Descenso infinito: un método de demostración poco conocido

Cuando queremos demostrar un resultado contamos con varias maneras de hacerlo: demostración directa, por contrarrecíproco, por reducción al absurdo, por inducción (estas dos últimas las comentamos aquí), por contraejemplo… Dependiendo de cómo sea el resultado que queremos demostrar puede que nos interese más usar una demostración u otra, pero en principio todas son perfectamente válidas siempre que los argumentos lógicos que utilicemos dentro de ellas sean correctos.

Los métodos de demostración que se han nombrado en el párrafo anterior son los, digámoslo así, más habituales. El post que nos ocupa pretende presentar un método de demostración que es muy poco conocido, aunque no por eso deja de ser brillante: el método del descenso infinito.

Este método de demostración fue ideado por Pierre de Fermat y digamos que es una variante del método de reducción al absurdo aplicable a problemas con enteros positivos. Consiste en lo siguiente:

Supongamos que queremos demostrar una cierta afirmación P. Lo que hacemos es suponer que se para un cierto n número natural se cumple su negación, ¬P, y a partir de ahí demostramos que entonces también se cumple su negación para un número natural menor que n. Continuando con el razonamiento obtenemos una sucesión infinita y decreciente de números naturales, lo cual es imposible; o descendiendo llegamos a un cierto número natural que no cumple ¬P. Por tanto, aplicando reducción al absurdo obtenemos lo que queríamos: que P es cierta.

Vamos a ver un ejemplo. Demostraremos que si v, w son primos relativos y vw es un cuadrado, entonces v y w son cuadrados. Haremos ésto demostrando que es imposible que existan enteros positivos v y w tal que:
1.- v y w son primos relativos
2.- vw es un cuadrado
3.- v y w no son ambos cuadrados

Vamos con ello:

Intercambiando los papeles de v y w si hace falta supondremos q v no es un cuadrado. En particular v es distinto de 1. Por tanto v es divisible al menos por un número primo. Sea P un primo que divide a v, esto es, v = Pk. Entonces P también divide a vw. Pero al ser un cuadrado, digamos vw = u^2 se tiene por las propiedades de los números primos que P divide a u, y por tanto u = Pm. Entonces la igualdad vw = u^2 se puede rescribir así:

Pkw = (Pm)^2 = P^2 m^2

que implica que kw = Pm^2.

Como P divide al lado derecho de la igualdad también divide al izquierdo. Por la propiedad de los números primos utilizada anteriormente se tiene que P divide a k o a w. Pero P no divide a w porque v y w son primos relativos y P divide a v. Por tanto P divide a k, digamos k = Pv’.

Entonces kw = Pm^2 nos lleva a Pv^\prime w = Pm^2, que implica v^\prime w = m^2. Como v = Pk = P^2 v^\prime, todo divisor de v’ es también divisor de v, y por tanto v’ y w no pueden tener divisores comunes más grandes que 1 (recordemos que v y w son primos relativos). Además si v’ fuese un cuadrado entonces v = P^2 v^\prime sería un cuadrado, pero no lo es (es nuestra suposición inicial). Por tanto v’ no es un cuadrado. Así los números v’ y w cumplen las propiedades 1.-, 2.- y 3.- y además v’ < v.

El mismo argumento nos lleva a otro entero positivo v” tal que v” y w cumplen también esas tres propiedades. Repitiendo este proceso indefinidamente tendríamos entonces una sucesión de enteros positivos v > v’ > v’’ > … que decrece indefinidamente. Como esto es imposible (los números enteros positivos no pueden decrecer indefinidamente) se tiene que es imposible que dos enteros positivos v y w tengan las tres propiedades anteriores, y por tanto este método prueba el enunciado.

En resumen, el método del descenso infinito se apoya en el siguiente principio:

Supongamos que el hecho de que un entero positivo dado cumpla unas ciertas propiedades implica que existe otro entero positivo menor que el dado que cumple las mismas propiedades. Entonces ningún entero positivo cumple esas propiedades

Otros resultados que se pueden demostrar con este método (y que parece ser que el propio Fermat demostró con él) son:

1.- Ningún triángulo rectángulo puede tener como área un cuadrado.
2.- Todo número primo de la forma 4n + 1 se puede poner como suma de dos cuadrados de una y sólo una forma.
3.- El caso n = 4 del último teorema de Fermat.

Os animo a intentarlo con alguno de ellos, aunque puede que no os resulte fácil. Si alguien lo consigue y se anima que no dude en compartirlo con nosotros.

Fuente principal: Mis trabajos de la carrera
Otras fuentes donde encontrar información:

Nota: Cuando hablamos de un cuadrado nos referimos a un número que es el cuadrado de otro. Por ejemplo 25 es un cuadrado al ser 25 = 5^2.

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30 comentarios

  1. mimetist | 25 de noviembre de 2006 | 21:47

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    A ver si hay suerte y sale alguno :P

  2. kaizen | 25 de noviembre de 2006 | 21:47

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    ummm, no sé, a simple vista parece una forma más enrevesada del Principio de Inducción de los números naturales.

    ¿En qué se diferencian?

  3. ^DiAmOnD^ | 25 de noviembre de 2006 | 21:48

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    ¿Diferencias?. Pues el principio de inducción dice que (1) si el primer número natural cumple cierta propiedad y (2) el hecho de que cierto número natural la cumpla implica que lo cumple el siguiente nos asegura que todos los números naturales la cumplen. El descenso infinito dice que si el hecho de que cierto número natural cumpla una propiedad implica que también la cumple un natural más pequeño (no necesariamente el anterior, cualquiera más pequeño) nos asegura que la propiedad es falsa (ya que no existen sucesiones estrictamente decrecientes con infinitos elementos en los números naturales), y por tanto su negación es verdadera.

    No sé, ahora mismo no le veo demasiadas similitudes, simplemente que los dos se utilizan para comprobar propiedades de números naturales.

    Una diferencia podría ser que generalmente el principio de inducción se utiliza para comprobar que una propiedad es cierta y el descenso infinito para comprobar que una propiedad no es cierta. A ver quién encuentra alguna otra similitud o diferencia sustancial.

  4. kaizen | 25 de noviembre de 2006 | 21:49

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    sí, te sigo. Para algunas cosas sería más útil el descenso infinito; mientras que para otras el “ascenso”. Me mareaste mucho la perdiz con el ejemplo de los primos, hombre…XD

    Aunque bueno, voy de jodón, y pregunto: al empezar con el Principio de Inducción, si una propiedad era no válida, no se llegaba a un contradicción? Digamos que también vale para demostrar la falsedad de ciertas propiedades. Tengo vagos recuerdos de ejercicios de cálculo diferencial…

    Esto es una reflexión a parte, pero gracias por tu tiempo a la hora de explicar LOS CONCEPTOS de una forma más accesible. Me he topado con mucho ladrillo de profesor, que es incapaz de usar lenguaje cotidiano y usar ejemplos del mundo real(ignoro si es por purismo, o por incapacidad), cuando la matemática proviene de él. Repito, muchas gracias otra vez.

  5. Michoacano | 25 de noviembre de 2006 | 21:49

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    ^DiAmOnD^ enlaze tu blog, me encanta este blog, chekalo en mi web http://www.michoacano.com.mx. Oye, que grado de estudios tienes?

  6. deibyz | 25 de noviembre de 2006 | 21:50

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    Una cosilla…
    Cuando dices que ningún triángulo rectángulo puede tener como área un cuadrado… ¿Te refieres a triángulos con lados enteros, no? Es que si no me da que no cuadra…

  7. ^DiAmOnD^ | 25 de noviembre de 2006 | 21:51

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    Vamos por partes:

    kayzen: intenta explicar un poco mejor eso de al empezar con el Principio de Inducción, si una propiedad era no válida, no se llegaba a un contradicción?, pon un ejemplo o algo así, que no sé exactamente a qué te refieres.

    Respecto a las explicaciones creo que son necesarias. Intentamos llegar a mucha gente y sin pararse un poquito en las explicaciones quien no esté demasiado familiarizado con el tema se puede perder. Y sí, hay mucho ladrillo por ahí en ese sentido, y hay de todo: algunos demasiado puristas y otros algo incapaces de bajare un poco del burro :P.

    Michoacano: yo soy licenciado en Matemáticas, y neok es casi informático. En Quiénes somos puedes ver algo de información.

    deybiz evidentemente, hablamos de lados cuya longitud es un número entero. Igual no lo he especificado lo suficiente, pero sí. Además si no fuera así no podríamos usar descenso infinito ya que, como pone en el post, se apoya en el siguiente principio:

    Supongamos que el hecho de que un entero positivo dado cumpla unas ciertas propiedades implica que existe otro entero positivo menor que el dado que cumple las mismas propiedades. Entonces ningún entero positivo cumple esas propiedades

    Saludos :)

  8. mimetist | 25 de noviembre de 2006 | 21:51

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    Entiendo lo que dice kaizen sobre el “parecido” entre el Descenso infinito y la inducción.

    El método inductivo básicamente nos permite comprobar que si un término cumple una propiedad el siguiente también lo hace.
    Mientras que el descenso infinito hace que si un elemento cumple una propiedad el anterior también lo hace.

    De ese modo ambos son una forma de inducción uno “induce” a los siguientes y el otro a los anteriores. :P

    Claro que con los descensos infinitos se podría conseguir una demostración completa a pesar de no poder hacer esa “inducción descendiente” a todos los términos anteriores.

  9. kaizen | 25 de noviembre de 2006 | 21:52

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    Bueno, acabo de hacer una exhumación de mis apuntes de cálculo, y le he echado un ojo al principo de inducción. Erré en que el Principio de Inducción podía ser útil para demostrar que algo NO se cumplía.

    Tenía un vago recuerdo de que algebraicamente, cuando se usa el P(n) para demostrar P(n+1) se llegaba a alguna igualdad contradictoria. Y no era así. La cadena, de romperse, se rompe al principio: si eres incapaz de encontrar un natural para el que se cumpla la propiedad, no tienes punto de partida para aplicar la “inducción ascendente”.

    Bueno, mis más humildes disculpas…la matemática puede descansar tranquila xD.

  10. discipulodegauss | 25 de noviembre de 2006 | 21:53

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    yo siempre he usado y he visto usarse el principio de induccion matematica para demostrar la veracidad de un enunciado(osea que tal relacion se cumple y no para afirmar lo contrario y oviamente en el campo de los naturales) pero de los comentarios se me ocurrio esto:sabemos que para n=5 ,(2)(2^5)+1 ,no es primo(llamado primo de fermat) y sabemos que hasta hoy en dia no se encuentra otro primo de esta forma entonces puedo suponer que para un m>5 ,(2)^(2^m)+1, no es un primo y si demuetro que (2)^(2^(m+1))+1 no es primo podria afirmar sin duda que no existe otro primo de esa forma? por favor aclaren mi duda

  11. ^DiAmOnD^ | 25 de noviembre de 2006 | 21:54

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    discipulodegauss pues sí, sería totalmente correcto. Planteándolo en afirmativo quedaría algo así:

    1.- Para n = 5 el número de Fermat 2^(2^5) + 1 es compuesto
    2.- Para m > 5, el hecho de que 2^(2^m) + 1 sea compuesto implica que 2^(2^(m + 1)) + 1 también lo es

    Por tanto todos los números de Fermat son compuestos para n mayor o igual que 5.

    Si consigues demostrar eso sería un bombazo :)

  12. discipulodegauss | 25 de noviembre de 2006 | 21:54

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    buena DiAmOn ,tomaste su complemento o por decirlo su antonimo de ‘numero primo ‘pero me pregunto si toda proposicion en la que se diga ‘que no es’ se podra cambiar por ‘es’,ya que si esto es cierto(pero dudo) entonces no habria diferencias, ahora no tengo un ejemplo pero si se me ocurre te lo dire,bueno se los dire a todos los que lleguen a este post que realmente esta ameno y le dare tiempo a los problemas que se dan que estan interesantes.

  13. discipulodegauss | 25 de noviembre de 2006 | 21:55

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    sobre el metodo del descenso infinito la verdad que nunca lo he usado pero ya lo vi anteriormente justamente cuando fermat demostro algunas propiedades de los numeros ,pero tengo un recuerdo vago de que el no lo ideo (espero que se aclare esta duda ya que no deseamos asimilar cosas inciertas)y a mi primer parecer este metodo de demostracion es un tipo de reduccion al absurdo(pues es un absurdo que se descenda infinitamente a traves de los naturales y si considerando ~p se encuentra un n para el que no se cumpla pues tambien es un absurdo)pero si tiene sello propio claro.

  14. discipulodegauss | 25 de noviembre de 2006 | 21:56

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    hace poco que encontre este sitio y me perdi cosas muy importante pero lei la conversacion entre DiAmOn y papa oso creo sobre la demostracion de la existencia dedios debido ala aparicion de los numeros pi,e y phi por favor si alguien la tiene que me la envie a [email protected] se que es mentira pero me mata laq curiosidad ,vay .

  15. nieves (abelgalois) | 25 de noviembre de 2006 | 21:57

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    La demostración por descenso infinito,la hemos utilizado muchas veces falseada,me explico…cuando demostramos que “raíz cuadrada de 2″es un número irracional…se dice que lo hacemos por reducción al absurdo,y partimos de que es racional,presuponiendo que es una fracción (irreducible),y ahí está el asunto,si dejamos de presuponer que es irreducible ,lo que obtendremos es un bucle en que nunca obtendríamos el final del razonamiento,de manera que parece que por más que “simplifiquemos” los números naturales no se acabarían nunca (??)…en cambio si no queremos explicar este tipo de demostracción “por descenso infinito” simplemente decimos que hemos llegado a una contradicción…
    Yo ,particularmente,que me dedico a la enseñanza de matemáticas en el Bachiller(España) ,prefiero usar la de descenso infinito,me parce que no siembra tantas dudas entre el alumnado,como la de reducción al absurdo,al menos en algunos casos,evidentemente no siempre podemos echar mano de los números naturales…
    En cuanto si esto se puede confundir con la demostración por inducción…pues creo que no..la demostración por inducción ,ya lo dice la propia palabra,si logras demostrar que hay un caso concreto,en el que la afirmación es verdadera,y posteriormente demuestras que siendo cierto un “paso de índice n” lo será el “paso de índice n+1″ …pues claramente has demostrado que lo será siempre..viene significando que llegas al infinito potencial(en vez del infinito en acto,como nos cuentan en filosofía)y en todo caso estoy pensando que sería “demostración por ascenso infinito¡¡¡,esto es una broma mía…
    Fermat usó “el descenso infinito “para demostrar que raíz de 3 era irracional.

    Te visitaré de vez en cuando.Un saludo.

  16. ^DiAmOnD^ | 25 de noviembre de 2006 | 21:57

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    nieves: Interesante comentario. Es cierto, si no suponemos que la fracción igual a raíz de 2 es irreducible se puede usar descenso infinito. En lo que no sé si estoy demasiado de acuerdo es en que esa sea más clara que reducción al absurdo, al menos en este caso. Probablemente yo preferiría la clásica de fracción irreducible y reducción al absurdo. Pero para eso están, para que cada uno elija la que crea más conveniente en cada caso.

    discipulodegauss echa un ojo al correo cuando puedas. Por cierto, te he borrado alguno de tus comentarios que salieron repetidos para que no aparezca el mismo varias veces.

    Saludos :)

  17. Trackback | 7 dic, 2006

    Gaussianos » Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2

  18. carlos fredy | 14 de febrero de 2007 | 16:56

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    cual es la demostracion matematica de que raiz de 3 es un numero irracional

  19. ^DiAmOnD^ | 15 de febrero de 2007 | 02:44

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    carlos fredy mira este artículo y verás dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2. Cambiando 2 por 3 se demuestra lo que pides.

    Saludos :)

  20. Trackback | 24 feb, 2013

    Raíz de dos es Irracional | ananbxora

  21. Romeo | 24 de febrero de 2013 | 15:03

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    A pesar de lo viejo de este post, al leerlo me encontré con esto:

    Ningún triángulo rectángulo puede tener como área un cuadrado.

    En otro post de este mismo hilo se aclara que debe ser para números enteros. ¿Debo suponer que los tres lados del triángulo rectángulo forman una terna pitagórica? Es decir que los tres lados tienen medidas enteras.
    Porque sino no es cierta esa afirmación. Ya que si tengo por ejemplo un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y 32 respectivamente entonces el área es 64 y 64 = 8^2

  22. gaussianos | 25 de febrero de 2013 | 03:48

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    Cierto Romero, el enunciado se refiere a triángulos rectángulos tal que las longitudes de todos sus lados son números enteros.

  23. JJGJJG | 25 de febrero de 2013 | 15:05

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    Los duendes no perdonan: LADOS, no ángulos

  24. gaussianos | 25 de febrero de 2013 | 15:55

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    Cierto JJGJJG, ya está cambiado. Muchas gracias por el aviso. Malditos duendes…

  25. Romeo | 26 de febrero de 2013 | 02:23

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    Gracias por el dato.

  26. RB | 28 de febrero de 2013 | 00:03

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    Yo creo que más bien que poco conocido el razonamiento en sí, es el nombre que se le atribuye. Ese razonamiento me resulta familiar pero sin explicitar que se está haciendo uso del “método de descenso infinito”.

    Creo que, en el ejemplo hay una pequeña errata:

    algún divisor de v’ es también divisor de v”

    el algún habría que sustituirlo por todo ¿no? de hecho v'\mid v y de ahí que v' y w sean primos relativos.

  27. gaussianos | 28 de febrero de 2013 | 21:23

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    RB, sí, tienes razón. Pero con “algún” es suficiente, no hace falta poner “todo”, ¿no? :)

  28. RB | 28 de febrero de 2013 | 21:33

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    gaussianos yo diría que “todo” es necesario, es decir, no vale con “algún”, ya que es necesario para garantizar que v' y w no tengan divisores comunes: Si v' y w tuvieran algún divisor común éste ha de ser también divisor de v llegando a contradicción.

  29. gaussianos | 28 de febrero de 2013 | 22:22

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    Cierto RB, lo cambio ahora mismo. Gracias por el apunte :)

  30. Rafael Mendonca | 5 de mayo de 2013 | 13:10

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    buenos dias

    coneces algun livro de hable del decenso infinito?

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