Desigualdad con logaritmos

Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Determina todas las parejas (a,b) de números reales positivos, con a \ne 1, tales que

log_a(b) < log_{a+1}(b+1)

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. ¿No son los pares que cumplen que a>b? Es lo que me sale con una demostración muy sencilla.

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  2. Usaremos propiedades de logaritmos para transformar la igualdad.

    log_a(b) < log_{a+1}(b+1)

    {log(b) over log(a)} < {log(b+1) over log(a+1)}

    {log(a+1) over log(a)} < {log(b+1) over log(b)}

    Y estudiamos la función {log(x+1) over log(x)}

    Desde 0 abierto hasta 1 abierto, la funcion toma valores negativos y es monotona decreciente.

    En 1 hay una indeterminación.

    Desde 1 abierto en adelante, la función toma valores positivos y es monotona decreciente.

    Por lo tanto para que log_a(b) < log_{a+1}(b+1) se cumpla, tiene que cumplirse:

    Si a in (0,1) , b in (0,a) cup (1,+infty )

    Si a in (1,+infty) , b in (1,a)

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  3. Quise decir que

    para que log_a(b) < log_{a+1}(b+1) se cumpla, tiene que cumplirse:

    Si a  \in (0,1) , b  \in (0,a) \cup (1,+\infty )

    Si a \in (1,+\infty) , b \in (1,a)

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  4. No se lo que pasó.

    Lo demostraré de nuevo

    log_a(b) < log_{a+1}(b+1)

    {log(b) \over log(a)} < {log(b+1) \over log(a+1)}

    {log(a+1) \over log(a)} < {log(b+1) \over log(b)}

    Y estudiamos {log(x+1) \over log(x)}

    Desde 0 abierto hasta 1 abierto, la funcion toma valores negativos y es monotona decreciente.

    En 1 hay una indeterminación.

    Desde 1 abierto en adelante, la función toma valores positivos y es monotona decreciente.

    Y encontramos los intervamos ya espuestos.

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  5. Creo que en mi exposición hay un problema, cuando a y b estan entre 0 y 1, el logaritmo da negativo y la desigualdad hay que invertirla, pero tengo que verlo.

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  6. Teniendo en cuenta cuando a y b esta entre 0 y 1, los intervalos son:

    Si a in (0,1) , b in (a,1) cup (1,+infty )

    Si a in (1,+infty) , b in (0,a) exceptuando b=1, pues el logaritmo de b es negativo y el de b+1 positivo.

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  7. Como no edita bien, lo expongo, y estoy de acuerdo con Ignacio:

    Si a \in (0,1) , b \in (a,1) \cup (1,+\infty )

    Si a \in (1,+\infty) , b \in (0,1) \cup (1,a), pues el logaritmo de b es negativo en caso de b<1 y el de b+1 positivo.

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  8. Miguel, pero no hay razón para excluir las soluciones con b = 1, siempre que se a >0 y a =/=1. En mi anterior comentario no salió bien. a ver ahora:

    a en (0, 1): b > a
    a en (1, +inf): a > b,

    a, b > 0; a =/= 1

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  9. Ciertamente b si puede ser 1. Debí estudiar el comportamiento de {log(y+1) \over log(x)} en dos variables en vez de {log(x+1) \over log(x)}, pues para x=1 se crea una indeterminación.

    Quedamos pues en que

    Si a \in (0,1) , b \in (a,+\infty )

    Si a \in (1,+\infty) , b \in (0,a)

    con a, b > 0 y a distinto de 1.

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  10. No funciona bien la edición de comentarios.
    Al intentar escribir los argumentos, se cortan , o se ponen en negrita, latex no funciona, en fin, otro día.

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  11. Haciendo un cálculo parecido al de Miguel y estudiando la función  \frac{log(x)}{log(x+1)} (que es creciente) se ve que, si a divide a los números positivos en dos partes, b tiene que estar en el mismo lado que el 1. Es decir:

     (a-b)(a-1) > 0

    Lo que dijo Ignacio, vamos.

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