Desigualdad con reales y enteros

El problema de la semana nos lo envía Abraham. A ver quien puede ayudarle:

Demuestra que para todo x \in \mathbb{R} positivo y todo natural n \ge 2 se cumple la siguiente desigualdad:

x^{2n}+\cfrac{n^2}{n-1} x^{n+2}+\cfrac{n^2}{n-1} x^{n-2}+1 > \cfrac{2(n^3-n^2-2n+1)}{(n-1)^2} x^n

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

32 Comentarios

  1. Creo que lo tengo:

    parto demostrando que:

    x^{2n} + (frac{n^2}{n-1}(x^2 + frac{1}{x^2}))x^n >2frac{n^3-n^2-2n+1}{(n-1)^2}x^n . Si esto se cumple se cumple lo del enunciado.
    De esta igualdad se puede despejar las x^n porque es positiva, y queda:
    x^{n} + frac{n^2}{n-1}(x^2 + frac{1}{x^2}) >2frac{n^3-n^2-2n+1}{(n-1)^2} .
    La funcion f(x) = x^2 + frac{1}{x^2}, tiene un mínimo en x=1 y en ese mínimo f(x=1)=2, luego f(x) geq2
    Por lo tanto si se cumple que:
    x^{n} + 2frac{n^2}{n-1} >2frac{n^3-n^2-2n+1}{(n-1)^2} , entonces se cumplirá lo del enunciado. Pasando el segundo miembro de la derecha a la izquierda y uniendo los quebrados queda:
    x^{n}>2frac{1-2n}{(n-1)^2}. Qué se cumple siempre para todo ngeq2 y xgeq0 ya que con esas condiciones la parte de la derecha es negativa y la de la izquierda positiva.

    Publica una respuesta
  2. No sé, porque me ha salido así…cuando pulsé a vista previa antes de publicarlo se veía bien 🙁

    Publica una respuesta
  3. A ver ahora si se ve bien:
    Parto de:

    x^{2n} + (\frac{n^2}{n-1}(x^2 + \frac{1}{x^2}))x^n >2\frac{n^3-n^2-2n+1}{(n-1)^2}x^n . Si esto se cumple se cumple lo del enunciado.
    De esta igualdad se puede despejar las x^n porque es positiva, y queda:
    x^{n} + \frac{n^2}{n-1}(x^2 + \frac{1}{x^2}) >2\frac{n^3-n^2-2n+1}{(n-1)^2} .
    La funcion f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}, tiene un mínimo en x=1 y en ese mínimo f(x=1)=2, luego f(x)\geq2
    Por lo tanto si se cumple que:
    x^{n} + 2\frac{n^2}{n-1} >2\frac{n^3-n^2-2n+1}{(n-1)^2} , entonces se cumplirá lo del enunciado. Pasando el segundo miembro de la izquierda a la derecha y uniendo los quebrados queda:
    x^{n}>2\frac{1-2n}{(n-1)^2}. Qué se cumple siempre para todo n\geq2 y x\geq0 ya que con esas condiciones la parte de la derecha es negativa y la de la izquierda positiva.

    Publica una respuesta
  4. Creo que le he pillado el truco. Se coge un editor de ecuaciones y se exporta a Latex. Luego te lo callas, como esa larga cantidad de veces que vemos a gente fusilando páginas y soltándolo “tuneado”.

    Vale.

    Publica una respuesta
  5. Y, orlin, creo que la acotación sería correcta si el extremo fuera un máximo.

    Publica una respuesta
  6. Muy buena, orlin. A mí me parece que todos tus desarrollos son perfectos.

    En cuanto a que se descaraje el LaTeX, el problema es del plug-in para editar un comentario una vez que se ha publicado, no del LaTeX en sí. A mí me ha pasado lo mismo en otro post.

    Ya que vuelve a salir la discusión LaTeX sí / LaTeX no, mi opinión es que cualquiera que pretenda hacer algo en el mundo de las ciencias (ya no sólo de las matemáticas), tarde o temprano tendrá que aprenderlo si quiere tener alguna difusión de su trabajo. Usar cualquier otra cosa para editar un texto con fórmulas es perder el tiempo.

    Saludos.

    Publica una respuesta
  7. Me estoy pensando si quitar el plugin para editar comentarios, ya que parece que se carga el código \LaTeX.

    Sobre que vuelva a salir la discusión…mejor lo dejamos. No hay peor ciego que el que no quiere ver.

    Publica una respuesta
  8. hola..
    gracias ORlin… me diste una idea mas amplia para resolverlo…
    en tu ejemplo te falto algo

    factorizaste a X^n pero falto sumarle 1 en la parte izquierda de la igualdad… entonces ya lo demas creo que puedo hacerlo yo… gracias a gaussianos tambien.

    Publica una respuesta
  9. Si la desigualdad se cumple sin el 1, como bien demuestra orlin, esta se continuará cumpliendo con el 1 ya que este sólo refuerza la desigualdad.

    Salu2

    Publica una respuesta
  10. Ok estoy de acuerdo con Orlin y Mellon… pero como se le llama a ese argumento, porque se puede hacer eso? que argumento tendría que describir… no solo es quitar el uno y agregarlo asi… porque si..

    gracias… me han ayudado mucho enserio..
    soy principiante… gracias

    Publica una respuesta
  11. Se puede realizar esto porque trabajamos con desigualdades. Es lógico que si demostramos que se cumple sin ese 1 el hecho de sumarle 1 al lado mayor de la desigualdad simplemente la reforzará.

    Es la gracia de trabajar con desigualdades que puedes hacer cosas que con las igualdades no puedes hacer. No se si tiene un nombre concreto este argumento simplemente se deduce del concepto de desigualdad.

    Salu2

    Publica una respuesta
  12. es valido meter a la ecuacion el valor del minimo de la funcion en este caso:

    f(x)=x^2 + 1/x^2

    o que argumento se necesita encaso de que me cuestionen de porque lo hice

    gracias por las aportaciones de MEllon y Orlin

    Publica una respuesta
  13. Creo que estamos en lo mismo, si consideramos la expresión x^2 + 1/x^2 como una función podemos encontrar el valor mínimo que toma. Por lo tanto sabemos que dicha expresión, dentro de los reales positivos, no tomará un valor inferior a 2. Y como antes, si demostramos que la desigualdad se cumple para el valor mínimo de dicha expresión cualquier otro valor (que será siempre superior a 2 al tratarse de un mínimo) solamente reforzará la desigualdad.

    Salu2

    Publica una respuesta
  14. De hecho “no hace falta” hacerlo sin el 1. Empezando por la inecuación del enunciado se llegaría a:

    x^n + \frac{1}{x^n} > 2\frac{1-2n}{(n-1)^2}, lo de la izquierda es siempre positivo bajo las condiciones del enunciado y lo de la derecha negativo.

    Todavía se puede seguir más.Teniendo en cuenta que lo de la izquierda es siempre mayor que 2 (esa función tiene un mínimo absoluto en x=1). Por lo tanto valdría ver que:
    2> 2\frac{1-2n}{(n-1)^2}, y operando se llega a que:
    n^2>0. Que de nuevo, se cumple bajo las condiciones del enunciado.
    Y creo que ya no puedo sacarle más jugo a este problema :D.

    Publica una respuesta
  15. “No hay peor ciego que el que no quiere ver.”

    Oh, oh, seguro que tú editas tus posts usando código HTML “a pelo”, con un simple editor de texto. Al fin y al cabo, es lo que afirmaban hace una porrada de años los puretas echando pestes de los asistentes “tienes control total”, “o se salen las cosas de madre”, “tiene mejor estilo” y cosas así. Viva el progreso informático.

    Pero da igual, en realidad estaba dándoos la razón: es cosa de usar un asistente gráfico y sacando el código látex y luego darse el pisto de tío que maneja estas cosas abstractas. Espero que no se me tache de poco ético el que desvele el truco del prestidigitador… de la matemática.

    Veamos:
    http://www.dragmath.bham.ac.uk/demo_Latex.html (por cierto, no sé por qué convertir las url automáticamente en hiperenlaces, con un poco de código queda mejor).

    x^{n}- \frac{1}{x^{n}} > 2 \frac{1-2n}{(n-1)^{2}}

    Publica una respuesta
  16. En estas discusiones, casualmente, los que no ven las ventajas al \LaTeX son los que ni saben, ni quieren aprender, y encima culpan de su ignorancia a los que sí saben y que se han dado cuenta de la infinita comodidad que supone éste frente a un editor de ecuaciones de éstos que vienen insertados en un procesador de textos estándar. Además, aunque sea una obviedad, el progreso informático no se mide en si tienes o no un programa WYSIWYG. Más bien, este tipo de programas son para los que no han progresado informáticamente y se niegan a hacerlo.

    Publica una respuesta
  17. J.d.r la que se ha liado.

    Aquí cada uno está a lo suyo, y mientras unos no intenten ver la postura del otro será una de esas discusiones interminables.

    Y hablo tanto por @Vayapordiós que trata indiscriminadamente de arcanos prepotentes a los fans de LaTeX, como por los comentarios de éstos últimos que niegan (en general, léanse comentarios varios) que usar cualquier otra cosa sea lícito.

    @Antonio_GS dice “…Más bien, este tipo de programas son para los que no han progresado informáticamente y se niegan a hacerlo…”.

    Menudo comentario… tú si que no tienes ni idea de lo que hablas.

    Yo llevo más de 20 años programando ordenadores (y no seré malo cuando me pagan mucho más que a un programador medio) y me encantan los WYSIWYG y también me niego a usar LaTeX puro si no tengo necesidad. Prefiero aprender lenguajes de programación (lo digo para que no me taches de “no progresado informáticamente”) que un código LaTeX que poco o nada voy a usar. ¡Pero es sólo mi opinión!.

    Lo dicho, que cada cual use lo que le venga en gana, pero sugiero (sólo sugiero) que todos respeten las opiniones y gustos de los otros.

    Publica una respuesta
  18. Bueno, acepto que quizá esa parte que resaltas (es decir, después del punto y seguido en mi comentario anterior) la haya escrito yo en caliente, un poco para tocar los huevos al amigo @Vayapordiós. Y por ello, es decir, por escribir comentarios destructivos, en lugar de constructivos, y por mi (mala) intención de cabrear gratuitamente, pido perdón sinceramente.

    Publica una respuesta
  19. @josejuan : De acuerdo en buena medida. Pero un par de observaciones:

    Primero: “Prefiero aprender lenguajes de programación” Latex es un lenguaje de programación (aunque no de propósito general; es un análogo a HTML). Y es difícil saber qué será más util saber dentro de diez años, si (pongamos) Latex o Ruby. Yo apostaría por Latex.

    Segundo: Yo también me resistía a aprender Latex en su momento. Y concuerdo en que lo de que no sea WYSIWYG es incómodo, sobre todo en documentos largos.
    PERO: Una cosa es usar Latex para fórmulas matemáticas aisladas (como acá) y otra para documentos enteros. Para lo primero, Latex no tiene competencia; y -esto es lo más importante- es MUY intuitivo y natural, al menos para lo que tenemos cabeza matemática. No es de esas cosas (algunos lenguajes por ejemplo) que hay que usar todos los días para no olvidarse. Incluso tiene la ventaja de que uno puede escribir la fórmula en texto y “parsearla” mentalmente sin dificultad.

    Publica una respuesta
  20. Abraham, en tu ejercicio lo que tienes que hacer es escribir el 1427 en binario. Las cifras que buscas serán las cifras en binario.

    Para escribir 1427 en binario, tienes que dividir 1427 entre 2; el resto de esta división será la cifra de las unidades de 1427 en binario. Como el cociente será mayor que 2, lo vuelves a dividir, y así hasta que el cociente sea menor que 2. Entonces:

    1427:2=713 y de resto 1
    713:2=356 y de resto 1
    356:2=178 y de resto 0
    178:2=89 y de resto 0
    89:2=44 y de resto 1
    44:2=22 y de resto 0
    22:2=11 y de resto 0
    11:2=5 y de resto 1
    5:2=2 y de resto 1
    2:2=1 y de resto 0;

    El número 1427, en base 2, se escribe 10110010011 (el primer 1 es el último cociente, y el resto de cifras son los restos en orden inverso a como nos han salido). O lo que es lo mismo:

    1427=1*2^10+0*2^9+1*2^8+1*2^7+0*2^6+0*2^5+1*2^4+0*2^3+0*2^2+1*2^1+1

    y ahí tienes los epsilons que buscabas. Espero haberte sido de ayuda.

    Publica una respuesta
  21. Bueno, bueno, ahora aparece la figura del del “palo a la burra blanca, palo a la burra negra”. A mi me parece bien que sacudas un poco al que escribe esta tontada: “Más bien, este tipo de programas son para los que no han progresado informáticamente y se niegan a hacerlo”, pero me parece mal que me sacudas a mi, sobre todo cuando me das la razón. Pero entiendo que es un gustazo del que es difícil de privarse el estar por encima de todos en una discusión, como el Papa, dios o la madre superiora, a elegir

    Lo que propiciaba mis quejas era algo de lo que habéis venido a dar pisas hernan y tú, que hay quien se da el pisto de “programmer” y usa un asistente wysiwyg. También me quejaba de que es una lástima que sea, por ejemplo, yo el que tenga que poner enlaces a asistentes potables de edición en Gómex.

    Entiendo que cuando uno acierta con la metáfora, el poner en evidencia que ESTA discusión es la misma que las que hubo en su día con el código HTML, pues la cosa duele, pero hay que ponerse en razón, que somos matemátiquillos o lo que sea, muy racionales y tal.

    A mi lo que por mi estructura mental matemática me lo pone fácil es algo que se parezca a lo que escribimos y no una calculadora polaca en la era de los escritorios gráficos. Esto que acabo de decir es, claro está, una opinión, pero espero sinceramente que en vez de respuestas con aire de superioridad se me haga caso, un poco, al menos.

    Publica una respuesta
  22. @hernan,

    ni de lejos HTML es un lenguaje de programación y LaTeX ni siquiera un metalenguaje (según Wikipedia un conjunto de macros de TeX) y aun asumiendo que te refieras a TeX, no entraría dentro de mis gustos.

    en cuanto a lo segundo ya he dado mi opininón.

    @Vayapordiós,

    ja, ja, ja.

    Publica una respuesta
  23. @Vayapordiós, ya pedí disculpas por intentar tocarte las narices de manera gratuita, pero ¿qué hay de malo en escribir HTML (o \LaTeX, ya que estamos) a pelo? Puedo llegar a entender que creas que no es lo que a ti te facilita las cosas para escribir matemáticas por las razones que sean, pero sinceramente no sé qué hay de malo en querer tener control absoluto sobre todos los elementos del documento final cosa que, en HTML no sé porque jamás he usado un editor WYSIWYG para él (no es que haya hecho demasiadas cosas en HTML tampoco, ya te lo digo de antemano), pero de \LaTeX no he visto ninguno que me inspire la misma confianza y que me dé tantas facilidades para escribir lo que quiero y cómo lo quiero que el proceso código fuente-compilar-pdf.

    Y por cierto, a mí me parece muy acertada tu comparación del HTML y el \LaTeX y no creo que hayas ofendido a nadie… aunque nunca se sabe. A mí lo que me ofendió en un principio (y te lo digo de súper buen rollo) es que estuvieras tan de punta con el tema del \LaTeX y con una actitud tan cerrada en banda, pero lo he repensado y en fin, supongo que cada uno es cada uno.

    Publica una respuesta
  24. Er-Murazor : gracias por tu respuesta me sirvio mucho es una idea muy original…

    y aunque hay comentarios que no tienen nada que ver con mi ejercicio. de todos modos gracias

    Vayapordiós, MEllon y Orlin..

    suerte bye

    Publica una respuesta
  25. A ver, Antonio, si a mi no me parece mal que escribas lo que quieras a pelo. No necesito ni imaginármelo porque soy programador en esa cosa adictiva y mareante del Visual C y del Visual Basic. Lo que digo es que un asistente para los que no nos queremos calentar (más) la cabeza vendría (viene) de maravilla.

    Publica una respuesta
  26. escrivan mas sobre la conjetura de riemann,ya hay avances sobre esta conjetura? matematicos que intentan demostrar esto,si en caso de que se llegara a demostrar esta conjetura en cuanto ayudaria a la distribucion de los numeros primos,habria una formula exacta?

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: El problema de la semana nos lo envía Abraham. A ver quien puede ayudarle:…
  2. Tweets that mention Desigualdad con reales y enteros | Gaussianos -- Topsy.com - [...] This post was mentioned on Twitter by gaussianos, redes sociales web. redes sociales web said: #hispaciencia Desigualdad con reales…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *