculados 32.968, nos resultan los 33.016, tan bonitos ellos.
    Ahora sí, asunto finiquitado. Saludos a todos y hasta la próxima.
    .

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  67. Gracias a Tomas, Mmonchi y al Prof. Quirós. Pienso que ese método de las probabilidades es mucho más elegante que contar los números. Saludos.

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  68. Mmonchi para los números del 0 al 144, podemos hacer algo parecido a la solución oficial, pero con algunas mejoras si nos damos cuenta de algunos detalles.

    Por ejemplo, sabemos que sólo puede haber uno (o ninguno) en ese margen en el que se cumplan las tres condiciones. Podemos buscarlo desde 0, y sumando de 45 en 45, hasta encontrar uno que sea 2 módulo 7. Si lo hacemos, muy rápido damos con el 135.

    La casualidad ha querido que sea un número muy próximo al 144, eso nos va a venir muy bien. Por encima del 135, sabemos que 135+5, 135+7, y 135+9, son bonitos, y además sabemos que no puede haber más entre 135 y 144. Ojo, sabemos esto sin necesidad de tantear uno a uno los números entre 135 y 144.

    Ahora podemos hacer lo mismo que en la solución oficial, contar ciclos, pero partiendo de 135 (porque se puede considerar comienzo de todos los ciclos) hacia atrás, sin sumar 1 (porque 135 no es bonito) y descartando directamente los que cumplan dos condiciones a la vez (tres ya no se puede dar el caso, otra ventaja de hacerlo así).

    Por ejemplo, los múltiplos de 5 menores que 135 serán: 135/5 = 27. A estos hay que restar los que sean 2 (mod 7): |27/7| = 3, y los que sean múltiplos de 9: |27/9| = 3, en total 21.

    Con la condición del 7 tendríamos:

    |135/7| = 19
    |19/5| = 3
    |19/9| = 2
    Total: 19-3-2 = 14

    Y con la del nueve:

    135/9 = 15
    |15/5| = 3
    |15/7| = 2
    Total: 15-3-2 = 10

    Sumamos todo y obtenemos 21 + 14 + 10 + 3 = 48 números bonitos en ese resto.

    Y si añadimos 104 por cada uno de los 317 ciclos que hay en los demás números, llegamos al resultado correcto:

    104·317 + 48 = 33016

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  69. Y para calcular que en un ciclo de 315 números, hay 104, podemos hacerlo de una forma más simple que como lo habéis hecho, también.

    Si llamamos (a,b,c) de n, a los restos de dividir n por 5,7 y 9 respectivamente, tenemos que son bonitos aquellos que sean de la forma:

    (0,x,y) … x entre 0 y 6, pero diferente de 2, e y entre 1 y 8
    (x,2,y) … x entre 1 y 5, e y entre 1 y 8
    (x,y,0) … x entre 1 y 5, e y entre 0 y 6, pero diferente de 2

    Como sabemos con certeza que en 315 números consecutivos se dan todas las posibilidades para (a,b,c) exactamente una vez, entonces se trata de tres problemas elementales de combinatoria.

    Es muy fácil ver que hay 6·8 = 48 bonitos del primer tipo, 4·8 = 32 del segundo, y 4·6 = 24 del tercero. En total 48+32+24 = 104

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  70. Hacía tiempo que no leía un problema tan hermoso. Su sencillez de enunciado y su simpleza de resolución, con varias líneas de ataques, realmente es digno de ser llevado a las aulas.

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