Desafíos Matemáticos en El País Verano 2014 – Desafío 2: “El desafío de Dido de Tiro”

Segundo desafío de verano que nos traen la Real Sociedad Matemática Española y El País, del estilo a los que se propusieron celebrando el Centenario de la RSME y en las dos últimas navidades. En esta ocasión lo propone Mari Luz García Escamilla, gestora del Posgrado en Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM).

Como podéis ver en el título de este post, el problema se titula El desafío de Dido de Tiro, y podéis ver el vídeo con el planteamiento del mismo haciendo click en este enlace. Dejo aquí de todas formas el planteamiento del problema por escrito:

El poeta latino Virgilio cuenta en la Eneida como la princesa Dido de Tiro llegó a la costa del norte de África huyendo de su hermano el rey Pigmalión. Al llegar le pidió a Jarbas, rey de los gétulos, un terreno donde asentarse. Jarbas le contestó dándole una piel de buey y comprometiéndose a regalarle toda la tierra que pudiera abarcar con ella.

Lo primero que hizo Dido fue mandar cortar la piel en una tira muy fina. Después pensó que abarcaría más terreno si utilizaba, además de la cuerda fabricada con la piel de buey, la costa. Así, colocando los extremos de la cuerda en la playa abarcó el terreno donde fundó después la ciudad de Cartago.

Nosotros vamos a presentar este mismo problema pero algo simplificado, ya que vamos a considerar que la costa que utilizó Dido era una línea recta. Con esta condición, la forma en la que hay que colocar la cuerda para abarcar la mayor superficie posible es una semicircunferencia con los extremos en la costa. Esta solución, que se muestra en la figura de abajo a modo de ejemplo, la vamos a suponer conocida:

Y ahora, nuestro reto. El desafío que proponemos esta semana consiste en calcular el área de la superficie más grande que Dido puede abarcar con las siguientes condiciones:

1. La costa donde se va a establecer es un cabo formado por un ángulo de 45 grados y dos lados rectos, como en esta figura:

2. Dido ha conseguido sacar una cuerda de 1 kilómetro de longitud de la piel del buey.

Lo que pedimos es el valor del área de la superficie máxima que se puede formar con estas condiciones y una explicación de por qué no se puede hacer mejor.

ADVERTENCIA: No se considerarán válidas las respuestas en las que se utilicen derivadas, cálculo de variaciones, ni herramientas similares. Sí se puede usar, sin necesidad de justificar, la respuesta al problema simplificado comentada anteriormente como ejemplo.

Entre los que resuelvan correctamente el desafío se sorteará la colección de libros “Grandes Ideas de la Ciencia”. Si encontráis la solución y queréis participar sólo tenéis que enviarla a desafiodeagosto2@gmail.com antes de que termine el lunes 11 de agosto.

Y respecto al tema de los comentarios, al igual que hemos hecho en todos los desafíos de El País y en los Gaussianosyguijarro, en principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos y a disfrutar con el desafío.

Autor: gaussianos

88 Comentarios

  1. Este todavía es más fácil que el primero. Lo interesante en este caso es afinar el razonamiento. Yo he utilizado la reducción al absurdo para demostrar lo que parece -a primera vista- el área mayor posible.

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  2. Mas sencillo que el primero y sin juego añadido para debate

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  3. ¿Se puede extrapolar la solución a cualquier ángulo? Estoy pensando en números irracionales.

    Puede ser difícil debatir sin destripar la solución.

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  4. La solución del problema está descrita en el planteamiento.
    Aparte de eso, quisiera decir que, ni Virgilio, ni Dido, ni Jarbas analizaron correctamente el problema.
    Dido pudo ahorrar trabajo con mejor rendimiento:
    Se trataba de conseguir LA MAYOR SUPERFICIE.
    Cortaría la piel para formar una tira de cualquier grosor y longitud.
    ColocarÍA los extremos de la tira en dos puntos de la costa sin necesidad, siquiera, de estirarla.
    ElegirÍA para Cartago la superficie limitada por la cuerda y TODA LA COSTA DE ÁFRICA MENOS UN PEDACITO. Indudablemente cumplía las condiciones pactadas. Es más, al no existir el canal de Suez, podía disponer también de toda asia y Europa continentales. Incluso, si el Mar de Behring estaba congelado, como no sabían mucha geografía, podía anexionarse Norteamérica inocentemente y, al no existir el Cnal de Panamá, también Sudamérica.
    A los jétulos les hubieran quedado yodas las islas del planeta, incluida Australia y únicamente Jarbas se hubiera podido construir un chalecito para veranear en la costa norte de África.

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  5. JJGJJG ¿Y en aquella época conocían la forma del continente africano? ¿Cómo se considerarían los lagos y los ríos?

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  6. A mí me salen algo menos de 80000 metros cuadrados (no pongo el valor exacto para no dar pistas), pero como soy muy torpe con estas cosas seguro que he metido la pata en algo, como casi siempre 🙂

    Si alguien lo ha resuelto que me diga si el valor está por ahí o si no lo está para ver si tengo que volver a juntar mis dos neuronas estropeadas y pensar en otra forma de solucionar el problema.

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  7. Cierto, a mí también. No sé por qué, pero he dividido dos veces entre 8 y por eso me salía un valor cercano a 80000 en vez de a 640000. Eso me lleva a pensar que muy equivocado no debo estar. O lo estamos todos 🙂

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  8. Qué cosas, éste tiene una solución mucho más sencilla que el anterior pero me ha costado mucho más verla. Me ha hecho gracia la advertencia del final: “No se considerarán válidas las respuestas en las que se utilicen derivadas, cálculo de variaciones, ni herramientas similares”.

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  9. A mi me sale una superficie de 636619.8 m² pero creo que el verdadero desafío es dar una demostración en la que se utilice el lema del enunciado.

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  10. Queridos amigos gaussianos.

    Es un auténtico placer ver el interés con el que os tomáis los desafíos. Compensa con creces el esfuerzo de prepararlos.

    Efectivamente, lo importante del desafío que ha planteado Mariluz García Escamilla es, más que la cuenta, el argumento que justifica la solución.

    Y, modestamente, creo que sí que da juego para más preguntas: ¿se puede extender el argumento a otros “trozos” (racionales o irracionales) de semicircunferencia? ¿Puede deducirse de la solución del problema de Dido simplificado una solución del problema isoperimétrico: original: máxima área acotada por una curva cerrada de longitud dada (quizás imponiendo alguna condición más o menos técnica a las curvas que se consideran)? Y, quizás lo más interesante, ¿existe una solución elemental al problema de Dido simplificado que se ha presentado como pista y motivación?

    Evidentemente algunas de estas preguntas son, si no más difíciles que el desafío, sí más difíciles/largas de explicar (la pregunta o la solución). Por eso pienso que Mariluz ha elegido muy bien la pregunta para el contexto de que se trata. De hecho creo que la ha elegido mejor que yo.

    Saludos a todos y confío que os animéis a contestar los cinco desafíos veraniegos:

    Adolfo Quirós

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  11. Mmonchi, Adolfo, sobre lo de generalizar a cualquier ángulo x (en lugar de 45), no lo veo fácil.

    Sí que lo veo fácil si el ángulo x es por ejemplo 10 ó 20 ó 30 ó 60 ó 90 (pongo sólo los múltiplos de 10).

    Si es fácil para cualquier x, decidnoslo para que le peguemos vueltas.

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  12. Hola jesusc.

    De las preguntas que he planteado hay una que no sé responder con métodos elementales: generalizar a ángulos que no sean múltiplos racionales de pi. Supongo que podría hacerlo pasando al límite, pero quizás habría que tener cuidado con los detalles (quizás conocéis la aproximación de un segmento por una sierra cada vez con más dientes de manera que parece demostrar que la raíz de 2).

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  13. Jesusc, me has picado y creo que ya sé demostrarlo para el caso general con un argumento razonablemente sencillo. Necesito una condición técnica: si tengo el área acotada por un ángulo y una curva y me quedo con lo acotado por un “subángulo” que tienda a 0, ese área también tiende a 0. Eso seguro que es cierto si supongo que la curva es diferenciable, pero basta con menos (variación acotada o algo así). En cualquier caso una condición técnica que seguro que cumple la cuerda que Dido y Mariluz sacan de la piel de tiro 🙂

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  14. El caso general para números racionales creo que se puede solucionar con el mismo razonamiento del problema (que no voy a comentar). Primero para los recíprocos de los enteros y después ampliándolo para el resto de racionales. Respecto a los irracionales estoy pensando que al convertirlos en fracciones continuas se puede llegar a lo mismo, jugando astutamente con el infinito.

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  15. Impresionante el tiempo que se dedica a cosas como esta. Es como el fútbol pero en mates.
    Prefiero hacer el amor.
    Consiste en pasión con alguien que amas. Me sentiría mal dedicando tiempo a esto pudiendo estar con mi pareja, entre otras cosas.
    Conste que me encantan las mates, y su utilidad es innegable. Pero dedicar tiempo a esto, es como dedicar tiempo a seguir escribiendo. Pero quería dar mi opinión, dejando claro que sé que esto es un pasatiempo respetable.
    Pero debería hacerse más el amor, en serio, y es sano.

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  16. Disculpad, espero que no se tome como spam, sino como una contribución matemática, pues esto que comento no es más que sumar 2+2:

    http://ar.selecciones.com/contenido/a762_diez-beneficios-de-hacer-el-amor

    http://tusbuenosmomentos.com/2013/08/disfrutar-vida-hoy/

    Si pudiera volver atrás y recuperar el tiempo que perdí en resolver problemas como estos -gané unas olimpiadas nacionales, por cierto, y me quedé igual- y dedicarlos a disfrutar de la vida en cosas que no solía hacer, lo haría. qué más da resolver un problema más o menos? Vas a pasar a la historia? Aprovechemos la vida mejor.

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  17. Has perdido al menos 19 minutos de hacer el amor para darnos ese consejo? Genial!

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  18. Atreyu, quizá no lo sepas, pero Jarbas, que tenia unos gustos peculiares, hizo el amor con el buey antes de sacrificarlo.

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  19. Será menos laborioso que el anterior, pero no lo veo fácil. O más bien que el razonamiento requiere cierta técnica que, al menos a mi, en su día me costó bastante esfuerzo intelectual adquirir. Digamos que la solución se da en dos pasos, pero son bastante técnicos, el uno respecto de simetrías y el otro respecto a la lógica empleada.

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  20. Pues yo veo fácil hallar el área máxima para cualquier angulo racional, no se vosotros pero en mi demostración se deduce inmediatamente que se puede extender a cualquier angulo racional y creo que hasta irracional

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  21. El triángulo de mayor área, para un perímetro determinado, es el equilátero.
    El cuadrilátero de mayor área, para un perímetro determinado, es el cuadrado.
    El polígono de n lados de mayor área, para un perímetro determinado, es el n-ágono regular.
    La figura plana de mayor área, para un perímetro determinado, es el círculo.

    También el sólido con mayor volumen, para una superficie determinada, es la esfera. (Se deduce fácilmente de la Ley de Boyle-Mariotte para los gases). Por eso las gotas de agua y las pompas de jabón en caída libre son esféricas ya que la menor presión interior se consigue cuando el volumen es máximo.
    ¿Qué forma adquiere una pompa de jabón situada en la parte exterior de una masa de espuma?

    Juguemos ahora a trazar los radios de un polígono regular y eliminar algunos de los triángulos que se forman. ¿Qué pasa con el perímetro (sin contar los radios) y el área restantes?.

    Generalicemos al caso del círculo suprimiendo un sector circular cualquiera.

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  22. Yo creo que simplemente haciendo una regla de tres y luego calculando el area del circulo es suficiente.
    de todos mosos la tg de 45 es igual a 1 por lo que la solucion es 1/4 del total de la cuerda. Creo que es asi todo me conduce a lo mismo.

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  23. Sobre el caso general para cualquier angulo x, me conformaria de momento con verlo para los racionales. Lo veo para los reciprocos de los enteros, pero no veo como se extiende a todos los racionales. No sé como se razona por ejemplo que si se cumple para un angulo x también se cumple para el doble 2x.

    La pregunta de si se puede deducir a partir de la solucion del problema simplificado de Dido el problema general. Esto sí lo veo claro, y es fácil (no “razonablemente facil”, facil a secas).

    Dada una curva cerrada de longitud P que abarque una superficie máxima, se eligen 2 puntos de la curva A y B que estén a una distancia P/2 (midiendo la distancia por la curva). La recta AB divide la curva en 2 partes en las que se puede aplicar Dido…

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  24. Es curioso que en el anterior desafio del que no conseguí solucionar la cuarta situación pensé. Que era torpe por que todos deciais lo facil que era. En este que pienso que podría resolverlo un niño de primaria para cualquier ángulo. Parece que le veis problemas. La conclusión que saco es aquel título de un libro, creo que de gardner,!! Aja.inspiración!!!
    Un saludo a todos un año mas.

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  25. El problema simplificado en realidad despista para la solución del desafío. El desafío simplificado da el área máxima sobre una línea coincidente con el diámetro, pero en la configuración en ángulo perdemos más por la reducción de la base del triángulo que lo que se gana con el área del semicírculo. Y ojo con el ángulo, que a efectos de cálculo es en realidad de 45/2°.

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  26. @jesusc

    No creo que tu generalización sea correcta, porque nada te garantiza que las dos curvas vayan a coincidir en sus extremos.

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  27. jesusc, yo también estoy atascado con la solución para cualquier ángulo.

    El primer paso, “descendente”, consiste en encontrar la solución para los ángulos X/N conociendo la solución óptima para un caso X. El problema propuesto es un caso particular, con X=180º o X=1/2 (si consideramos X el número de circunferencias) y N=4. Este lo he resuelto por reducción al absurdo, supongo que con una solución similar a Manuel.

    El segundo paso,”ascendente”, consiste es hallar la solución óptima para todos los racionales. Dada la solución de 1/N, encontrar la de M/N. Esto, que me parecía fácil, es lo que se me ha atragantado porque aunque lo veo evidente no consigo demostrarlo de forma rigurosa. De conseguirlo podría deducir la solución para 1, el círculo, y a partir de ahí las de todos los racionales.

    El tercer paso consiste en completar las soluciones incluyendo los números irracionales. Como dado un número irracional puedo encontrar dos racionales que lo rodeen tan próximos como quiera, las soluciones de los dos racionales, que tienden a ser la misma, son también la del irracional.

    Solo he considerado como dato probado el que nos da el problema, la solución óptima para 180º, de ahí que ni siquiera considere un dato que la solución óptima para 360º es el círculo.

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  28. Teniendo un ángulo de 45°, el área máxima se consigue con un triángulo isósceles. Entonces debemos ver si se obtiene un área mayor “cerrando” ese triángulo con un semicírculo o con una línea recta. En el primer caso el área del triángulo será menor, pues la base será el diámetro del semicírculo, y obtendremos el área total sumando las áreas de dicho triángulo y del semicírculo. En el segundo caso tendremos solo un triángulo, pero la base será la longitud de la cuerda, con lo que su área será mayor que en el primer caso. Cuando ese área extra sea superior a la del semicírculo, entonces la solución será trazar una línea recta y no añadir un semicírculo.
    Si se comparan las areas de ambas opciones para cualquier ángulo es fácil demostrar que, con independencia de la longitud de la cuerda, se obtiene un área mayor con el primer sistema (triángulo + semicirculo) para ángulos entre 180° (ejemplo simplificado) y 46,95°. Cuando el ángulo es más cerrado que 46,95° entonces se obtiene un área mayor con el segundo sistema, es decir, cerrando el ángulo con una línea recta para formar un triángulo isósceles.
    Así, pues, para el ejemplo concreto de un ángulo de 45° el área máxima se obtiene formando un triángulo isósceles con l cuerda de 1 km como base del mismo.

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  29. Jordi tienes razón pero solo te dejan un ángulo de 45° en Dido simplificado te dan 180° y una cueda con 1Km que es la circunferencia /2; tg x = cateto opuesto/ cateto contiguo la cueda maxima es 1/4 tenemos asi el cateto opuesto; la cueda nos mide el Dido simplificado el total de la semicircunferencia que es lo que conseguimos con la piel de vaca, una de las pistas que nos da es que la comparemos con Dido simplificado ( La regla de tres) y de hay el cuarto com area del sector de circun ferencia 1,57 m^2 otro modo es con la tangente y luego calcular el area.creo que no me he equivocado. Por los dos modos llego a la misma conclusión 0.25 km de cuerda y el area ya dicha 1.57 m^2.

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  30. Gaceo, el cateto opuesto lo obtienes a partir del radio de la circunferencia. Si el perímetro es 2 km, el radio es 1/Pi, no, 0,25.

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  31. Hola . No me quedó claro si la cuerda de 1 Km corresponde a el perímetro del cabo (debe abarcar los tres lados del triángulo?), o solo es la base . Po favor me pueden aclarar esto, para avanzar.

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  32. Solo la base. Si te fijas en el dibujo no hay confusión posible.

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  33. Conlas pistas que dejamos es facil resolver el desafío. Un saludo

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  34. golvano, no entiendo lo de

    “No creo que tu generalización sea correcta, porque nada te garantiza que las dos curvas vayan a coincidir en sus extremos”.

    Dada una curva cerrada de longitud P que abarque una superficie máxima. Supongamos que no es una circunferencia. Se eligen 2 puntos de la curva A y B que estén a una distancia P/2 (midiendo la distancia por la curva). La recta AB divide la curva en 2 partes en las que se puede aplicar Dido…
    La superficie de cada una de las 2 partes, si no es una semicircunferencia, será menor que la que se forma con una semicircunferencia de longitud P/2. Así que si cambiamos ambas partes por una semicircunferencia obtenemos una superficie mayor. La circunferencia así obtenida tiene longitud P y abarca una superficie mayor que la curva de partida. Contradicción.

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  35. 1: Averiguamos Radio circunferencia cuyo perimetro es 2Kml r = 0.3184713375 klm

    2:Averiguamos area de media circunferencia de radio 0.3184713375 klm a = 0.1593117367 klm cuadrados

    3: Averiguames la mitad de area de un cuadrado cuyo lado es 2 veces el radio a = 0.20284798572 klm cuadrados

    4: Suma areas A = 0.1593117367 + 0.20284798572 = 0.36215972242 Klm cuadrados

    362 metros cuadrados

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  36. GUMU, diria que has calculado mal el área del triángulo. No es trata de un cuadrado, porque la altura es bastante mayor que la base. Creo que te confunde el ángulo de 45°. Para usar la trigonometria necesitas un ángulo recto, por lo que el triángulo original te quedará dividido en dos triángulos iguales con un ángulo en la punta del cabo de 45/2°. Con el ángulo de 22,5° y el cateto opuesto (1/pi) puedes obtener la altura, y el área de esos dos triángulos simétricos será mayor que la que te sale.
    Después verás que si hubieras trazado una línea recta para conectar las dos líneas de costa en lugar de un semicírculo el área seria aun mayor, con lo que la solución no es un semicírculo. Mira mi comentario anterior, donde lo explico.
    El área sale de algo más de 0,600 km2.

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  37. jordi, gaceo,..

    Creo que estáis resolviendo otro problema distinto, estáis suponiendo que con la cuerda sólo podemos hacer o una linea recta o un semicírculo.

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  38. Yo me bloquee, entiendo que lo mas basico seria poner la cuerda de 1 klm uniendo los 2 extremos y asi saldrian 500 m2. Logicamente la solucion tiene que se un numero algo mayor a 500m2 pero estoy bloquedo haciendolo como media circunferencia me sale aun peor 362m2 .Logicamente las 2 soluciones mias van mal encaminadas.Suerte a todos

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  39. Jesusc. La cuerda se puede usar en cualquier disposición posible, siempre que sus extremos estén en la costa. Lo que ocurre es que las dos disposiciones óptimas son la semicircunferencia y la línea recta, según sea el valor del ángulo del cabo. En este caso, con un ángulo de 45°, la opción de mayor rendimiento es la línea recta (perpendicular a la línea bisectriz del ángulo) .
    No se trataba de una suposición previa sino de saber que en un triángulo el área máxima se consigue con un triángulo equilàtero, o en su defecto isósceles. Y que ningún polígono da mayor área que el círculo (o en este caso el semicírculo).
    Después expresé la fórmula de las dos áreas (triángulo más semicírculo y triángulo con la cuerda recta) con incógnitas para el ángulo y la cuerda (sin valores, vaya) y las igualé para ver para qué ángulo daban ambas la misma área. Por eso mencioné que desde 180 hasta casi 46° es mejor la cuerda semicircular y para ángulos menores la cuerda recta. No será casual que hayan planteado el problema para un ángulo, precisamente, de 45°.
    Puedo estar equivocado y ser otra la solucion; esa es la gracia de estos desafíos, pero me parece que la cosa está bastante clara.
    Saludos.

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  40. Jordi La cosa no está tan clara.

    Si calculo las dos superficies tengo:

    Cuerda circular: S = 2 * L² / PI = 636619.7723675814 m²

    Cuerda recta: S = L² * ctg(PI/8) / 4 = 603553.3905932738 m²

    O me equivoqué yo en algo que también es posible.

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  41. Jordi.
    Si la cuerda es el arco de una circunferencia, su radio debe ser 1/(45*Pi/180) km
    El resultado es la hipotenusa del triángulo rectángulo y el área es mayor para el sector circular.

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  42. No te equivocas, JoseLo. Jordi se equivoca. El area limitada por un octavo de círculo es superior al área delimitada por el triángulo isósceles. Atriángulo=0,603 km2 Asector circular=0,636 km2 Eso, de todos modos, no demuestra que el área del sector circular sea la máxima posible, sino que invalida como solución el otro área. Insisto en que me parece que la clave de este problema es la “práctica” del razonamiento lógico-matemático, que a veces es más peligroso de lo que parece, puesto que solemos dejarnos llevar por la intuición, que a veces es traicionera.

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  43. Manuel

    Mi problema es que me parece tan evidente que no se por donde empezar: Si el área máxima es la encerrada por una circunferencia y esa área se puede descomponer como suma de sectores circulares iguales, tengo A = n * S y A sólo puede ser máxima si S lo es.

    Pero me parece un argumento muy pobre.

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  44. Así es Manuel, demostrarlo formalmente no es cosa fácil. Y menos para quienes nos dedicamos a otro asunto distinto a la teoría de la matemáticas. Que a un poco más de 45º ya la cosa se invierte, me dejó desconcertado. Esperaré la solución.-

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  45. Santiago, tienes un error importante: el perímetro de la circunferencia es 2*pi*r. El semiperimetro, pues, es pi*r. Luego el radio es 1/Pi, ya que la cuerda (semiperimetro) es de 1 km.
    Puedes formar un semicírculo que tenga un perímetro de 1 km, ni más ni menos. Luego el semicírculo que formes con esa cuerda no depende en absoluto del ángulo, sino sólo de la cuerda que ser obtiene de la piel de vaca.

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  46. Manuel, nadie habla de octavos de círculo. Yo comparó dos opciones:
    1. Cerrar el ángulo con una semicircunferencia de radio 1/pi
    2. Cerrarlo con una línea recta.
    Para 45° da una area superior si lo cerramos con una línea recta perpendicular a la bisectriz del ángulo.
    Haced los cálculos y lo veréis. Y cuidado que si usáis la tangente para conocer la altura a partir del radio hay que usar un ángulo de 45/2°, y no de 45, de manera que la altura haga un ángulo recto con la base.
    Si queréis os pongo las fórmulas, pero os pediría que leáis los comentarios antes de responder a cosas que yo no he dicho.

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  47. Jordi. No es un semicírculo es apenas un sector circular. El semicírculo tendría 180º.
    “Se denomina sector circular a la porción del plano delimitada por un arco de circunferencia y dos de sus radios”
    Si el arco es 1Km y el ángulo 45º, el radio es 1,2732 km.
    Me parece que no es como lo planteas.

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  48. SANTIAGO

    En el problema hay dos parámetros que deben ser constantes. Uno es el valor del ángulo que es PI/4, el otro es la longitud de la cuerda que es de 1000 m. Podemos hacer que la cuerda tome la forma que queramos siempre que cada extremo descanse en un lado distinto del ángulo. La posición de los puntos en los que la cuerda se apoya en los lados dependerá de la forma que le demos a la cuerda y eso quiere decir que la longitud del radio no es la misma si la cuerda es una línea recta o si es un arco de circunferencia.

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  49. Creo que no lo debo de haber explicado bien. Si cierro el ángulo con una línea recta (perpendicular a la bisectriz del ángulo), entonces la base de ese triángulo isósceles tiene 1 km. El área de ese triángulo es fácil de calcular.

    Si lo cierro con un semicírculo entonces el área es la suma de un triángulo isósceles de base 2/pi + el área de un semicírculo de radio 1/pi. Estoy, por así decir, “apoyando” un semicírculo (no un sector circular) sobre la base del triángulo, por el diámetro de ese semicírculo. Obviamente, el diámetro y la base del triángulo son la misma línea. Imagina un cucurucho de helado: el triángulo es la galleta y el semicírculo lo que sobresale de la bola de helado (la mitad de la bola).

    Como en el primer caso el triángulo tiene una base mayor que en el segundo, el área es mayor. Y resulta que para 45° esa diferencia de área es mayor que el área del semicírculo (no sector circular) de radio 1/Pi. Luego el área es mayor cerrando con una recta que con un semicírculo.

    Saludos.

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  50. Jordi, revisa tus cálculos…
    El desafío es tan fácil como aparenta y no puedo decir esta vez q fuera chulo…

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  51. Gracias, JoseLo. Conozco bien el teorema del seno. Lo mencioné porque otra persona usó la tangente para calcular el lado adyacente (altura del triángulo) a partir del cateto opuesto y tomó 45°, cuando lo correcto era 45/2°.
    He hecho los cálculos (bien, según lo que he explicado) y después he comparado las áreas con sus fórmulas, sin datos concretos ni para el ángulo ni para la cuerda de vaca. Y me dio que, con independencia de la longitud de la cuerda (la dimensión es irrelevante) una opción es la mejor entre 80 y aprox. 46° y la otra es la mejor para ángulos menores de 46°.
    Igual me equivoqué las dos veces, en el caso particular y en el general, pero diría que no fue ese el caso.
    Y no seas tan susceptible, hombre.
    😉

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  52. Rtomas:
    Es fácil, sí, o así lo parece.
    Los acabo de revisar y estoy seguro de que están bien.

    Opción línea recta (triángulo isósceles de base 1km):
    Si la base es 1 km, la altura es de 1,2071. El área es, pues, de 0,6036 km2.

    Opción semicírculo (triángulo isósceles de base 2/pi + semicirculo de ràdio 1/pi)
    Si la base del triángulo es 2/pi, la altura es de 0,7685, con lo que el área del triángulo es de 0,2446 km2.
    El semicírculo tiene radio de 1/pi, luego su área es de 0,1592 km2.
    Si sumamos las dos áreas, esta opción nos da un área total de 0,4038 km2.

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  53. Bueno, como el pescado está vendido, voy a poner mi razonamiento:

    Voy a demostrar que la solución al problema es un sector circular, concretamente un octavo de círculo. Vamos a calcular el área que obtenemos de este modo: Como la longitud del arco es de 1 Km, entonces el radio correspondiente es R=4/π km. Con lo cual el área de este sector circular sería de A=2/π km2
    Vamos a demostrar que el area anterior es la solución al problema. Razonaremos por reducción al absurdo. Es decir, vamos a partir de la hipótesis de que existe una forma de acotar el área de modo que esta área ( a la que denominaremos A´) sea mayor que A=2/π
    A continuación realizamos una construcción geométrica duplicando la figura A´ mediante una simetría especular; volvemos a repetir la misma operación respecto a la última figura obteniendo al fin una figura con un ángulo de 180º y con una línea continua que encierra en su interior un área, que valdrá lógicamente 4 A´.

    Ahora bien, este area debe ser menor que el area tipo del mismo perímetro considerada como máxima en esta situación, que sabemos que es un semicírculo. Sabemos que el arco de dicho semicírculo es de 4 km. Vamos a calcular su radio, que deberá ser R=4/π km, con lo cual su área sería Amáxima=1/2 π(4/π)^2=8/π Como dicha área es la máxima posible para un hilo de 4 km, entonces se debe cumplir:
    4A´<8/π con lo cual A´<2/π
    Hemos llegado a una contradicción, por tanto la hipótesis inicial era falsa y con ello queda demostrado que el área máxima posible es de 2/π km2 obtenida con un octavo de círculo.

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  54. Joselo, por dios! (por decir algo), pero de donde sacas lo del sector o el segmento circular.
    En primer lugar un semicírculo es un segmento circular, en el que la cuerda coincide con el diámetro.
    Però és que aparte de eso, el enunciado del problema no menciona ni segmentos ni sectores circulares, ni que la vaca fuera de color lila, como la del anuncio de Milka!
    Lee el enunciado y limítate a ver qué es lo que se nos propone, que estáis armando una confusión considerable.
    Las dos versiones del problema dicen lo mismo: se trata de cerrar un área delimitada por la costa y la cuerda; la continuidad de la costa y la cuerda configura el perímetro del terreno que consigue Dido.
    En la versión simplificada la costa es recta (ángulo de 180°), en la versión concreta del desafío la costa es un cabo de formado por dos líneas rectas en un ángulo de 45°. El área que hay que medir es la que queda dentro del perímetro costa-cuerda (aquí hablan de cuerda en el sentido popular: podrían haber dicho cordel, y no se refieren a la cuerda que delimita un arco en geometría — tal vez eso os haya confundido).

    Pero, repito, lee el enunciado y limitémonos a lo que literalmente se nos dice. Ya me señalarás dónde se dice lo que tu interpretas, porque o bien he leído otro periódico o bien tu o yo hemos leído mal.

    Saludos.

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  55. Jordi, perdona que insista pero no hay ningún semicírculo. Es un sector circular cuyo ángulo es de PI / 4 radianes y cuyo arco de circunferencia mide 1Km. El radio de ese sector circular es de 4 * L / PI = 1.273 Km (1273.24 m) y la superficie r * L / 2 = 0. 6366198 Km²

    Cuando dices:

    “Opción semicírculo (triángulo isósceles de base 2/pi + semicirculo de ràdio 1/pi)”

    Simplemente no tiene ni pies ni cabeza. Si descompones el sector circular en un triángulo isósceles + un segmento circular, la base del triángulo es 4*L*sqrt(2 -sqrt(2)) / PI y no 2/PI Además un semicírculo de radio 1 / PI _siempre_ tendrá un área igual a 1 y eso dejando de lado que no hay ningún semicírculo

    ¿Porqué te empeñas en descomponer el sector circular en la suma de un triángulo isósceles + un semicírculo inexistente cuando la forma más sencilla de calcular el área es la de arriba?

    Deberías aceptar que te has equivocado.

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  56. Joselo, no te tienes que disculpar.
    No me empeño en nada. Mi propuesta es compatible con el enunciado. También lo es el dibujo del ejemplo, con una línea ondulada.
    Otra cosa es que la solución de Manuel sea no solo mejor que la mía, sino LA solución. Y es lo que acabo de reconocer en mi mensaje anterior.
    Siempre se aprende, y es obvio que uns vez visto es una solución casi de perogrullo. De hecho, si para 10° la solución es un semicírculo, para 90° será un cuarto de círculo y para 45° un octavo. Por eso nos decían que tomáramos el simplificado cómo algo ya demostrado.
    Gracias a todos por la deportividad. Con esa misma deportividad seguiré yo aprendiendo en los futuros desafíos. Esa es la gracia del asunto.
    Buenas noches.

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  57. Joselo. No tiene ya importancia porque mi solución no era la correcta, pero los cálculos que haces no sé de dónde salen. Por ejemplo un semicírculo de radio 1/Pi no tiene área 1, sino 1/(2*Pi).

    😉

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  58. Jordi, yo no me estaba disculpando por nada, sólo es una forma cortés de hablar. Por otra parte yo esto no me lo he tomado en ningún momento como una competición sino como una colaboración y no considero apropiado hablar de deportividad ya que esta conlleva competición.

    Manuel ha _demostrado_ los demás hemos divagado y algunos disparatado 😛

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  59. Joselo.
    Leyendo tu mensaje de abajo arriba:
    3. Completamente de acuerdo con lo que dices al final.
    2. “Deportividad” no siempre remite al deporte, y en todo caso no se refiere a competición ni a competencia.(http://lema.rae.es/drae/?val=deportividad+)
    1. Realmente eres muy “susceptible” (acepción 2)
    0. Yo soy puntilloso, sí.

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  60. Manuel.
    Tu demostración es bien sesuda, gracias por la explicación, que bonito el desafio y tu respuesta.
    Cuadruplicar el sector circular para llegar a un semicírculo, es ingenioso, pienso que es lo mismo que trabajar solo con el sector
    circular inicial. Bastaría demostrar por partes que un triángulo isósceles es el área máxima posible, igualmente el segmento circular, este últimos por ser la proyección de una circunferencia. Por lo tanto la suma de los dos componentes con esa característica es el área máxima posible.
    No veo cómo quedaría la demostración para cualquier ángulo .. por ejemplo cuando es mayor de 47,5 grados, el triángulo isósceles tiene mayor superficie que el sector circular ..un saludo..

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  61. Santiago,

    es simplemente la solución.

    Si supongo una solución diferente que el sector circular de 45ª y uno cuatro soluciones de ellas pegadas adecuadamente llego a una contradicción con la premisa de Dido. Por reducción al absurdo es un sector circular y el cálculo es sencillo.

    El mismo razonamiento vale para a/N siendo a los valores presuponibles de 180º o el número pi (casulamente irracional, jaja, que vamos a demostrar de irracionales lo que salga de aquí)

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  62. Bueno, ya que estamos puestos, voy a intentar esbozar una demostración del caso general: la superficie máxima para un ángulo genérico ∝ y una linea continua de longitud L que cierra el ángulo. Dividiré la demostración en cuatro partes:

    1)En primer lugar, el area debe ser convexa, es decir, al unir dos puntos cualesquiera del interior el segmento debe estar totalmente incluído en el área. Si no fuera así, podríamos siempre coger un segmento curvo en las zonas cóncavas hacia el exterior y “darle la vuelta” hacia afuera incrementando el área inicial, lo que contradeciría el principio de área máxima. Así pues, la primera condición es que el área buscada tiene la propiedad de la CONVEXIDAD.

    2) Ahora vamos a suponer que la curva que delimita el borde tiene curvaturas diferentes en distintas zonas. Vamos a realizar una operación de “transplante”: cortaremos con unas tijeras un trozo de área en una zona muy curvada procurando que la linea de corte coincida con la de otra zona más plana; a continuación trasladaremos dicha área cortada y la “pegaremos” en el área más plana: de este modo, obtendremos una figura con el mismo área de la anterior y con la misma longitud de curva. Pero esta nueva figura presenta un problema: tiene un “chichón”: y en los bordes del chichón hay puntos angulosos; en el entorno de dichos puntos hay concavidades que provocan que la nueva figura ya no sea convexa; pero esto va contra la condición primera y anularía la posibilidad de área máxima. Hemos podido imaginar esta operación de transplante porque hemos partido de la posibilidad de curvaturas distintas, por lo tanto esto no puede ser posible: la curvatura debe ser constante. La solución deberá ser necesariamente un arco de circunferencia.

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  63. 3)Ahora bien el arco que cierra el ángulo puede no ser simétrico. Teniendo en cuenta que el área encerrada es la suma del segmento circular y del triángulo restante, es evidente que el área máxima dependerá del área de dicho triángulo. Y el área máxima de dicho triángulo si movemos la cuerda por los lados del ángulo se producirá cuando haya simetría, es decir cuando el triángulo sea isósceles. Así pues, el arco de circunferencia estará situado simétricamente respecto a la bisectriz del angulo ∝.

    4) Todavía queda trabajo. Hemos demostrado que la solución debe ser un arco simétrico, pero no sabemos si dicho arco tiene su centro en el vértice del ángulo. Vamos a generalizar la situación y a suponer que el centro está en un punto cualquiera de la bisectriz. Llamaré β al ángulo abarcado por dicho arco de longitud L. Ahora voy a calcular el área que delimita la figura: Area= L^2/2 (1/β-senβ/β^2 +2sen(β/2)/(β^2 tg∝))
    Derivamos la anterior expresión e igualamos a cero. Después de las pertinentes simplificaciones, obtenemos la solución para el ángulo β:
    tg β=tg ∝
    Así pues β=∝ y por tanto el arco tiene su centro en el vértice del ángulo; esta es la forma del área máxima para cualquier ángulo, un arco de circunferencia con centro en el vértice.

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  64. Manuel, en la advertencia no dejan usar derivadas!!
    Pero tus razonamientos son muy edificantes.

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  65. manuel, muy ingenioso, pero no creo que se puedan admitir los puntos 2 y 3, sobre todo el tema de los transplantes. O será que no acabo de entenderlos.

    Creo que se puede intentar lo de extender a los racionales. Sabemos que se cumple para ángulos 180/n (ó pi/n si preferimos expresarlo en radianes) y también para 360/n.

    Queremos probarlo para p/n * pi. Por ejemplo, para 3 pi / n.

    Se puede intentar el mismo razonamiento que en el problema, repetir la curva n veces, con lo que daremos 1 vuelta y media (3pi), y podemos pensar en las 3 áreas tipo Dido (limitadas por una recta) que se forman, A1, A2, A3.

    La superficie que abarca la curva en el ángulo 3pi/n será la misma que (A1+A2+A3)/n

    ….

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  66. pero no sirve el razonamiento, porque no sé cómo razonar que la longitud de la curva está repartida en las tres zonas.

    O sea, si partimos de una curva de longitud L, al repetirla n veces será de longitud n*L, pero en cada zona Dido quiero que sea la tercera parte, es decir n*L/3, y eso no sé cómo se garantiza.

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  67. Yo hice esta solución:

    Suponemos que la respuesta al problema simplificado comentada como ejemplo (línea de costa recta), sirve para justificar que la circunferencia encierra la mayor superficie posible para un perímetro dado y sin recurrir a la demostración de Jakob Steiner. En dicho caso, la solución al problema propuesto consiste en encontrar aquel sector circular cuyo arco de circunferencia mida la distancia establecida y cumpla con el ángulo prescrito.

    Ponemos el Radio en función de la Longitud del arco; R = (L·360)/(2·Pi·ángulo) y lo sustituimos en la fórmula del área de un sector circular y simplificamos

    A = (L^2 · 360)/(4·PI·ángulo). Para L = 1000 m y ángulo = 45º, obtenemos A = 636.619,77 m2

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  68. Rtomas, ya sé que no se podían usar derivadas, de hecho yo lo resolví usando el mismo razonamiento que muestran en la solución. Lo que pretendía era enfocar la demostración del caso general.
    Jesusc, para ver la idea del “trasplante” plantéate simplemente una figura simple como un cuadrado. Le damos un corte al bies, es decir a 45º, a un vértice. Ese trozo lo pegamos por su lado largo a un lado del cuadrado. Si te das cuenta la nueva figura sigue teniendo la misma superficie, pero además tiene el mismo perímetro. Es la misma idea aplicada a una curva donde hay zonas más curvadas que otras: cortamos un trozo en una zona “rechoncha” y la pegamos en una más “plana”.

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  69. Por cierto (desde mi desconocimiento) la solución planteada como respuesta por la matemática no me gusta. Presupone que al aumentar el ángulo de 45º a 90º (por ejemplo) la forma de la curva se mantiene por un argumento de reflexión. Ahora bien (sin entrar en que sabemos que lo que voy a decir no es así), uno podría pensar que la forma de la curva no tiene porque mantenerse al aumentar el ángulo. Si tengo una cuerda finita y parto de un punto A de uno de los lados y extiendo (de la forma que sea) hasta un punto B del otro, al aumentar el ángulo la cuerda no seguiría tocando en el punto B sino en un B’ a menor distancia del vértice (al ser la cuerda finita). En fin que no me convence el argumento de que a mayor ángulo se conserve la forma de la cuerda que da el mayor área (independientemente que todos sabemos que es siempre la circunferencia)

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  70. gogely, no la extiende, la duplica en cada sector de 45º. El resultado es una curva de 4 km de longitud. Pero eso no es importante porque se trata de la FORMA que tiene la curva de área máxima, no de la longitud que tenga.

    De paso recalco que tu comentario pone en evidencia que el tipo de razonamiento empleado en la demostración, el de reducción al absurdo, tiene cierta dificultad y requiere un mínimo de práctica, lo que hace que el problema sea un punto menos que elemental.

    gogely, para entenderlo del todo hay que tener paciencia y calentarse bastante la cabeza (iba a decir que si no estás acostumbrado, pero aunque lo estés, la cabeza se calienta bastante, al menos a mi).

    La “reducción al absurdo” funciona dando por cierta la negación de la hipótesis que queremos demostrar y deduciendo de ella cosas hasta que llegamos a una contradicción (llegando a la negación de algo que sabemos verdadero). Es raro, pero funciona.

    En nuestro caso, la verdad que sabemos es el caso del ángulo de 180º, que corresponde a un arco de círcunferencia. La hipótesis que queremos demostrar es que para 45º, el área máxima es un arco de circunferencia. Neguémosla y entendamos que el área máxima para 45º corresponde a un arco cuya única característica importante (¡importante para nosotros!) es que es diferente de un arco de circunferencia. Ahora a deducir: un arco de circunferencia en el ángulo de 45º tendrá la cuarta parte del área máxima para 180ª; nuestra curva tendrá más de la cuarta parte (¡por hipótesis el área máxima no se da con el arco de circunferencia!); construimos esas simetrías que no te gustan nada, pero que tienen la ventaja de que producen curvas de área máxima en cada ángulo de 45º y, más importante, forman una línea continua. Tenemos al final una curva que no es un semicírculo pero que tiene cuatro veces el área màxima del primer ángulo de 45!, o sea, mayor que el área del semicírculo ¡que SABÍAMOS que era máxima. La conclusión es que alguna cosa de las que hemos presupuesto es falsa. Repasando vemos que la única de la que podemos dudar es la de la cura de área máxima diferente del arco de circunferencia. O sea, que es falsa

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  71. Maestrillo, conozco la reducción al absurdo XD. Aunque sabemos que no es así, la cuestión es que pasaría si no se conservará el área máxima según aumentará el ángulo. Es decir, si la suma de dos áreas máximas de 45º fueran menores que la de un ángulo de 90º. Es decir, si según aumente el ángulo la forma de la curva que delimita la superficie máxima varía, dando lugar a superficies mayores que por simple reflexión. (esto es pura filosofía XD y seguramente una tontería, pero es lo que me hizo pensar la respuesta oficial, aun sabiendo de antemano la respuesta, la cual tienes publicada unos mensajes más arriba).

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  72. La propia demostración sirve para refutar la idea de que la forma de la curva cambia con el ángulo.

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